Lema de Hopf

En matemáticas , el lema de Hopf , que lleva el nombre de Eberhard Hopf , establece que si una función continua de valor real en un dominio del espacio euclidiano con una frontera suficientemente suave es armónica en el interior y el valor de la función en un punto de la frontera es mayor que los valores en puntos cercanos dentro del dominio, entonces la derivada de la función en la dirección de la normal que apunta hacia afuera es estrictamente positiva. El lema es una herramienta importante en la prueba del principio de máximo y en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . El lema de Hopf se ha generalizado para describir el comportamiento de la solución de un problema elíptico cuando se acerca a un punto en la frontera donde se alcanza su máximo.

En el caso especial del laplaciano, el lema de Hopf había sido descubierto por Stanisław Zaremba en 1910. ^{[1] En el ámbito más general de las ecuaciones elípticas, Hopf y} Olga Oleinik lo encontraron de forma independiente en 1952, aunque el trabajo de Oleinik no es tan ampliamente conocido como Hopf en los países occidentales. ^{[2] [3]} También hay extensiones que permiten dominios con esquinas. ^[4]

Declaración para funciones armónicas

Sea Ω un dominio acotado en R ⁿ con frontera suave. Sea f una función de valor real continua en el cierre de Ω y armónica en Ω. Si x es un punto límite tal que f ( x ) > f ( y ) para todo y en Ω suficientemente cerca de x , entonces la derivada direccional (unilateral) de f en la dirección de la normal hacia afuera que apunta al límite en x es estrictamente positivo.

Prueba de funciones armónicas.

Al restar una constante, se puede suponer que f ( x ) = 0 y f es estrictamente negativa en los puntos interiores cercanos a x . Dado que el límite de Ω es suave, hay una pequeña bola contenida en Ω cuyo cierre es tangente al límite en x y cruza el límite solo en x . Entonces basta con comprobar el resultado sustituyendo Ω por esta bola. Escalando y trasladando, es suficiente verificar el resultado para la bola unitaria en R ⁿ , asumiendo que f ( x ) es cero para algún vector unitario x y f ( y ) < 0 si | y | < 1.

Por la desigualdad de Harnack aplicada a − f

${\displaystyle \displaystyle {-f(rx)\geq -{1-r \over (1+r)^{n-1}}f(0),}}$

para r < 1. Por lo tanto

${\displaystyle \displaystyle {{f(x)-f(rx) \over 1-r}={-f(rx) \over 1-r}\geq -{1 \over (1+r)^{n-1}}f(0)>-{f(0) \over 2^{n-1}}>0.}}$

Por lo tanto, la derivada direccional en x está limitada por la constante estrictamente positiva en el lado derecho.

Discusión General

Considere un operador uniformemente elíptico de segundo orden de la forma

${\displaystyle Lu=a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u,\qquad x\in \Omega .}$

Aquí hay un subconjunto abierto y acotado de . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El principio del máximo débil establece que una solución de la ecuación alcanza su valor máximo en el cierre en algún punto de la frontera . Sea tal punto, entonces necesariamente ${\displaystyle Lu=0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})\geq 0,}$

donde denota la derivada normal exterior . Esto es simplemente una consecuencia del hecho de que no debe ser decreciente según el enfoque . El Lema de Hopf refuerza esta observación al demostrar que, bajo supuestos suaves sobre y , tenemos ${\displaystyle \partial /\partial \nu }$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0.}$

Una declaración precisa del Lema es la siguiente. Supongamos que es una región acotada y sea el operador descrito anteriormente. Seamos de clase y satisfagamos la desigualdad diferencial. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})}$

${\displaystyle Lu\geq 0,\qquad {\textrm {in}}~\Omega .}$

Déjanos dar para que . Si (i) está en , y (ii) , entonces es una constante o , donde es la unidad normal que apunta hacia afuera, como se indicó anteriormente. ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle 0\leq u(x_{0})=\max _{x\in {\overline {\Omega }}}u(x)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle c\leq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0}$ ${\displaystyle \nu }$

El resultado anterior se puede generalizar en varios aspectos. El supuesto de regularidad en puede reemplazarse con una condición de bola interior: el lema se cumple siempre que exista una bola abierta con . También es posible considerar funciones que tomen valores positivos, siempre que . Para ver la prueba y otras discusiones, consulte las referencias a continuación. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle B\subset \Omega }$ ${\displaystyle x_{0}\in \partial B}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle u(x_{0})=0}$

Ver también

• Principio máximo de Hopf

Referencias

1. MS Zaremba, Sur un problème mixte relatif à l'équation de Laplace, Bull. Interno. de l'Acad. Ciencia. de Cracovia, Ser. A, ciencia. Matemáticas. (1910), 313–344.
2. Hopf, Eberhard. Una observación sobre las ecuaciones diferenciales elípticas lineales de segundo orden. Proc. América. Matemáticas. Soc. 3 (1952), 791–793.
3. Oleĭnik, OA Sobre las propiedades de las soluciones de ciertos problemas de límites para ecuaciones de tipo elíptico. Estera. Sbornik NS 30 (1952), núm. 72, 695–702.
4. Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Simetría y propiedades relacionadas mediante el principio de máximo. Com. Matemáticas. Física. 68 (1979), núm. 3, 209–243.

• Evans, Lawrence (2000), Ecuaciones diferenciales parciales , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-0772-2
• Fraenkel, LE (2000), Introducción a los principios de máxima y la simetría en problemas elípticos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-461955
• Krantz, Steven G. (2005), Teoría de funciones geométricas: exploraciones en análisis complejos , Springer, págs. 127-128, ISBN 0817643397
• Taylor, Michael E. (2011), Ecuaciones diferenciales parciales I. Teoría básica , Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 115 (2ª ed.), Springer, ISBN 9781441970541(Taylor se refiere al lema de Hopf como "principio de Zaremba").

enlaces externos

• Hayk Mikayelyan, lema de Henrik Shahgholian Hopf para una clase de PDE-s singulares/degeneradas
• Lema de Hopf para una clase de PDE-s singulares/degeneradas fraccionarias
• DE Apushkinskaya, AI Nazarov Un contraejemplo del lema de Hopf-Oleinik (caso elíptico)