Colector globalmente hiperbólico

En física matemática , la hiperbolicidad global es una condición determinada en la estructura causal de una variedad espacio-temporal (es decir, una variedad lorentziana). Se llama hiperbólica en analogía con la teoría lineal de la propagación de ondas , donde el estado futuro de un sistema está especificado por las condiciones iniciales . (A su vez, el símbolo principal del operador ondulatorio es el de un hiperboloide ). Esto es relevante para la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y potencialmente para otras teorías gravitacionales métricas.

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes de hiperbolicidad global. Sea M una variedad de Lorentz conexa suave y sin límite. Hacemos las siguientes definiciones preliminares:

• M no es totalmente vicioso si hay al menos un punto tal que ninguna curva temporal cerrada lo atraviese.
• M es causal si no tiene curvas causales cerradas.
• M es encarcelamiento no total si no hay una curva causal inextensible contenida en un conjunto compacto. Esta propiedad implica causalidad.
• M es fuertemente causal si para cada punto p y cualquier vecindad U de p hay una vecindad causalmente convexa V de p contenida en U , donde la convexidad causal significa que cualquier curva causal con puntos finales en V está completamente contenida en V. Esta propiedad implica prisión no total.
• Dado cualquier punto p en M , [resp. ] es el conjunto de puntos que se pueden alcanzar mediante un [resp. curva causal continua dirigida al pasado] a partir de p . ${\displaystyle J^{+}(p)}$ ${\displaystyle J^{-}(p)}$
• Dado un subconjunto S de M , el dominio de dependencia de S es el conjunto de todos los puntos p en M tales que cada curva causal inextensible que pasa por p corta a S.
• Un subconjunto S de M es acrónico si ninguna curva temporal intersecta a S más de una vez.
• Una superficie de Cauchy para M es un conjunto acrónico cerrado cuyo dominio de dependencia es M.

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. El espacio-tiempo es causal, y para cada par de puntos p y q en M , el espacio de curvas causales continuas dirigidas al futuro desde p a q es compacto en la topología. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$
2. El espacio-tiempo tiene una superficie de Cauchy.
3. El espaciotiempo es causal, y para cada par de puntos p y q en M , el subconjunto es compacto. ${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$
4. El espacio-tiempo es aprisionador no total, y para cada par de puntos p y q en M , el subconjunto está contenido en un conjunto compacto (es decir, su cierre es compacto). ${\displaystyle {J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}}$

Si se cumple alguna de estas condiciones, decimos que M es globalmente hiperbólica . Si M es una variedad de Lorentz conexa suave y con límite, decimos que es globalmente hiperbólica si su interior es globalmente hiperbólico.

Otras caracterizaciones equivalentes de hiperbolicidad global hacen uso de la noción de distancia de Lorentz donde el supremo se toma sobre todas las curvas causales que conectan los puntos (por convención d=0 si no existe tal curva). Ellos son ${\displaystyle d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma )}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Un espacio-tiempo fuertemente causal cuyo valor es finito. ^[1] ${\displaystyle d}$
• Un espacio-tiempo aprisionador no total tal que sea continuo para cada elección de métrica en la clase conforme de la métrica original. ${\displaystyle d}$

Observaciones

La hiperbolicidad global, en la primera forma dada anteriormente, fue introducida por Leray ^[2] para considerar el buen planteamiento del problema de Cauchy para la ecuación de onda en la variedad. En 1970 Geroch ^[3] demostró la equivalencia de las definiciones 1 y 2. La definición 3 bajo el supuesto de causalidad fuerte y su equivalencia con las dos primeras fue dada por Hawking y Ellis. ^[4]

Como se mencionó, en la literatura más antigua, la condición de causalidad en la primera y tercera definiciones de hiperbolicidad global dadas anteriormente se reemplaza por la condición más fuerte de causalidad fuerte . En 2007, Bernal y Sánchez ^[5] demostraron que la condición de causalidad fuerte puede ser sustituida por causalidad. En particular, cualquier variedad globalmente hiperbólica como se define en 3 es fuertemente causal. Más tarde, Hounnonkpe y Minguzzi ^[6] demostraron que para espacios-tiempos bastante razonables, más precisamente aquellos de dimensión mayor que tres que no son compactos o no totalmente viciosos, la condición "causal" puede eliminarse de la definición 3.

En la definición 3, el cierre de parece fuerte (de hecho, los cierres de los conjuntos implican simplicidad causal , el nivel de la jerarquía causal del espacio-tiempo ^[7] que se mantiene justo por debajo de la hiperbolicidad global). Es posible remediar este problema fortaleciendo la condición de causalidad como en la definición 4 propuesta por Minguzzi ^[8] en 2009. Esta versión aclara que la hiperbolicidad global establece una condición de compatibilidad entre la relación causal y la noción de compacidad: todo diamante causal está contenido en un conjunto compacto y toda curva causal inextensible escapa a los conjuntos compactos. Observe que cuanto mayor sea la familia de conjuntos compactos, más fácil será que los diamantes causales queden contenidos en algún conjunto compacto, pero más difícil será que las curvas causales escapen de los conjuntos compactos. Así, la hiperbolicidad global establece un equilibrio en la abundancia de conjuntos compactos en relación con la estructura causal. Dado que las topologías más finas tienen conjuntos menos compactos, también podemos decir que el equilibrio está en el número de conjuntos abiertos dada la relación causal. La definición 4 también es robusta ante perturbaciones de la métrica (que en principio podrían introducir curvas causales cerradas). De hecho, al utilizar esta versión se ha demostrado que la hiperbolicidad global es estable bajo perturbaciones métricas. ^[9] ${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$ ${\displaystyle J^{\pm }(p)}$

En 2003, Bernal y Sánchez ^[10] demostraron que cualquier variedad globalmente hiperbólica M tiene una superficie de Cauchy tridimensional incrustada suave y, además, que dos superficies de Cauchy cualesquiera para M son difeomorfas. En particular, M es difeomorfo al producto de una superficie de Cauchy con . Anteriormente se sabía que cualquier superficie de Cauchy de una variedad globalmente hiperbólica es una subvariedad tridimensional incrustada , dos de las cuales son homeomorfas y tales que la variedad se divide topológicamente como el producto de la superficie de Cauchy y . En particular, una variedad globalmente hiperbólica está foliada por superficies de Cauchy. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En vista de la formulación del valor inicial de las ecuaciones de Einstein, la hiperbolicidad global se considera una condición muy natural en el contexto de la relatividad general, en el sentido de que dados datos iniciales arbitrarios, existe una solución globalmente hiperbólica máxima única de las ecuaciones de Einstein.

Ver también

• Condiciones de causalidad
• estructura causal
• Cono de luz

Referencias

1. JK Beem, PE Ehrlich y KL Easley, "Geometría lorentziana global". Nueva York: Marcel Dekker Inc. (1996).
2. Jean Leray, "Ecuaciones diferenciales hiperbólicas". Notas mimeografiadas, Princeton, 1952.
3. Robert P. Geroch, "Dominio de la dependencia", Journal of Mathematical Physics 11 , (1970) 437, 13pp.
4. Stephen Hawking y George Ellis, "La estructura a gran escala del espacio-tiempo". Cambridge: Cambridge University Press (1973).
5. Antonio N. Bernal y Miguel Sánchez, "Los espacios-tiempos globalmente hiperbólicos pueden definirse como 'causales' en lugar de 'fuertemente causales'", Classical and Quantum Gravity 24 (2007), no. 3, 745–749 [1]
6. Raymond N. Hounnonkpe y Ettore Minguzzi, "Los espacios-tiempos globalmente hiperbólicos se pueden definir sin la condición 'causal'", Classical and Quantum Gravity 36 (2019), 197001 [2]
7. E. Minguzzi y M. Sánchez, "The Causal Hierarchy of Spacetimes", en Desarrollos recientes en geometría pseudo-riemanniana de ESI Lect. Matemáticas. Phys., editado por H. Baum y D. Alekseevsky (Editorial de la Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zurich, 2008), p. 299 [3]
8. Ettore Minguzzi, "Caracterización de algunas condiciones de causalidad a través de la continuidad de la distancia de Lorentz", Journal of Geometry and Physics 59 (2009), 827–833 [4]
9. JJ Benavides Navarro y E. Minguzzi, "La hiperbolicidad global es estable en la topología de intervalo", Journal of Mathematical Physics 52 (2011), 112504 [5]
10. Antonio N. Bernal y Miguel Sánchez, "Sobre las hipersuperficies lisas de Cauchy y el teorema de división de Geroch", Comunicaciones en Física Matemática 243 (2003), no. 3, 461–470 [6]

• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-09906-4.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-226-87033-2.