Espacio CAT(k)

Tipo de espacio métrico en matemáticas.

En matemáticas , un espacio , donde es un número real, es un tipo específico de espacio métrico . Intuitivamente, los triángulos en un espacio (con ) son "más delgados" que los "triángulos modelo" correspondientes en un espacio estándar de curvatura constante . En un espacio, la curvatura está limitada desde arriba por . Un caso especial notable es ; Los espacios completos se conocen como " espacios de Hadamard " en honor al matemático francés Jacques Hadamard . ${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k<0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$

Originalmente, Aleksandrov llamó a estos espacios " dominios". La terminología fue acuñada por Mikhail Gromov en 1987 y es un acrónimo de Élie Cartan , Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Victor Andreevich Toponogov (aunque Toponogov nunca exploró la curvatura delimitada anteriormente en publicaciones). ${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$

Definiciones

Modele triángulos en espacios de curvatura positiva (arriba), negativa (media) y cero (abajo).

Para un número real , denotemos la única superficie completa simplemente conectada ( variedad de Riemann bidimensional real ) con curvatura constante . Denota por el diámetro de , que es si y es si . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D_{k}}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle k\leq 0}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ ${\displaystyle k>0}$

Sea un espacio métrico geodésico , es decir, un espacio métrico para el cual cada dos puntos pueden estar unidos por un segmento geodésico, un arco de longitud curva continua parametrizado , cuya longitud ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X,\ \gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y}$

${\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=b,r\in \mathbb {N} \right\}}$

es precisamente . Sea un triángulo con segmentos geodésicos como lados. se dice que satisface la desigualdad si hay un triángulo de comparación en el espacio modelo , con lados de la misma longitud que los lados de , de manera que las distancias entre los puntos en son menores o iguales a las distancias entre los puntos correspondientes en . ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta '}$

Se dice que el espacio métrico geodésico es un espacio si cada triángulo geodésico con un perímetro menor que satisface la desigualdad. Se dice que un espacio métrico (no necesariamente geodésico) es un espacio con curvatura si cada punto tiene una vecindad geodésicamente convexa . Se puede decir que un espacio con curvatura tiene curvatura no positiva . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2D_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle (X,\,d)}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle \leq 0}$

Ejemplos

• Cualquier espacio es también un espacio para todos . De hecho, ocurre lo contrario: si es un espacio para todos , entonces es un espacio. ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$ ${\displaystyle \ell >k}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$ ${\displaystyle \ell >k}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$
• El espacio euclidiano de dimensiones con su métrica habitual es un espacio. De manera más general, cualquier espacio de producto interno real (no necesariamente completo) es un espacio; por el contrario, si un espacio vectorial real normado es un espacio para algún real , entonces es un espacio producto interno. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k}$
• El espacio hiperbólico de dimensiones con su métrica habitual es un espacio y, por tanto, también un espacio. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (-1)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$
• La esfera unitaria de dimensiones es un espacio. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (1)}$
• De manera más general, el espacio estándar es un espacio. Entonces, por ejemplo, independientemente de la dimensión, la esfera de radio (y curvatura constante ) es un espacio. Tenga en cuenta que el diámetro de la esfera (medido en la superficie de la esfera) no es (medido pasando por el centro de la esfera). ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle r}$ ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$ ${\textstyle \operatorname {CAT} \left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \pi r}$ ${\displaystyle 2r}$
• El plano perforado no es un espacio ya que no es geodésicamente convexo (por ejemplo, los puntos y no pueden unirse mediante una geodésica con longitud de arco 2), pero cada punto de tiene una vecindad geodésicamente convexa, por lo que también lo es un espacio de curvatura. . ${\displaystyle \Pi =\mathbf {E} ^{2}\backslash \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \leq 0}$
• El subespacio cerrado de dado por equipado con la métrica de longitud inducida no es un espacio para ninguno . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {E} ^{3}\setminus \{(x,y,z)\mid x>0,y>0{\text{ and }}z>0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k}$
• Cualquier producto de espacios es . (Esto no se aplica a los argumentos negativos). ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$

espacios de Hadamard

Como caso especial, un espacio CAT(0) completo también se conoce como espacio Hadamard ; esto es por analogía con la situación de las variedades de Hadamard . Un espacio Hadamard es contráctil (tiene el tipo de homotopía de un solo punto) y, entre dos puntos cualesquiera de un espacio Hadamard, hay un segmento geodésico único que los conecta (de hecho, ambas propiedades también son válidas para CAT generales, posiblemente incompletos). (0) espacios). Lo más importante es que las funciones de distancia en los espacios de Hadamard son convexas : si hay dos geodésicas en X definidas en el mismo intervalo de tiempo I , entonces la función dada por ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle I\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle t\mapsto d{\big (}\sigma _{1}(t),\sigma _{2}(t){\big )}}$

es convexo en t .

Propiedades de los espacios CAT( k )

Sea un espacio. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$

• Dados dos puntos cualesquiera (con if ), hay un segmento geodésico único que se une a ; además, este segmento varía continuamente en función de sus puntos finales. ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle d(x,y)<D_{k}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Cada geodésica local con una longitud máxima es una geodésica. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{k}}$
• Las bolas de radio menor que son (geodésicamente) convexas . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{k}/2}$
• Las bolas de radio menor que son contráctiles. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{k}}$
• Los puntos medios aproximados están cerca de los puntos medios en el siguiente sentido: para todos y cada uno existe tal que, si es el punto medio de un segmento geodésico de a con y ${\displaystyle \lambda <D_{k}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta =\delta (k,\lambda ,\epsilon )>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d(x,y)\leq \lambda }$
  $${\displaystyle \max {\bigl \{}d(x,m'),d(y,m'){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta ,}$$
  entonces . ${\displaystyle d(m,m')<\epsilon }$
• De estas propiedades se sigue que, pues la cobertura universal de todo espacio es contráctil; en particular, los grupos de homotopía superior de dicho espacio son triviales . Como muestra el ejemplo de la esfera , en general no hay esperanza de que un espacio sea contráctil si . ${\displaystyle k\leq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle k>0}$

Superficies de curvatura no positiva.

En una región donde la curvatura de la superficie satisface K ≤ 0 , los triángulos geodésicos satisfacen las desigualdades CAT(0) de geometría de comparación , estudiadas por Cartan , Alexandrov y Toponogov , y consideradas posteriormente desde un punto de vista diferente por Bruhat y Tits . Gracias a la visión de Gromov , esta caracterización de la curvatura no positiva en términos del espacio métrico subyacente ha tenido un profundo impacto en la geometría moderna y, en particular, en la teoría geométrica de grupos . Muchos resultados conocidos para superficies lisas y sus geodésicas, como el método de Birkhoff para construir geodésicas mediante su proceso de acortamiento de curvas o el teorema de van Mangoldt y Hadamard de que una superficie simplemente conexa de curvatura no positiva es homeomorfa con respecto al plano, son igualmente válidos en este configuración más general.

Desigualdad comparativa de Alexandrov

La mediana en el triángulo de comparación siempre es más larga que la mediana real.

La forma más simple de desigualdad de comparación, probada por primera vez para superficies por Alexandrov alrededor de 1940, establece que

La distancia entre un vértice de un triángulo geodésico y el punto medio del lado opuesto es siempre menor que la distancia correspondiente en el triángulo de comparación en el plano con las mismas longitudes de lados.

La desigualdad se deriva del hecho de que si c ( t ) describe una geodésica parametrizada por la longitud del arco y a es un punto fijo, entonces

f ( t ) = re ( a , c ( t )) ² − t ²

es una función convexa , es decir

${\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}$

Tomando coordenadas polares geodésicas con origen en a de modo que ‖ c ( t )‖ = r ( t ) , la convexidad es equivalente a

${\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}$

Cambiando a las coordenadas normales u , v en c ( t ) , esta desigualdad se convierte en

tu ² + H ⁻¹ H _r v ² ≥ 1 ,

donde ( u , v ) corresponde al vector unitario ċ ( t ) . Esto se desprende de la desigualdad H _r ≥ H , una consecuencia de la no negatividad de la derivada de Wronskian de H y r de la teoría de Sturm-Liouville . ^[1]

Ver también

• Teorema de Cartan-Hadamard

Referencias

1. Berger 2004; Jost, Jürgen (1997), Curvatura no positiva: aspectos geométricos y analíticos , Conferencias de Matemáticas, ETH Zurich, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-5736-9

• Alejandro, Estefanía; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Antón. "Geometría de Alexandrov, Capítulo 7" (PDF) . Consultado el 7 de abril de 2011 .
• Alejandro, Estefanía; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Antón. "Invitación a la geometría de Alexandrov: espacios CAT[0]". arXiv : 1701.03483 [matemáticas.DG].
• Ballmann, Werner (1995). Conferencias sobre espacios de curvatura no positiva . Seminario DMV 25. Basilea: Birkhäuser Verlag. págs. viii+112. ISBN 3-7643-5242-6. SEÑOR  1377265.
• Berger, Marcel (2004). Una vista panorámica de la geometría riemanniana . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65317-2.
• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas] 319. Berlín: Springer-Verlag. págs.xxii+643. ISBN 3-540-64324-9. SEÑOR  1744486.
• Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". Ensayos sobre teoría de grupos . Matemáticas. Ciencia. Res. Inst. Publ. 8. Nueva York: Springer. págs. 75–263. SEÑOR  0919829.
• Hindawi, Mohamad A. (2005). Invariantes asintóticas de variedades de Hadamard (PDF) . Universidad de Pensilvania: tesis doctoral.