grupo simpléctico

En matemáticas , el nombre grupo simpléctico puede referirse a dos colecciones diferentes, pero estrechamente relacionadas, de grupos matemáticos , denotados $Sp(2 n, F)$ y $Sp(n)$ para entero positivo n y campo F (normalmente C o R ). Este último se llama grupo simpléctico compacto y también se denota por . Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, generalmente por factores de $2$ . La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de las matrices más comunes que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples , el álgebra de Lie del grupo complejo $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ se denota $C$ $n$ , y $Sp($ $n$ $)$ es la forma real compacta de $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ . Tenga en cuenta que cuando nos referimos al grupo simpléctico (compacto) se da a entender que estamos hablando de la colección de grupos simplécticos (compactos), indexados por su dimensión $n$ . $\mathrm {USp} (n)$

El nombre " grupo simpléctico " fue acuñado por Hermann Weyl como reemplazo de los nombres confusos anteriores ( línea ) grupo complejo y grupo lineal abeliano , y es el análogo griego de "complejo".

El grupo metapléctico es una doble cobertura del grupo simpléctico sobre R ; tiene analogías con otros campos locales , campos finitos y anillos de Adele .

Sp(2 norte , F )

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial de $2 n$ dimensiones sobre el campo $F$ que conserva una forma bilineal asimétrica no degenerada . Tal espacio vectorial se llama espacio vectorial simpléctico , y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto $V$ se denota $Sp($ $V$ $)$ . Al fijar una base para $V$ , el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas de $2$ $n$ $\times 2$ $n$ , con entradas en $F$ , bajo la operación de multiplicación de matrices . Este grupo se denota $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ o $Sp($ $n$ $,$ $F$ $)$ . Si la forma bilineal está representada por la matriz simétrica sesgada no singular Ω, entonces

\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},

donde M ^T es la transpuesta de M . A menudo Ω se define como

\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},

donde In _es la matriz identidad. En este caso, $Sp(2 n, F)$ se puede expresar como aquellas matrices de bloques , donde , que satisfacen las tres ecuaciones: $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$

{\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}

Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante $1$ , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial $SL(2 n, F)$ . Cuando $n = 1$ , la condición simpléctica de una matriz se satisface si y sólo si el determinante es uno, de modo que $Sp(2, F) = SL(2, F)$ . Para $n > 1$ , existen condiciones adicionales, es decir, $Sp(2 n, F)$ es entonces un subgrupo adecuado de $SL(2 n, F)$ .

Normalmente, el campo $F$ es el campo de los números reales $R$ o de los números complejos $C.$ En estos casos $Sp(2 n, F)$ es un grupo de Lie real o complejo de dimensión real o compleja $n (2 n + 1)$ , respectivamente. Estos grupos están conectados pero no son compactos .

El centro de $Sp(2 n, F)$ consta de las matrices $I 2 n$ y $- I 2 n$ siempre que la característica del campo no sea $2$ . ^[1] Dado que el centro de $Sp(2 n, F)$ es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple , $Sp(2 n, F)$ se considera un grupo de Lie simple .

El rango real del álgebra de Lie correspondiente y, por tanto, del grupo de Lie $Sp(2 n, F)$ , es $n$ .

El álgebra de Lie de $Sp(2 n, F)$ es el conjunto

{\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},

equipado con el conmutador como soporte de mentira. ^[2] Para la forma bilineal asimétrica estándar , este álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices de bloques sujetas a las condiciones $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$ $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$

{\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}

Sp(2 norte , C )

El grupo simpléctico sobre el cuerpo de números complejos es un grupo de Lie simple , simplemente conexo y no compacto .

Sp(2 norte , R )

$Sp(n, C)$ es la complejización del grupo real $Sp(2 n, R)$ . $Sp(2 n, R)$ es un grupo de Lie simple , real , no compacto y conexo . ^[3] Tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de números enteros bajo suma. Como forma real de un grupo de Lie simple, su álgebra de Lie es un álgebra de Lie divisible .

Algunas propiedades adicionales de $Sp(2 n, R)$ :

El mapa exponencial del álgebra de Lie $sp (2 n, R)$ al grupo $Sp(2 n, R)$ no es sobreyectivo . Sin embargo, cualquier elemento del grupo se puede representar como producto de dos exponenciales. ^[4] En otras palabras,

\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.

Para todo $S$ en $Sp(2 n, R)$ :

S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.

La matriz

D

es positiva-definida y diagonal . El conjunto de tales

Z

s forma un subgrupo no compacto de

Sp (2 n, R)

mientras que

U (n)

forma un subgrupo compacto. Esta descomposición se conoce como descomposición 'Euler' o 'Bloch-Mesías'. ^[5] Se pueden encontrar más propiedades de matrices simplécticas en esa página de Wikipedia.

Como grupo de Lie , $Sp(2 n, R)$ tiene una estructura múltiple. La variedad para $Sp(2 n, R)$ es difeomorfa al producto cartesiano del grupo unitario $U(n)$ con un espacio vectorial de dimensión $n (n +1)$ . ^[6]

Generadores infinitesimales

Los miembros del álgebra simpléctica de Lie $sp (2 n, F)$ son las matrices hamiltonianas .

Estas son matrices, tales que $Q$

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

donde $B$ y $C$ son matrices simétricas . Consulte el grupo clásico para obtener una derivación.

Ejemplo de matrices simplécticas

Para $Sp(2, R)$ , el grupo de matrices de $2 \times 2 con determinante$ $1$ , las tres matrices simplécticas $(0, 1) son:$ ^[7]

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Sp(2n, R)

Resulta que se puede tener una descripción bastante explícita utilizando generadores. Si denotamos las matrices simétricas , entonces se genera por donde $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $\operatorname {Sym} (n)$ $n\times n$ $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$

${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$

son subgrupos de ^[8]^{pg 173}^[9]^{pg 2} . $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

Relación con la geometría simpléctica

La geometría simpléctica es el estudio de variedades simplécticas . El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico . ^[10] Como se señaló anteriormente, las transformaciones que preservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es $Sp(2 n, F)$ , dependiendo de la dimensión del espacio y del campo sobre el cual se define.

Un espacio vectorial simpléctico es en sí mismo una variedad simpléctica. Una transformación bajo una acción del grupo simpléctico es, por tanto, en cierto sentido, una versión linealizada de un simplectomorfismo que es una estructura más general que preserva la transformación en una variedad simpléctica.

Sp( n )

El grupo simpléctico compacto ^[11] $Sp(n)$ es la intersección de $Sp(2 n, C)$ con el grupo unitario: $2n\times 2n$

\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).

A veces se escribe como $USp(2 n)$ . Alternativamente, $Sp$ $(n)$ puede describirse como el subgrupo de $GL(n, H)$ ( matrices cuaterniónicas invertibles ) que conserva la forma hermitiana estándar en $Hn$ :

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.

Es decir, $Sp(n)$ es simplemente el grupo unitario cuaterniónico , $U(n, H)$ . ^[12] De hecho, a veces se le llama grupo hiperunitario . También Sp(1) es el grupo de cuaterniones de norma $1$ , equivalente a $SU(2)$ y topológicamente un $S$ $3 de$ $3$ esferas .

Tenga en cuenta que $Sp(n)$ no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior; no conserva una forma $H$ -bilineal sesgada y simétrica no degenerada en $H n$ : no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de $Sp(2 n, C)$ y, por lo tanto, conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de dos dimensiones. Como se explica a continuación, el álgebra de Lie de $Sp(n)$ es la forma real compacta del álgebra de Lie simpléctica compleja $sp (2n, C)$ .

$Sp(n)$ es un grupo de Lie real con dimensión (real) $n (2 n + 1)$ . Es compacto y se conecta de forma sencilla . ^[13]

El álgebra de Lie de $Sp(n)$ viene dada por las matrices cuaterniónicas sesgadas-hermitianas , el conjunto de $n -por- n$ matrices cuaterniónicas que satisfacen

A+A^{\dagger }=0

donde $A †$ es la transpuesta conjugada de $A$ (aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El soporte de Lie lo proporciona el conmutador.

Subgrupos importantes

Algunos subgrupos principales son:

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)

\operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {O} (4)

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de algunos otros grupos:

\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)

\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)

\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)

También existen los isomorfismos de las álgebras de Lie $sp (2) = so (5)$ y $sp (1) = so (3) = su (2)$ .

Relación entre los grupos simplécticos.

Todo álgebra de Lie compleja y semisimple tiene una forma real dividida y una forma real compacta ; el primero se denomina complejización de los dos últimos.

El álgebra de Lie de $Sp(2 n, C)$ es semisimple y se denota $sp (2 n, C)$ . Su forma real dividida es $sp (2 n, R)$ y su forma real compacta es $sp (n)$ . Estos corresponden a los grupos de Lie $Sp(2 n, R)$ y $Sp(n)$ respectivamente.

Las álgebras $sp (p, n - p)$ , que son las álgebras de Lie de $Sp(p, n - p)$ , son la firma indefinida equivalente a la forma compacta.

Significado físico

Mecanica clasica

El grupo simpléctico no compacto $Sp(2 n, R)$ aparece en la física clásica como las simetrías de coordenadas canónicas que preservan el corchete de Poisson.

Considere un sistema de $n$ partículas, que evoluciona según las ecuaciones de Hamilton, cuya posición en el espacio de fases en un momento dado se denota por el vector de coordenadas canónicas ,

\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.

Los elementos del grupo $Sp(2 n, R)$ son, en cierto sentido, transformaciones canónicas sobre este vector, es decir, conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton . ^[14]^[15] Si

\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }

son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con un punto que indica la derivada del tiempo,

{\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},

dónde

M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )

para todo $t$ y todo $z$ en el espacio de fase. ^[dieciséis]

Para el caso especial de una variedad de Riemann , las ecuaciones de Hamilton describen las geodésicas de esa variedad. Las coordenadas viven en la variedad subyacente y los momentos viven en el haz cotangente . Ésta es la razón por la que convencionalmente se escriben con índices superior e inferior; es distinguir sus ubicaciones. El hamiltoniano correspondiente consta puramente de energía cinética: es donde está el inverso del tensor métrico en la variedad de Riemann. ^[17]^[15] De hecho, el paquete cotangente de cualquier variedad suave puede ser una estructura simpléctica dada de manera canónica, con la forma simpléctica definida como la derivada exterior de la forma única tautológica . ^[18] $q^{i}$ $p_{i}$ $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

Mecánica cuántica

Considere un sistema de $n$ partículas cuyo estado cuántico codifica su posición y momento. Estas coordenadas son variables continuas y, por tanto, el espacio de Hilbert , en el que vive el estado, es de dimensión infinita. Esto a menudo dificulta el análisis de esta situación. Un enfoque alternativo es considerar la evolución de los operadores de posición y momento bajo la ecuación de Heisenberg en el espacio de fase .

Construir un vector de coordenadas canónicas ,

\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.

La relación de conmutación canónica se puede expresar simplemente como

[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega

dónde

\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}

y $In$ es la $matriz identidad$ $n$ $\times$ $n$ .

Muchas situaciones físicas sólo requieren hamiltonianos cuadráticos , es decir, hamiltonianos de la forma

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}

donde $K$ es una matriz simétrica real de $2 n \times 2 n$ . Esto resulta ser una restricción útil y nos permite reescribir la ecuación de Heisenberg como

{\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}

La solución a esta ecuación debe preservar la relación de conmutación canónica . Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a una acción del grupo simpléctico real, Sp(2n, R), sobre el espacio de fases.

Ver también

Notas

^ "Grupo simpléctico", Enciclopedia de Matemáticas Consultado el 13 de diciembre de 2014.
^ Salón 2015 Proposición 3.25
^ "¿Es simple el grupo simpléctico Sp (2n, R)?", Stack Exchange Consultado el 14 de diciembre de 2014.
^ "¿Es el mapa exponencial de Sp (2n, R) sobreyectivo?", Stack Exchange Consultado el 5 de diciembre de 2014.
^ "Formas estándar e ingeniería de entrelazamiento de estados gaussianos multimodo en operaciones locales: Serafini y Adesso", obtenido el 30 de enero de 2015.
^ "Geometría simpléctica: Arnol'd y Givental", obtenido el 30 de enero de 2015.
^ Grupo simpléctico, (fuente: Wolfram MathWorld ), descargado el 14 de febrero de 2012
^ Gerald B. Folland. (2016). Análisis armónico en el espacio de fases. Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 173.ISBN 978-1-4008-8242-7. OCLC 945482850.
^ Habermann, Katharina, 1966- (2006). Introducción a los operadores simplécticos de Dirac. Saltador. ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC 262692314.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
^ "Notas de la conferencia - Conferencia 2: Reducción simpléctica", obtenido el 30 de enero de 2015.
^ Salón 2015 Sección 1.2.8
^ Salón 2015 p. 14
^ Salón 2015 Proposición 13.12
^ Arnold 1989 ofrece una descripción matemática extensa de la mecánica clásica. Consulte el capítulo 8 para variedades simplécticas .
^ ab Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X
^ Goldstein 1980, sección 9.3
^ Jurgen Jost, (1992) Geometría y análisis geométrico de Riemann , Springer.
^ da Silva, Ana Cannas (2008). Conferencias sobre geometría simpléctica. Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1764. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. pag. 9. doi :10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN 978-3-540-42195-5.

Referencias

Arnold, VI (1989), Métodos matemáticos de la mecánica clásica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 60 (segunda ed.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Fulton, W .; Harris, J. (1991), Teoría de la representación, primer curso , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 129, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8.
Goldstein, H. (1980) [1950]. "Capítulo 7". Mecánica clásica (2ª ed.). Lectura MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.
Lee, JM (2003), Introducción a las variedades suaves , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 218, Springer-Verlag , ISBN 0-387-95448-1
Rossmann, Wulf (2002), Grupos de mentiras: una introducción a través de grupos lineales , Textos de posgrado en matemáticas de Oxford, Publicaciones científicas de Oxford, ISBN 0-19-859683-9
Ferraro, Alejandro; Olivares, Stefano; París, Matteo GA (marzo de 2005), "Estados gaussianos en información cuántica variable continua", arXiv : quant-ph/0503237.