En el campo matemático de la geometría diferencial , la planitud de Ricci es una condición de la curvatura de una variedad ( pseudo ) Riemanniana . Las variedades planas de Ricci son un tipo especial de variedad de Einstein . En física teórica , las variedades Lorentzianas de Ricci planas son de interés fundamental, ya que son las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío con constante cosmológica evanescente .
En la geometría lorentziana, se conocen varias métricas planas de Ricci a partir de las obras de Karl Schwarzschild , Roy Kerr e Yvonne Choquet-Bruhat . En geometría riemanniana , la resolución de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi produjo una serie de métricas planas de Ricci en variedades de Kähler .
Una variedad pseudo-riemanniana se dice que es plana de Ricci si su curvatura de Ricci es cero. [1] Es directo verificar que, excepto en la dimensión dos, una métrica es Ricci-plana si y sólo si su tensor de Einstein es cero. [2] Las variedades planas de Ricci son uno de los tres tipos especiales de variedades de Einstein , que surgen como el caso especial de curvatura escalar igual a cero.
A partir de la definición del tensor de curvatura de Weyl , se puede ver directamente que cualquier métrica plana de Ricci tiene una curvatura de Weyl igual al tensor de curvatura de Riemann . Al tomar pistas , es fácil ver que lo contrario también se cumple. Esto también se puede expresar como que la planicidad de Ricci se caracteriza por la desaparición de las dos partes que no son de Weyl de la descomposición de Ricci .
Dado que la curvatura de Weyl desaparece en dos o tres dimensiones, cada métrica plana de Ricci en estas dimensiones es plana . Por el contrario, de las definiciones se desprende automáticamente que cualquier métrica plana es Ricci-plana. El estudio de métricas planas suele considerarse un tema en sí mismo. Como tal, el estudio de las métricas planas de Ricci es sólo un tema distinto en la dimensión cuatro y superiores.
Como se señaló anteriormente, cualquier métrica plana es Ricci-plana. Sin embargo, no es trivial identificar variedades planas de Ricci cuya curvatura completa sea distinta de cero.
En 1916, Karl Schwarzschild encontró las métricas de Schwarzschild , que son variedades Lorentzianas planas de Ricci de curvatura distinta de cero. [3] Roy Kerr encontró más tarde las métricas de Kerr , una familia de dos parámetros que contiene las métricas de Schwarzschild como un caso especial. [4] Estas métricas son completamente explícitas y son de interés fundamental en las matemáticas y la física de los agujeros negros . De manera más general, en la relatividad general , las variedades Lorentzianas planas de Ricci representan las soluciones de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmológica evanescente . [5]
Muchas variedades pseudo-riemannianas se construyen como espacios homogéneos . Sin embargo, estas construcciones no son directamente útiles para las métricas de Ricci-plana de Riemann, en el sentido de que cualquier variedad de Riemann homogénea que sea Ricci-plana debe ser plana. [6] Sin embargo, hay variedades de Lorentz homogéneas (e incluso simétricas ) que son planas de Ricci pero no planas, como se desprende de una construcción explícita y un cálculo de álgebras de Lie . [7]
Hasta la resolución de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi en la década de 1970, no se sabía si cada métrica Ricci-plana de Riemann en una variedad cerrada es plana. [8] Su trabajo, utilizando técnicas de ecuaciones diferenciales parciales , estableció una teoría de existencia integral para las métricas planas de Ricci en el caso especial de las métricas de Kähler en variedades complejas cerradas . Debido a sus técnicas analíticas, las métricas no son explícitas incluso en los casos más simples. Estas variedades de Riemann suelen denominarse variedades de Calabi-Yau , aunque varios autores utilizan este nombre de formas ligeramente diferentes. [9]
En relación con las coordenadas armónicas , la condición de planitud de Ricci para una métrica de Riemann puede interpretarse como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . Es una consecuencia directa de los resultados de regularidad elíptica estándar que cualquier métrica Ricci-plana de Riemann en una variedad suave es analítica, en el sentido de que las coordenadas armónicas definen una estructura analítica compatible , y la representación local de la métrica es analítica real . Esto también es válido en el contexto más amplio de las métricas de Einstein-Riemann. [10]
De manera análoga, en relación con las coordenadas armónicas, la planitud de Ricci de una métrica de Lorentz puede interpretarse como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . Basándose en esta perspectiva, Yvonne Choquet-Bruhat desarrolló la condición de planitud de Ricci. Llegó a un resultado definitivo en colaboración con Robert Geroch en la década de 1960, estableciendo cómo una cierta clase de métricas lorentzianas planas de Ricci máximamente extendidas son prescritas y construidas por ciertos datos de Riemann. Estos se conocen como desarrollos máximos globalmente hiperbólicos . En la relatividad general, esto normalmente se interpreta como una formulación de valor inicial de las ecuaciones de campo de Einstein para la gravitación. [11]
El estudio de la planitud de Ricci en los casos de Riemann y Lorentz es bastante distinto. Esto ya lo indica la distinción fundamental entre las métricas geodésicamente completas, típicas de la geometría riemanniana, y los desarrollos máximos globalmente hiperbólicos que surgen del trabajo de Choquet-Bruhat y Geroch. Además, la analiticidad y la correspondiente continuación única de una métrica Riemanniana plana de Ricci tiene un carácter fundamentalmente diferente a la de las métricas Lorentzianas planas de Ricci, que tienen velocidades de propagación finitas y fenómenos totalmente localizables. Esto puede verse como un análogo geométrico no lineal de la diferencia entre la ecuación de Laplace y la ecuación de onda .
El teorema de existencia de Yau para las métricas de Ricci-plano de Kähler estableció la condición topológica precisa bajo la cual dicha métrica existe en una variedad compleja cerrada dada : la primera clase de Chern del paquete tangente holomórfico debe ser cero. La necesidad de esta condición era conocida previamente por la teoría de Chern-Weil .
Más allá de la geometría de Kähler, la situación no se comprende tan bien. Una variedad cerrada y orientada de cuatro dimensiones que admita cualquier métrica de Einstein-Riemann debe satisfacer la desigualdad de Hitchin-Thorpe en sus datos topológicos. Como casos particulares de teoremas bien conocidos sobre variedades de Riemann de curvatura de Ricci no negativa, cualquier variedad con una métrica de Riemann plana de Ricci completa debe: [12]
Mikhael Gromov y Blaine Lawson introdujeron la noción de ampliabilidad de una variedad cerrada. La clase de variedades ampliables está cerrada bajo equivalencia de homotopía , la toma de productos, y bajo la suma conectada con una variedad cerrada arbitraria. Cada variedad Riemanniana de Ricci plana de esta clase es plana, lo cual es un corolario del teorema de división de Cheeger y Gromoll . [13]
En una variedad de Kähler simplemente conectada , una métrica de Kähler es Ricci-plana si y sólo si el grupo de holonomía está contenido en el grupo unitario especial . En una variedad de Kähler general, la dirección if todavía se mantiene, pero solo el grupo de holonomía restringido de una métrica de Kähler plana de Ricci está necesariamente contenido en el grupo unitario especial. [14]
Una variedad hiperkähler es una variedad de Riemann cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo simpléctico . Esta condición en una variedad de Riemann también puede caracterizarse (en términos generales) por la existencia de dos esferas de estructuras complejas que son todas paralelas . Esto dice en particular que cada métrica de Hyperkähler es Kähler; además, según el teorema de Ambrose-Singer , cada una de esas métricas es Ricci-plana. El teorema de Calabi-Yau se especializa en este contexto, dando un teorema general de existencia y unicidad para métricas de hiperkähler en variedades compactas de Kähler que admiten estructuras holomorfas simplécticas. Eugenio Calabi había obtenido anteriormente ejemplos de métricas de Hyperkähler en espacios no compactos . El espacio Eguchi-Hanson , descubierto al mismo tiempo, es un caso especial de su construcción. [15]
Una variedad de cuaternión-Kähler es una variedad de Riemann cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo de Lie Sp(n)·Sp(1) . Marcel Berger demostró que cualquier métrica de este tipo debe ser Einstein. Además, cualquier variedad de Ricci-cuaternión plano-Kähler debe ser localmente hiperkähler, lo que significa que el grupo de holonomía restringido está contenido en el grupo simpléctico. [dieciséis]
Una variedad G 2 o variedad Spin(7) es una variedad riemanniana cuyo grupo de holonomía está contenido en los grupos de Lie Spin(7) o G 2 . El teorema de Ambrose-Singer implica que cualquier variedad de este tipo es Ricci-plana. [17] La existencia de variedades cerradas de este tipo fue establecida por Dominic Joyce en la década de 1990. [18]
Marcel Berger comentó que todos los ejemplos conocidos de métricas Ricci-planas de Riemann irreducibles en variedades cerradas simplemente conectadas tienen grupos de holonomía especiales, de acuerdo con las posibilidades anteriores. No se sabe si esto sugiere un teorema general desconocido o simplemente una limitación de las técnicas conocidas. Por esta razón, Berger consideraba que las variedades planas de Ricci eran "extremadamente misteriosas". [19]
Notas.
Fuentes.