Oscilación media acotada

En el análisis armónico en matemáticas , una función de oscilación media acotada , también conocida como función BMO , es una función de valor real cuya oscilación media está acotada (finita). El espacio de funciones de oscilación media acotada ( BMO ), es un espacio funcional que, en algún sentido preciso, juega el mismo papel en la teoría de espacios de Hardy H ^p que el espacio L ^∞ de funciones esencialmente acotadas en la teoría de L Espacios ^p : también se llama espacio de John-Nirenberg , en honor a Fritz John y Louis Nirenberg , quienes lo introdujeron y estudiaron por primera vez.

nota historica

Según Nirenberg (1985, p. 703 y p. 707), ^[1] el espacio de funciones de oscilación media acotada fue introducido por John (1961, pp. 410-411) en relación con sus estudios de asignaciones de un conjunto acotado Ω perteneciente a R ⁿ en R ⁿ y los problemas correspondientes que surgen de la teoría de la elasticidad , precisamente del concepto de deformación elástica : la notación básica fue introducida en un artículo siguiente por John & Nirenberg (1961), ^[2] donde varias propiedades de Estos espacios funcionales fueron probados. El siguiente paso importante en el desarrollo de la teoría fue la prueba de Charles Fefferman ^[3] de la dualidad entre BMO y el espacio de Hardy H ¹ , en el destacado artículo Fefferman & Stein 1972: una prueba constructiva de este resultado, introduciendo nuevos métodos. y el inicio de un mayor desarrollo de la teoría, estuvo a cargo de Akihito Uchiyama. ^[4]

Definición

Definición 1. La oscilación media de una función localmente integrable u sobre un hipercubo ^[5] Q en R ⁿ se define como el valor de la siguiente integral :

$${\displaystyle {\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u(y)-u_{Q}|\,\mathrm {d} y}$$

• | Q | es el volumen de Q , es decir, su medida de Lebesgue
• u _Q es el valor promedio de u en el cubo Q , es decir
  $${\displaystyle u_{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}u(y)\,\mathrm {d} y.}$$

Definición 2. Una función BMO es una función u localmente integrable cuyo supremo de oscilación media , tomado sobre el conjunto de todos los cubos Q contenidos en R ⁿ , es finito.

Nota 1 . El supremo de la oscilación media se llama norma BMO de u . ^[6] y se denota por || tu || _BMO (y en algunos casos también se denota || u || _∗ ).

Nota 2 . El uso de cubos Q en R ⁿ como dominios de integración en los que se calcula la oscilación media no es obligatorio: Wiegerinck (2001) utiliza bolas en su lugar y, como señaló Stein (1993, p. 140), al hacerlo, Surge una definición equivalente de funciones de oscilación media acotada.

Notación

• La notación universalmente adoptada utilizada para el conjunto de funciones BMO en un dominio dado Ω es BMO ( Ω ): cuando Ω  =  R ⁿ , BMO ( R ⁿ ) se simboliza simplemente como BMO .
• La norma BMO de una función BMO dada u se denota por || tú || _BMO : en algunos casos, también se indica como || tú || _∗ .

Propiedades básicas

Las funciones BMO son localmente p –integrables

Las funciones BMO son localmente L ^p si 0 < p  < ∞, pero no necesitan estar acotadas localmente. De hecho, utilizando la desigualdad de John-Nirenberg, podemos demostrar que

${\displaystyle \|u\|_{\text{BMO}}\simeq \sup _{Q}\left({\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u-u_{Q}|^{p}dx\right)^{1/p}.}$

BMO es un espacio Banach

Las funciones constantes tienen oscilación media cero, por lo tanto, funciones que difieren para una constante c  > 0 pueden compartir el mismo valor de norma BMO incluso si su diferencia no es cero en casi todas partes . Por tanto, la función || tu || _BMO es propiamente una norma en el espacio cociente de funciones BMO módulo el espacio de funciones constantes en el dominio considerado.

Los promedios de cubos adyacentes son comparables.

Como sugiere el nombre, la media o promedio de una función en BMO no oscila mucho cuando se calcula sobre cubos cercanos entre sí en posición y escala. Precisamente, si Q y R son cubos diádicos tales que sus límites se tocan y la longitud del lado de Q no es menor que la mitad de la longitud del lado de R (y viceversa), entonces

${\displaystyle |f_{R}-f_{Q}|\leq C\|f\|_{\text{BMO}}}$

donde C > 0 es una constante universal. Esta propiedad es, de hecho, equivalente a que f esté en BMO, es decir, si f es una función localmente integrable tal que | f _R − f _Q | ≤ C para todos los cubos diádicos Q y R adyacentes en el sentido descrito anteriormente y f está en BMO diádico (donde el supremo solo se toma sobre los cubos diádicos Q ), entonces f está en BMO. ^[7]

BMO es el espacio vectorial dual de H 1

Fefferman (1971) demostró que el espacio BMO es dual a H ¹ , el espacio de Hardy con p  = 1. ^[8] El emparejamiento entre f  ∈ H ¹ y g  ∈ BMO viene dado por

${\displaystyle (f,g)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

aunque se necesita cierto cuidado al definir esta integral, ya que en general no converge absolutamente.

La desigualdad de John-Nirenberg

La desigualdad de John-Nirenberg es una estimación que determina hasta qué punto una función de oscilación media acotada puede desviarse de su promedio en una determinada cantidad.

Declaración

Para cada uno , hay constantes (independientes de f), tales que para cualquier cubo en , ${\displaystyle f\in \operatorname {BMO} \left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \left|\left\{x\in Q:|f-f_{Q}|>\lambda \right\}\right|\leq c_{1}\exp \left(-c_{2}{\frac {\lambda }{\|f\|_{\text{BMO}}}}\right)|Q|.}$$

Por el contrario, si esta desigualdad se cumple para todos los cubos con alguna constante C en lugar de || f || _BMO , entonces f está en BMO con una norma como máximo constante multiplicada por C.

Una consecuencia: la distancia en BMO a L ^∞

En realidad, la desigualdad de John-Nirenberg puede proporcionar más información que la simple norma BMO de una función. Para una función localmente integrable f , sea A ( f ) el mínimo A >0 para el cual

${\displaystyle \sup _{Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}e^{\left|f-f_{Q}\right|/A}\mathrm {d} x<\infty .}$

La desigualdad de John-Nirenberg implica que A ( f ) ≤ C|| f || _BMO para alguna constante universal C . Sin embargo, para una función L ∞ , la desigualdad anterior se cumplirá para todo A  > 0. En otras palabras, A ( f ) = 0 si f está en L ^∞ . Por lo tanto, la constante A ( f ) nos da una forma de medir qué tan lejos está una función en BMO del subespacio L ^∞ . Esta afirmación se puede hacer más precisa: ^[9] existe una constante C , que depende sólo de la dimensión n , tal que para cualquier función f  ∈ BMO( R ⁿ ) se cumple la siguiente desigualdad bilateral

${\displaystyle {\frac {1}{C}}A(f)\leq \inf _{g\in L^{\infty }}\|f-g\|_{\text{BMO}}\leq CA(f).}$

Generalizaciones y extensiones.

Los espacios BMOH y BMOA

Cuando la dimensión del espacio ambiental es 1, el espacio BMO puede verse como un subespacio lineal de funciones armónicas en el disco unitario y desempeña un papel importante en la teoría de los espacios de Hardy : utilizando la definición 2 , es posible definir el Espacio BMO( T ) en el círculo unitario como el espacio de funciones f  : T → R tal que

${\displaystyle {\frac {1}{|I|}}\int _{I}|f(y)-f_{I}|\,\mathrm {d} y<C<+\infty }$

es decir, tal que su oscilación media sobre cada arco I del círculo unitario ^[10] esté acotada. Aquí, como antes , f _I es el valor medio de f en el arco I.

Definición 3. Se dice que una función analítica en el disco unitario pertenece al BMO armónico o al espacio BMOH si y sólo si es la integral de Poisson de una función BMO( T ). Por tanto, BMOH es el espacio de todas las funciones u con la forma:

${\displaystyle u(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{\left|a-e^{i\theta }\right|^{2}}}f(e^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta }$

equipado con la norma:

${\displaystyle \|u\|_{\text{BMOH}}=\sup _{|a|<1}\left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{|a-e^{i\theta }|^{2}}}\left|f(e^{i\theta })-u(a)\right|\mathrm {d} \theta \right\}}$

El subespacio de funciones analíticas que pertenecen a BMOH se denomina espacio BMO analítico o espacio BMOA .

BMOA como el espacio dual de H ¹ ( D )

Charles Fefferman en su trabajo original demostró que el espacio BMO real es dual al espacio Hardy armónico de valor real en el semiespacio superior R ⁿ × (0, ∞). ^[11] En la teoría del análisis complejo y armónico de la unidad disco, su resultado se expresa de la siguiente manera: ^[12] Sea H ^p ( D ) el espacio Analítico Hardy en la unidad Disco . Para p  = 1 identificamos ( H ¹ )* con BMOA emparejando f ∈ H ¹ ( D ) y g  ∈ BMOA usando la transformación antilineal T _g

${\displaystyle T_{g}(f)=\lim _{r\to 1}\int _{-\pi }^{\pi }{\bar {g}}(e^{i\theta })f(re^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta }$

Observe que aunque el límite siempre existe para una función H ^{1 f y} T _g es un elemento del espacio dual ( H ¹ )*, dado que la transformación es antilineal , no tenemos un isomorfismo isométrico entre ( H ¹ ) * y BMOA. Sin embargo se puede obtener una isometría si se considera una especie de espacio de funciones BMOA conjugadas .

El VMO espacial

El VMO espacial de funciones de oscilación media evanescente es el cierre en BMO de las funciones continuas que se desvanecen en el infinito. También se puede definir como el espacio de funciones cuyas "oscilaciones medias" en los cubos Q no sólo están acotadas, sino que también tienden a cero uniformemente cuando el radio del cubo Q tiende a 0 o ∞. El espacio VMO es una especie de espacio Hardy análogo del espacio de funciones continuas que se desvanecen en el infinito y, en particular, el espacio Hardy armónico de valor real H ¹ es el dual de VMO. ^[13]

Relación con la transformada de Hilbert

Una función f localmente integrable en R es BMO si y sólo si puede escribirse como

${\displaystyle f=f_{1}+Hf_{2}+\alpha }$

donde f _i ∈ L ^∞ , α es una constante y H es la transformada de Hilbert .

La norma BMO es entonces equivalente al mínimo de todas esas representaciones. ${\displaystyle \|f_{1}\|_{\infty }+\|f_{2}\|_{\infty }}$

De manera similar, f es VMO si y solo si se puede representar en la forma anterior con fi funciones uniformemente continuas _acotadas en R. ^[14]

El espacio diádico BMO

Sea Δ el conjunto de cubos diádicos en R ⁿ . El espacio diádico BMO , escrito BMO _d , es el espacio de funciones que satisfacen la misma desigualdad que para las funciones BMO, sólo que el supremo está sobre todos los cubos diádicos. Este supremo a veces se denota ||•|| _{BMO d} .

Este espacio contiene correctamente BMO. En particular, la función log( x ) χ _[0,∞) es una función que está en BMO diádico pero no en BMO. Sin embargo, si una función f es tal que || f (•− x )|| _{BMO d} ≤ C para todo x en R ⁿ para algún C > 0, entonces, mediante el truco del tercio, f también está en BMO. En el caso de BMO en T ⁿ en lugar de R ⁿ , una función f es tal que || f (•− x )|| _{BMO d} ≤ C para n+1 x elegido adecuadamente , entonces f también está en BMO. Esto significa que BMO( T ⁿ ) es la intersección de n+1 traducción de BMO diádico. Por dualidad, H ¹ ( T ⁿ ) es la suma de n +1 traslación de H ¹ diádico . ^[15]

Aunque el BMO diádico es una clase mucho más estrecha que el BMO, muchos teoremas que son verdaderos para BMO son mucho más sencillos de demostrar para el BMO diádico y, en algunos casos, se pueden recuperar los teoremas originales de BMO demostrándolos primero en el caso diádico especial. ^[dieciséis]

Ejemplos

Ejemplos de funciones de BMO incluyen los siguientes:

• Todas las funciones acotadas (medibles). Si f está en L ^∞ , entonces || f || _BMO ≤ 2||f|| _∞ : ^[17] sin embargo, lo contrario no es cierto, como muestra el siguiente ejemplo.
• La función log(| P |) para cualquier polinomio P que no sea idénticamente cero: en particular, esto también es cierto para | P ( x )| = | x |. ^[17]
• Si w es un peso A ∞ , entonces log( w ) es BMO. Por el contrario, si f es BMO, entonces e ^δf es un peso A _∞ para δ>0 lo suficientemente pequeño: este hecho es una consecuencia de la desigualdad de John-Nirenberg. ^[18]

Notas

1. Además de los artículos recopilados de Fritz John , una referencia general para la teoría de funciones de oscilación media acotada, con también muchas notas históricas (breves), es el destacado libro de Stein (1993, capítulo IV).
2. El artículo (John 1961) precede al artículo (John y Nirenberg 1961) en el volumen 14 de Communications on Pure and Applied Mathematics .
3. Elias Stein atribuye únicamente a Fefferman el descubrimiento de este hecho: ver (Stein 1993, p. 139).
4. Véase su prueba en el artículo Uchiyama 1982.
5. Cuando n = 3 o n = 2, Q es respectivamente un cubo o un cuadrado , mientras que cuando n = 1 el dominio de integración es un intervalo cerrado acotado .
6. Ya que, como se muestra en la sección " Propiedades básicas ", es exactamente una norma .
7. Jones, Peter (1980). "Teoremas de extensión de BMO". Revista de Matemáticas de la Universidad de Indiana . 29 (1): 41–66. doi : 10.1512/iumj.1980.29.29005 .
8. Consulte el artículo original de Fefferman & Stein (1972), o el artículo de Uchiyama (1982) o la monografía completa de Stein (1993, p. 142) para obtener una prueba.
9. Consulte el artículo Garnett & Jones 1978 para obtener más detalles.
10. Un arco en el círculo unitario T se puede definir como la imagen de un intervalo finito en la línea real R bajo una función continua cuyo codominio es el propio T : se puede encontrar una definición más simple y algo ingenua en la entrada " Arco (geometría) ".
11. Consulte la sección sobre el teorema de Fefferman de la presente entrada.
12. Véase, por ejemplo, Girela (2001, págs. 102-103).
13. Véase la referencia Stein 1993, p. 180.
14. Granate 2007
15. T. Mei, BMO es la intersección de dos traducciones de BMO diádico. CR Matemáticas. Acad. Ciencia. París 336 (2003), núm. 12, 1003-1006.
16. Consulte el artículo de Garnett & Jones 1982 al que se hace referencia para un desarrollo integral de estos temas.
17. Ver referencia Stein 1993, p. 140.
18. Véase la referencia Stein 1993, p. 197.

Referencias

Referencias históricas

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