Desigualdad por interpolación de Gagliardo-Nirenberg

En matemáticas , y en particular en análisis matemático , la desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg es un resultado de la teoría de los espacios de Sobolev que relaciona las normas de diferentes derivadas débiles de una función a través de una desigualdad de interpolación . El teorema es de particular importancia en el marco de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y fue formulado originalmente por Emilio Gagliardo y Louis Nirenberg en 1958. La desigualdad de Gagliardo-Nirenberg ha encontrado numerosas aplicaciones en la investigación de ecuaciones diferenciales parciales no lineales y se ha generalizado a espacios fraccionarios de Sobolev de Haim Brezis y Petru Mironescu a finales de la década de 2010. ${\displaystyle L^{p}}$

Historia

La desigualdad Gagliardo-Nirenberg fue propuesta originalmente por Emilio Gagliardo y Louis Nirenberg en dos contribuciones independientes durante el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Edimburgo del 14 al 21 de agosto de 1958. ^{[1] [2]} Al año siguiente, ambos Los autores mejoraron sus resultados y los publicaron de forma independiente. ^{[3] [4] [5]} Sin embargo, durante mucho tiempo no se encontró en la literatura una prueba completa de la desigualdad. De hecho, hasta cierto punto, ambas obras originales de Gagliardo y Nirenberg no contienen un argumento completo y riguroso que demuestre el resultado. Por ejemplo, Nirenberg incluyó por primera vez la desigualdad en una colección de conferencias dadas en Pisa del 1 al 10 de septiembre de 1958. La transcripción de las conferencias se publicó posteriormente en 1959, y el autor establece explícitamente sólo los pasos principales de la demostración. ^[5] Por otra parte, la prueba de Gagliardo no arrojó el resultado con total generalidad, es decir, para todos los valores posibles de los parámetros que aparecen en el enunciado. ^[6] En 2021 se publicó una prueba detallada en todo el espacio euclidiano. ^[6]

Desde su formulación original, varios matemáticos trabajaron en demostrar y generalizar desigualdades de tipo Gagliardo-Nirenberg. El matemático italiano Carlo Miranda desarrolló una primera generalización en 1963, ^[7] que fue abordada y refinada por Nirenberg más tarde en 1966. ^[8] La investigación de las desigualdades de tipo Gagliardo-Nirenberg continuó en las décadas siguientes. Por ejemplo, se llevó a cabo un estudio cuidadoso sobre los exponentes negativos ampliando el trabajo de Nirenberg en 2018, ^[9] mientras que Brezis y Mironescu caracterizaron con total generalidad las incrustaciones entre espacios de Sobolev extendiendo la desigualdad a órdenes fraccionarios. ^{[10] [11]}

Declaración de la desigualdad

Para cualquier cantidad positiva real extendida (es decir, posiblemente infinita) y cualquier número entero , denotemos los espacios habituales , mientras que denota el espacio de Sobolev que consta de todas las funciones con valores reales de modo que todas sus derivadas débiles hasta el orden también estén en . Ambas familias de espacios pretenden estar dotadas de sus normas estándar, a saber: ^[12] donde significa supremo esencial . Arriba, por conveniencia, se utiliza la misma notación para los espacios de Lebesgue y Sobolev escalares, vectoriales y tensoriales. ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}:={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\{\underset {\mathbb {R} ^{n}}{\operatorname {ess\,sup} }}\,|u|&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\end{cases}}\qquad \qquad \|u\|_{W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:={\begin{cases}\left(\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\\ \ \ \displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,sup} }$

La versión original del teorema, para funciones definidas en todo el espacio euclidiano , se puede enunciar de la siguiente manera. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Teorema ^[13]  (Gagliardo-Nirenberg)  —  Sea una cantidad real extendida positiva. Sean y números enteros no negativos tales que . Además, sea una cantidad real extendida positiva, real y tal que se mantengan las relaciones . Entonces, para cualquier tal que , con dos casos excepcionales: ${\displaystyle 1\leq q\leq +\infty }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle j<m}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq +\infty }$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ $${\displaystyle {\dfrac {1}{p}}={\dfrac {j}{n}}+\theta \left({\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {m}{n}}\right)+{\dfrac {1-\theta }{q}},\qquad {\dfrac {j}{m}}\leq \theta \leq 1}$$ $${\displaystyle \|D^{j}u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{m}u\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}^{\theta }\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{1-\theta }}$$ ${\displaystyle u\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle D^{m}u\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$

1. si (en el entendido de que ), y , entonces se necesita una suposición adicional: tiende a 0 en el infinito o para algún valor finito de ; ${\displaystyle j=0}$ ${\displaystyle D^{0}u=u}$ ${\displaystyle q=+\infty }$ ${\displaystyle rm<n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in L^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle s}$
2. si y es un número entero no negativo, entonces se necesita el supuesto adicional (obsérvese la desigualdad estricta). ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle m-j-{\frac {n}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {j}{m}}\leq \theta <1}$

En cualquier caso, la constante depende de los parámetros , pero no de . ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle j,\,m,\,n,\,q,\,r,\,\theta }$ ${\displaystyle u}$

Observe que el parámetro está determinado únicamente por todos los demás y generalmente se supone que es finito. ^[8] Sin embargo, existen formulaciones más tajantes en las que se considera (pero se pueden excluir otros valores, por ejemplo ). ^[9] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=+\infty }$ ${\displaystyle j=0}$

Corolarios relevantes de la desigualdad Gagliardo-Nirenberg

La desigualdad de Gagliardo-Nirenberg generaliza una colección de resultados bien conocidos en el campo del análisis funcional . De hecho, dada una elección adecuada de los siete parámetros que aparecen en el enunciado del teorema, se obtienen varias desigualdades útiles y recurrentes en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales:

• El teorema de incrustación de Sobolev establece la existencia de incrustaciones continuas entre espacios de Sobolev con diferentes órdenes de diferenciación y/o integrabilidad. Se puede obtener a partir del ajuste de desigualdad de Gagliardo-Nirenberg (de modo que la elección de se vuelve irrelevante, y lo mismo ocurre con el requisito asociado ) y los parámetros restantes de tal manera que se cumplan y las demás hipótesis. El resultado es entonces para cualquier cosa que . En particular, al establecer y se obtiene eso , es decir, el exponente conjugado de Sobolev de , y tenemos la incrustación. Tenga en cuenta que, en la incrustación anterior, también asumimos implícitamente que y, por lo tanto, el primer caso excepcional no se aplica. ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle u\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {j}{n}}={\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {m}{n}}}$$ $${\displaystyle \|D^{j}u\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|D^{m}u\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D^{m}u\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle j=0}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle p=r^{*}}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle W^{1,r}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow L^{r^{*}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$ ${\displaystyle u\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$
• La desigualdad de Ladyzhenskaya es un caso especial de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg. Considerando los casos más comunes, a saber, y , tenemos el primero correspondiente a la elección del parámetro que produce cualquier La constante es universal y se puede demostrar que lo es . ^[14] En tres dimensiones espaciales, se necesita una elección de parámetros ligeramente diferente, es decir, ceder para cualquier . Aquí se mantiene . ^[14] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ $${\displaystyle j=0,\quad m=1,\quad p=4,\quad q=r=2,\quad \theta ={\frac {1}{2}},}$$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{4}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}^{\frac {1}{2}}\|\nabla u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}^{\frac {1}{2}}}$$ ${\displaystyle u\in W^{1,2}(\mathbb {R} ^{2}).}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2^{-{\frac {1}{4}}}}$ $${\displaystyle j=0,\quad m=1,\quad p=4,\quad q=r=2,\quad \theta ={\frac {3}{4}},}$$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{4}(\mathbb {R} ^{3})}\leq C\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}^{\frac {1}{4}}\|\nabla u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}^{\frac {3}{4}}}$$ ${\displaystyle u\in W^{1,2}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle C=\left({\frac {4{\sqrt {3}}}{9}}\right)^{\frac {3}{4}}}$
• La desigualdad de Nash, publicada por John Nash en 1958, es otro resultado generalizado por la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg. De hecho, al elegir uno se obtiene , que a menudo se reformula como su versión cuadrada. ^{[15] [16]} $${\displaystyle j=0,\quad m=1,\quad n\geq 1,\quad p=2,\quad q=1,\quad r=2,\quad \theta ={\frac {n}{n+2}},}$$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {2}{n+2}}\|\nabla u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {n}{n+2}}}$$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{1+{\frac {2}{n}}}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}^{\frac {2}{n}}\|\nabla u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}}$$

Prueba de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg

Desde hace mucho tiempo, desde sus primeras afirmaciones, falta en la literatura una prueba completa y detallada de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg. De hecho, ambas obras originales de Gagliardo y Nirenberg carecían de algunos detalles, o incluso presentaban sólo los pasos principales de la prueba. ^[6]

El punto más delicado se refiere al caso límite . Para evitar los dos casos excepcionales, asumimos además que es finito y que , en particular, es finito . El núcleo de la prueba se basa en dos pruebas por inducción . ${\textstyle \theta ={\frac {j}{m}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u\in W^{m,r}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle u\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$

La desigualdad de Gagliardo-Nirenberg en dominios acotados

En muchos problemas provenientes de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, uno tiene que lidiar con funciones cuyo dominio no es todo el espacio euclidiano , sino más bien algún conjunto acotado, abierto y conexo . A continuación, también asumimos que tiene medida de Lebesgue finita y satisface la condición del cono (entre ellos se encuentran los dominios de Lipschitz ampliamente utilizados ). Tanto Gagliardo como Nirenberg descubrieron que su teorema podía extenderse a este caso añadiendo un término de penalización al lado derecho. Precisamente, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \Omega }$

Teorema ^[17]  (Gagliardo-Nirenberg en dominios acotados)  -  Sea un dominio medible, acotado, abierto y conexo que satisfaga la condición del cono. Sea una cantidad real extendida positiva. Sean y números enteros no negativos tales que . Además, sea una cantidad real extendida positiva, real y tal que se mantengan las relaciones . Entonces, cuando tal que y sea arbitrario, con un caso excepcional: ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq +\infty }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle j<m}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq +\infty }$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ $${\displaystyle {\dfrac {1}{p}}={\dfrac {j}{n}}+\theta \left({\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {m}{n}}\right)+{\dfrac {1-\theta }{q}},\qquad {\dfrac {j}{m}}\leq \theta \leq 1}$$ $${\displaystyle \|D^{j}u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|D^{m}u\|_{L^{r}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{L^{q}(\Omega )}^{1-\theta }+C\|u\|_{L^{\sigma }(\Omega )}}$$ ${\displaystyle u\in L^{q}(\Omega )}$ ${\displaystyle D^{m}u\in L^{r}(\Omega )}$ ${\displaystyle \sigma }$

1. si y es un número entero no negativo, entonces se necesita el supuesto adicional (obsérvese la desigualdad estricta). ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle m-j-{\frac {n}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {j}{m}}\leq \theta <1}$

En cualquier caso, la constante depende de los parámetros , del dominio , pero no de . ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle j,\,m,\,n,\,q,\,r,\,\theta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$

La necesidad de una formulación diferente con respecto al caso es bastante sencilla de probar. De hecho, dado que tiene una medida de Lebesgue finita, cualquier función afín pertenece a para cada (incluido ). Por supuesto, se cumple mucho más: las funciones afines pertenecen a y todas sus derivadas de orden mayor o igual a dos son idénticamente iguales a cero en . Se puede ver fácilmente que la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg para el caso no es cierta para ninguna función afín no constante, ya que se logra inmediatamente una contradicción cuando y y , por lo tanto, no puede ser válida en general para funciones integrables definidas en dominios acotados. ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=+\infty }$ ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle j=1}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

Dicho esto, bajo supuestos ligeramente más sólidos, es posible reformular el teorema de tal manera que el término de penalización sea "absorbido" en el primer término del lado derecho. De hecho, si , entonces se puede elegir y obtener. Esta formulación tiene la ventaja de recuperar la estructura del teorema en todo el espacio euclidiano, con la única precaución de que la seminorma de Sobolev se reemplaza por la norma completa. Por esta razón, la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg en dominios acotados comúnmente se expresa de esta manera. ^[18] ${\displaystyle u\in L^{q}(\Omega )\cap W^{m,r}(\Omega )}$ ${\displaystyle \sigma =\min(r,q)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\|D^{j}u\|_{L^{p}(\Omega )}&\leq C\|D^{m}u\|_{L^{r}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{L^{q}(\Omega )}^{1-\theta }+C\|u\|_{L^{\min(r,q)}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{L^{\min(r,q)}(\Omega )}^{1-\theta }\\&\leq C\|u\|_{W^{m,r}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{L^{q}(\Omega )}^{1-\theta }.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle W^{m,r}}$

Finalmente, observe que el primer caso excepcional que aparece en el enunciado de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg para todo el espacio ya no es relevante en dominios acotados, ya que para conjuntos de medidas finitas tenemos que para cualquier finito ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega )\hookrightarrow L^{\rho }(\Omega )}$ ${\displaystyle \rho \geq 1.}$

Generalización a órdenes no enteras

El problema de interpolar diferentes espacios de Sobolev ha sido resuelto con total generalidad por Haïm Brezis y Petru Mironescu en dos trabajos fechados en 2018 y 2019. ^{[10] [11]} Además, sus resultados no dependen de la dimensión y permiten valores reales de y , en lugar de un número entero. Aquí, es el espacio completo, un medio espacio o un dominio acotado y de Lipschitz. Si y es una cantidad real extendida, el espacio se define de la siguiente manera y si establecemos donde y denotamos la parte entera y la parte fraccionaria de , respectivamente, es decir . ^[19] En esta definición, se entiende que , de modo que los espacios habituales de Sobolev se recuperan siempre que sea un número entero positivo. Estos espacios a menudo se denominan espacios fraccionarios de Sobolev. Una generalización de la desigualdad Gagliardo-Nirenberg a estos espacios dice ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s\in (0,1)}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$ $${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):={\begin{cases}\left\{u\in L^{p}(\Omega ):{\dfrac {|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{s+{\frac {n}{p}}}}}\in L^{p}(\Omega \times \Omega )\right\}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\\left\{u\in L^{\infty }(\Omega ):{\dfrac {|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{s}}}\in L^{\infty }(\Omega \times \Omega )\right\}&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\\\end{cases}}\qquad \|u\|_{W^{s,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\|u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\displaystyle \int _{\Omega }\int _{\Omega }{\dfrac {|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+sp}}}\right)^{\frac {1}{p}}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\\|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}+\left\|{\dfrac {u(x)-u(y)}{(x-y)^{s}}}\right\|_{L^{\infty }(\Omega \times \Omega )}&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\end{cases}}}$$ ${\displaystyle s\geq 1}$ $${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\{u\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):D^{\lfloor s\rfloor }u\in W^{\{s\},p}(\Omega )\},\qquad \|u\|_{W^{s,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\|u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|D^{\lfloor s\rfloor }u\|_{W^{\{s\},p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&\quad {\text{if }}p<+\infty ,\\\|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}+\|D^{\lfloor s\rfloor }u\|_{W^{\{s\},\infty }(\Omega )}&\quad {\text{if }}p=+\infty ;\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \lfloor s\rfloor }$ ${\displaystyle \{s\}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=\lfloor s\rfloor +\{s\}}$ ${\displaystyle W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle s}$

Teorema ^[20]  (Brezis-Mironescu)  :  sea el espacio completo, un medio espacio o un dominio de Lipschitz acotado. Sean tres cantidades reales extendidas positivas y números reales no negativos. Es más, dejemos y asumamos ese control. Entonces, para cualquier si y solo si la constante depende de los parámetros , del dominio , pero no de . ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq p,\,p_{1},\,p_{2}\leq +\infty }$ ${\displaystyle s,\,s_{1},\,s_{2}}$ ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$ $${\displaystyle s_{1}\leq s_{2},\qquad s=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2},\qquad {\dfrac {1}{p}}={\dfrac {\theta }{p_{1}}}+{\dfrac {1-\theta }{p_{2}}}}$$ $${\displaystyle \|u\|_{W^{s,p}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{s_{1},p_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{W^{s_{2},p_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }}$$ ${\displaystyle u\in W^{s_{1},p_{1}}(\Omega )\cap W^{s_{2},p_{2}}(\Omega )}$ $${\displaystyle {\text{at least one of}}\quad {\begin{cases}s_{2}\in \mathbb {N} {\text{ and }}s_{2}\geq 1,\\p_{2}=1,\\0<s_{2}-s_{1}\leq 1-\displaystyle {\dfrac {1}{p_{1}}}\end{cases}}\quad {\text{is false.}}}$$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle p,\,p_{1},\,p_{2},\,s,\,s_{1},\,s_{2},\,\theta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$

Por ejemplo, la elección del parámetro da la estimación. La validez de la estimación se garantiza, por ejemplo, por el hecho de que . $${\displaystyle p={\dfrac {8}{3}},\quad p_{1}=2,\quad p_{2}=4,\quad s={\dfrac {7}{12}},\quad s_{1}={\dfrac {1}{2}},\quad s_{2}={\dfrac {2}{3}},\quad \theta ={\dfrac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle \|u\|_{W^{{\frac {7}{12}},{\frac {8}{3}}}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{{\frac {1}{2}},2}(\Omega )}^{\frac {1}{2}}\|u\|_{W^{{\frac {2}{3}},4}(\Omega )}^{\frac {1}{2}}.}$$ ${\displaystyle p_{2}\neq 1}$

Ver también

• Métrica (matemáticas)
• Análisis funcional
• Espacio funcional

Referencias

1. Gagliardo, Emilio (14 al 21 de agosto de 1958). Propiedades de ciertas clases de funciones de n {\displaystyle n} variables (PDF) . Congreso Internacional de Matemáticos (en francés). Edimburgo. pag. xiv.
2. Nirenberg, Louis (14 al 21 de agosto de 1958). Desigualdades para derivados (PDF) . Congreso Internacional de Matemáticos. Edimburgo. pag. xxvii.
3. Gagliardo, Emilio (1958). "Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili". Ricerche di Matematica (en italiano). 7 (1): 102-137.
4. Gagliardo, Emilio (1959). "Ulteriori proprietà di alcune classi di funzioni di más variabili". Ricerche di Matematica (en italiano). 8 : 24–51.
5. Nirenberg, Louis (1959). "Sobre ecuaciones diferenciales parciales elípticas". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa . 3 (13): 115–162.
6. Fiorenza, Alberto; Formica, María Rosaria; Roskovec, Tomaš; Soudský, Filip (2021). "Prueba detallada de la desigualdad de interpolación clásica de Gagliardo-Nirenberg con comentarios históricos". Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 40 (2): 217–236. arXiv : 1812.04281 . doi :10.4171/ZAA/1681. ISSN  0232-2064. S2CID  119708752.
7. Miranda, Carlo (1963). "Su alcune disuguaglianze integrali". Atti dell'Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (en italiano). 8 (7): 1–14.
8. Nirenberg, Louis (1966). "Sobre una desigualdad de interpolación extendida". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa . 3 (20): 733–737.
9. Soudský, Filip; Molchanova, Anastasia; Roskovec, Tomáš (2018). "Interpolación entre espacios de Hölder y Lebesgue con aplicaciones". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 466 (1): 160–168. arXiv : 1801.06865 . doi : 10.1016/j.jmaa.2018.05.067 . S2CID  119577652.
10. Brezis, Haïm; Mironescu, Petru (2018). "Desigualdades y no desigualdades de Gagliardo-Nirenberg: la historia completa". Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 35 (5): 1355-1376. Código Bib : 2018AIHPC..35.1355B. doi : 10.1016/j.anihpc.2017.11.007 . ISSN  0294-1449. S2CID  58891735.
11. Brezis, Haïm; Mironescu, Petru (15 de octubre de 2019). "Donde Sobolev interactúa con Gagliardo – Nirenberg". Revista de análisis funcional . 277 (8): 2839–2864. doi : 10.1016/j.jfa.2019.02.019 . ISSN  0022-1236. S2CID  128179938.
12. Brezis, Haim (2011). Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y Ecuaciones Diferenciales Parciales. Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-0-387-70914-7. ISBN 978-0-387-70913-0.
13. Nirenberg, Luis (1959). "Sobre ecuaciones diferenciales parciales elípticas". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa . 3 (13): 125.
14. Galdi, Giovanni Paolo (2011). Introducción a la teoría matemática de las ecuaciones de Navier-Stokes. Problemas del estado estacionario. Monografías de Springer en Matemáticas (2ª ed.). Saltador. pag. 55. doi :10.1007/978-0-387-09620-9. ISBN 978-0-387-09619-3.
15. Nash, John (1958). "Continuidad de soluciones de ecuaciones parabólicas y elípticas". Revista Estadounidense de Matemáticas . 80 (4): 931–954. Código bibliográfico : 1958AmJM...80..931N. doi :10.2307/2372841. JSTOR  2372841.
16. Bouin, Emeric; Dolbeault, Jean; Schmeiser, cristiano (2020). "Una prueba variacional de la desigualdad de Nash" (PDF) . Atti dell'Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali . 31 (1): 211–223. doi :10.4171/RLM/886. S2CID  119668382.
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18. Brezis, Haim (2011). Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y Ecuaciones Diferenciales Parciales. Nueva York: Springer. pag. 233.doi :10.1007/978-0-387-70914-7 . ISBN 978-0-387-70913-0.
19. Di Nezza, Eleonora; Palatucci, Giampiero; Valdinoci, Enrico (2012). "Guía del autoestopista de los espacios fraccionarios de Sobolev". Boletín de Ciencias Matemáticas . 136 (5): 524. arXiv : 1104.4345 . doi : 10.1016/j.bulsci.2011.12.004 . ISSN  0007-4497. S2CID  55443959.
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