Procedimiento para determinar si un operador es invertible
En las matemáticas de los espacios de Banach , el método de continuidad proporciona condiciones suficientes para deducir la invertibilidad de un operador lineal acotado de la de otro operador relacionado.
Formulación
Sea B un espacio de Banach , V un espacio vectorial normado y una familia norma continua de operadores lineales acotados de B a V. Supongamos que existe una constante positiva C tal que para todos y cada uno![{\displaystyle (L_{t})_{t\in [0,1]}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\en [0,1]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\en B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ||x||_{B}\leq C||L_{t}(x)||_{V}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces es sobreyectivo si y sólo si también lo es.![{\ Displaystyle L_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle L_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicaciones
El método de continuidad se utiliza junto con estimaciones a priori para demostrar la existencia de soluciones adecuadamente regulares a ecuaciones diferenciales parciales elípticas .
Prueba
Suponemos que eso es sobreyectivo y demostramos que también lo es.![{\ Displaystyle L_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle L_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Subdividiendo el intervalo [0,1] podemos suponer que . Además, la sobreyectividad de implica que V es isomorfo a B y, por tanto, un espacio de Banach. La hipótesis implica que es un subespacio cerrado.![{\displaystyle ||L_{0}-L_{1}||\leq 1/(3C)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle L_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Supongamos que es un subespacio adecuado. El lema de Riesz muestra que existe tal eso y . Ahora por algunos y por la hipótesis. Por lo tanto ![{\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y\en V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ||y||_{V}\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {dist} (y,L_{1}(B))>2/3}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y=L_{0}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\en B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ||x||_{B}\leq C||y||_{V}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ||y-L_{1}(x)||_{V}=||(L_{0}-L_{1})(x)||_{V}\leq ||L_{0 }-L_{1}||||x||_{B}\leq 1/3,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo cual es una contradicción ya que .![{\ Displaystyle L_ {1} (x) \ en L_ {1} (B)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Fuentes
- Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7