Grupo clásico

En matemáticas , los grupos clásicos se definen como los grupos lineales especiales sobre los reales , los números complejos y los cuaterniones junto con los grupos de automorfismos especiales ^[1] de formas bilineales simétricas o antisimétricas y formas sesquilineales hermíticas o antihermíticas definidas sobre espacios vectoriales de dimensión finita reales, complejos y cuaterniónicos. ^[2] De estos, los grupos de Lie clásicos complejos son cuatro familias infinitas de grupos de Lie que junto con los grupos excepcionales agotan la clasificación de los grupos de Lie simples . Los grupos clásicos compactos son formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Los análogos finitos de los grupos clásicos son los grupos clásicos de tipo Lie . El término "grupo clásico" fue acuñado por Hermann Weyl , siendo el título de su monografía de 1939 Los grupos clásicos . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Los grupos clásicos forman la parte más profunda y útil del tema de los grupos de Lie lineales. ^[4] La mayoría de los tipos de grupos clásicos encuentran aplicación en la física clásica y moderna. Algunos ejemplos son los siguientes. El grupo de rotación SO(3) es una simetría del espacio euclidiano y todas las leyes fundamentales de la física, el grupo de Lorentz O(3,1) es un grupo de simetría del espacio-tiempo de la relatividad especial . El grupo unitario especial SU(3) es el grupo de simetría de la cromodinámica cuántica y el grupo simpléctico Sp( m ) encuentra aplicación en la mecánica hamiltoniana y sus versiones mecánicas cuánticas .

Los grupos clásicos

Los grupos clásicos son exactamente los grupos lineales generales sobre , y junto con los grupos de automorfismos de formas no degeneradas discutidos a continuación. ^[5] Estos grupos suelen estar restringidos adicionalmente a los subgrupos cuyos elementos tienen determinante 1, de modo que sus centros son discretos. Los grupos clásicos, con la condición de determinante 1, se enumeran en la tabla siguiente. En lo que sigue, la condición de determinante 1 no se utiliza de manera consistente en aras de una mayor generalidad. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Los grupos clásicos complejos son SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , SO( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y Sp( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Un grupo es complejo según si su álgebra de Lie es compleja. Los grupos clásicos reales se refieren a todos los grupos clásicos ya que cualquier álgebra de Lie es un álgebra real. Los grupos clásicos compactos son las formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Estos son, a su vez, SU( n ) , SO( n ) y Sp( n ) . Una caracterización de la forma real compacta es en términos del álgebra de Lie g . Si g = u + i u , la complejización de u , y si el grupo conexo K generado por {exp( X ): X ∈ u } es compacto, entonces K es una forma real compacta. ^[6]

Los grupos clásicos pueden caracterizarse uniformemente de forma diferente utilizando formas reales . Los grupos clásicos (aquí con la condición determinante 1, pero esto no es necesario) son los siguientes:

Los grupos algebraicos lineales complejos SL( n , ), SO( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y Sp( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ junto con sus formas reales . ^[7]

Por ejemplo, SO ^∗ (2 n ) es una forma real de SO(2 n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , SU( p , q ) es una forma real de SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , y SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {H} }$ es una forma real de SL(2 n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Sin la condición del determinante 1, reemplace los grupos lineales especiales con los grupos lineales generales correspondientes en la caracterización. Los grupos algebraicos en cuestión son grupos de Lie, pero se necesita el calificador "algebraico" para obtener la noción correcta de "forma real".

Formas bilineales y sesquilineales

Los grupos clásicos se definen en términos de formas definidas en R ⁿ , C ⁿ y H ⁿ , donde R y C son los campos de los números reales y complejos . Los cuaterniones , H , no constituyen un campo porque la multiplicación no conmuta; forman un anillo de división o un campo sesgado o un campo no conmutativo . Sin embargo, todavía es posible definir grupos cuaterniónicos matriciales. Por esta razón, se permite definir un espacio vectorial V sobre R , C , así como H a continuación. En el caso de H , V es un espacio vectorial derecho para hacer posible la representación de la acción del grupo como multiplicación matricial desde la izquierda , al igual que para R y C . ^[8]

Una forma φ : V × V → F en algún espacio vectorial recto de dimensión finita sobre F = R , C o H es bilineal si

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$Y si

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Se llama sesquilineal si

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$Y si

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Se han elegido estas convenciones porque funcionan en todos los casos considerados. Un automorfismo de φ es una función Α en el conjunto de operadores lineales en V tal que

El conjunto de todos los automorfismos de φ forman un grupo, se denomina grupo de automorfismos de φ y se denota como Aut( φ ) . Esto nos lleva a una definición preliminar de un grupo clásico:

Un grupo clásico es un grupo que conserva una forma bilineal o sesquilineal en espacios vectoriales de dimensión finita sobre R , C o H.

Esta definición tiene cierta redundancia. En el caso de F = R , bilineal es equivalente a sesquilineal. En el caso de F = H , no existen formas bilineales distintas de cero. ^[9]

Formas simétricas, antisimétricas, hermíticas y antihermíticas

Una forma es simétrica si

${\displaystyle \varphi (x,y)=\varphi (y,x).}$

Es antisimétrico si

${\displaystyle \varphi (x,y)=-\varphi (y,x).}$

Es hermitiano si

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}}$

Finalmente, es hemihermitiano si

${\displaystyle \varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.}$

Una forma bilineal φ es únicamente una suma de una forma simétrica y una forma antisimétrica. Una transformación que preserva φ preserva ambas partes por separado. Los grupos que preservan las formas simétricas y antisimétricas pueden estudiarse por separado. Lo mismo se aplica, mutatis mutandis, a las formas hermíticas y antihermíticas. Por esta razón, para los fines de la clasificación, solo se consideran las formas puramente simétricas, antisimétricas, hermíticas o antihermíticas. Las formas normales de las formas corresponden a elecciones específicas adecuadas de bases. Estas son bases que dan las siguientes formas normales en coordenadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}}$

La j en la forma antihermítica es el tercer elemento base en la base ( 1 , i , j , k ) para H . La prueba de la existencia de estas bases y la ley de inercia de Sylvester , la independencia del número de signos más y menos, p y q , en las formas simétrica y hermítica, así como la presencia o ausencia de los campos en cada expresión, se pueden encontrar en Rossmann (2002) o Goodman & Wallach (2009). El par ( p , q ) , y a veces p − q , se llama la firma de la forma.

Explicación de la ocurrencia de los campos R , C , H : No hay formas bilineales no triviales sobre H . En el caso bilineal simétrico, solo las formas sobre R tienen una firma. En otras palabras, una forma bilineal compleja con "firma" ( p , q ) puede, mediante un cambio de base, reducirse a una forma donde todos los signos son " + " en la expresión anterior, mientras que esto es imposible en el caso real, en el que p − q es independiente de la base cuando se pone en esta forma. Sin embargo, las formas hermíticas tienen una firma independiente de la base tanto en el caso complejo como en el cuaterniónico. (El caso real se reduce al caso simétrico). Una forma antihermítica en un espacio vectorial complejo se vuelve hermítica mediante la multiplicación por i , por lo que en este caso, solo H es interesante.

Grupos de automorfismos

Hermann Weyl , autor de Los grupos clásicos , realizó importantes contribuciones a la teoría de la representación de los grupos clásicos.

La primera sección presenta el marco general. Las otras secciones agotan los casos cualitativamente diferentes que surgen como grupos de automorfismos de formas bilineales y sesquilineales en espacios vectoriales de dimensión finita sobre R , C y H .

Autor(φ) – el grupo de automorfismos

Supongamos que φ es una forma no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre R , C o H . El grupo de automorfismos se define, con base en la condición ( 1 ), como

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Cada A ∈ M _n ( V ) tiene un adjunto A ^φ con respecto a φ definido por

Usando esta definición en la condición ( 1 ), se ve que el grupo de automorfismos está dado por

Fije una base para V . En términos de esta base, ponga

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}}$

donde ξ _i , η _j son los componentes de x , y . Esto es apropiado para las formas bilineales. Las formas sesquilineales tienen expresiones similares y se tratan por separado más adelante. En la notación matricial se encuentra

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y}$

y

de ( 2 ) donde Φ es la matriz ( φ _ij ) . La condición de no degeneración significa precisamente que Φ es invertible, por lo que el adjunto siempre existe. Aut( φ ) expresado con esto se convierte en

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.}$

El álgebra de Lie aut ( φ ) de los grupos de automorfismos se puede escribir inmediatamente. De manera abstracta, X ∈ aut ( φ ) si y solo si

${\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1}$

para todo t , correspondiente a la condición en ( 3 ) bajo la aplicación exponencial de las álgebras de Lie, de modo que

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},}$

o en una base

como se ve utilizando la expansión en serie de potencias de la función exponencial y la linealidad de las operaciones involucradas. Por el contrario, supongamos que X ∈ aut ( φ ) . Entonces, utilizando el resultado anterior, φ ( Xx , y ) = φ( x , X ^φ y ) = −φ( x , Xy ) . Por lo tanto, el álgebra de Lie se puede caracterizar sin referencia a una base, o al adjunto, como

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.}$

A continuación se dará la forma normal de φ para cada grupo clásico. A partir de esa forma normal, se puede leer directamente la matriz Φ . En consecuencia, se pueden obtener expresiones para el adjunto y las álgebras de Lie utilizando las fórmulas ( 4 ) y ( 5 ). Esto se demuestra a continuación en la mayoría de los casos no triviales.

Caso bilineal

Cuando la forma es simétrica, Aut( φ ) se llama O( φ ) . Cuando es antisimétrica, entonces Aut( φ ) se llama Sp( φ ) . Esto se aplica a los casos real y complejo. El caso cuaterniónico está vacío ya que no existen formas bilineales distintas de cero en los espacios vectoriales cuaterniónicos. ^[12]

Caso real

El caso real se divide en dos casos, la forma simétrica y la forma antisimétrica, que deben tratarse por separado.

O(pag,q) y O(norte) – los grupos ortogonales

Si φ es simétrico y el espacio vectorial es real, se puede elegir una base de manera que

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.}$

El número de signos más y menos es independiente de la base particular. ^[13] En el caso V = R ⁿ se escribe O( φ ) = O( p , q ) donde p es el número de signos más y q es el número de signos menos, p + q = n . Si q = 0 la notación es O( n ) . La matriz Φ es en este caso

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}}$

después de reordenar la base si es necesario. La operación adjunta ( 4 ) se convierte entonces en

${\displaystyle A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),}$

que se reduce a la transpuesta habitual cuando p o q es 0. El álgebra de Lie se encuentra utilizando la ecuación ( 5 ) y un ansatz adecuado (esto se detalla para el caso de Sp( m , R ) a continuación),

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},}$

y el grupo según ( 3 ) viene dado por

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.}$

Los grupos O( p , q ) y O( q , p ) son isomorfos a través de la función

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}$

Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de Lorentz podría escribirse como

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.}$

Naturalmente, es posible reorganizar de modo que el bloque q sea el superior izquierdo (o cualquier otro bloque). En este caso, el "componente temporal" acaba siendo la cuarta coordenada en una interpretación física, y no la primera, como puede ser más habitual.

Esp(metro, R) – el grupo simpléctico real

Si φ es antisimétrico y el espacio vectorial es real, existe una base que da

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

donde n = 2 m . Para Aut( φ ) se escribe Sp( φ ) = Sp( V ) En caso de que V = R ⁿ = R ^{2 m} se escribe Sp( m , R ) o Sp(2 m , R ) . De la forma normal se lee

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.}$

Haciendo el ansatz

${\displaystyle V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),}$

donde X , Y , Z , W son matrices m -dimensionales y considerando ( 5 ),

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)}$

se encuentra el álgebra de Lie de Sp( m , R ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

y el grupo esta dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Caso complejo

Al igual que en el caso real, hay dos casos, el caso simétrico y el caso antisimétrico, que producen cada uno una familia de grupos clásicos.

O(norte, C) – el grupo ortogonal complejo

Si el caso φ es simétrico y el espacio vectorial es complejo, una base

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}}$

con sólo signos más se pueden utilizar. El grupo de automorfismos en el caso de V = C ⁿ se llama O(n, C ) . El álgebra de Lie es simplemente un caso especial de eso para o ( p , q ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},}$

y el grupo esta dado por

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.}$

En términos de clasificación de álgebras de Lie simples , los so ( n ) se dividen en dos clases, aquellos con n impar con sistema de raíces B _n y n par con sistema de raíces D _n .

Esp(metro, C) – el grupo simpléctico complejo

Para φ antisimétrico y el espacio vectorial complejo, la misma fórmula,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

se aplica como en el caso real. Para Aut( φ ) se escribe Sp( φ ) = Sp( V ) . En el caso se escribe Sp( m , ) o Sp(2 m , ) . El álgebra de Lie es paralela a la de sp ( m , ) , ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

y el grupo esta dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Caso sesquilineal

En el caso sesquilineal, se hace un enfoque ligeramente diferente para la forma en términos de una base,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.}$

Las otras expresiones que se modifican son

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,}$^[14]

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},}$

El caso real, por supuesto, no aporta nada nuevo. El caso complejo y el caso cuaterniónico se considerarán más adelante.

Caso complejo

Desde un punto de vista cualitativo, la consideración de formas antihermíticas (hasta el isomorfismo) no proporciona nuevos grupos; la multiplicación por i hace que una forma antihermítica sea hermítica, y viceversa. Por lo tanto, solo es necesario considerar el caso hermítico.

tú(pag,q) y U(norte) – los grupos unitarios

Una forma hermítica no degenerada tiene la forma normal

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.}$

Al igual que en el caso bilineal, la signatura ( p , q ) es independiente de la base. El grupo de automorfismos se denota U( V ) , o, en el caso de V = C ⁿ , U( p , q ) . Si q = 0 la notación es U( n ) . En este caso, Φ toma la forma

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},}$

y el álgebra de Lie está dada por

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.}$

El grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.}$

donde g es una matriz compleja general nxn y se define como la transpuesta conjugada de g, lo que los físicos llaman . ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g^{\dagger }}$

A modo de comparación, una matriz unitaria U(n) se define como

${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.}$

Observamos que es lo mismo que ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n,0)}$

Caso cuaterniónico

El espacio H ⁿ se considera como un espacio vectorial derecho sobre H . De esta manera, A ( vh ) = ( Av ) h para un cuaternión h , un vector columna de cuaternión v y una matriz de cuaternión A . Si H ⁿ fuera un espacio vectorial izquierdo sobre H , entonces se requeriría la multiplicación de matrices desde la derecha sobre vectores fila para mantener la linealidad. Esto no corresponde a la operación lineal habitual de un grupo sobre un espacio vectorial cuando se da una base, que es la multiplicación de matrices desde la izquierda sobre vectores columna. Por lo tanto , V es de ahora en adelante un espacio vectorial derecho sobre H . Aun así, se debe tener cuidado debido a la naturaleza no conmutativa de H . Los detalles (en su mayoría obvios) se omiten porque se utilizarán representaciones complejas.

Cuando se trabaja con grupos cuaterniónicos es conveniente representar los cuaterniones utilizando matrices complejas 2×2 .

Con esta representación, la multiplicación cuaterniónica se convierte en multiplicación matricial y la conjugación cuaterniónica se convierte en tomar el adjunto hermítico. Además, si un cuaternión según la codificación compleja q = x + j y se da como un vector columna ( x , y ) ^T , entonces la multiplicación desde la izquierda por una representación matricial de un cuaternión produce un nuevo vector columna que representa el cuaternión correcto. Esta representación difiere ligeramente de una representación más común que se encuentra en el artículo sobre cuaterniones . La convención más común forzaría la multiplicación desde la derecha en una matriz de filas para lograr lo mismo.

Por cierto, la representación anterior deja claro que el grupo de cuaterniones unitarios ( α α + β β = 1 = det Q ) es isomorfo a SU(2) .

Las matrices cuaterniónicas n × n pueden, por extensión obvia, representarse mediante matrices de bloques 2 n × 2 n ^{de números complejos. [16]} Si uno acepta representar un vector columna cuaterniónico n × 1 mediante un vector columna 2 n × 1 con números complejos según la codificación anterior, siendo los n números superiores α _i y los n inferiores β i _, entonces una matriz cuaterniónica n × n se convierte en una matriz compleja 2 n × 2 n exactamente de la forma dada anteriormente, pero ahora con matrices α y β n × n . Más formalmente

Una matriz T ∈ GL(2 n , C ) tiene la forma mostrada en ( 8 ) si y sólo si J _n T = TJ _n . Con estas identificaciones,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.}$

El espacio M _n ( H ) ⊂ M _{2 n} ( C ) es un álgebra real, pero no es un subespacio complejo de M _{2 n} ( C ) . La multiplicación (desde la izquierda) por i en M _n ( H ) usando la multiplicación cuaterniónica entrada por entrada y luego mapeándola a la imagen en M _{2 n} ( C ) produce un resultado diferente que multiplicar entrada por entrada por i directamente en M _{2 n} ( C ) . Las reglas de multiplicación cuaterniónica dan i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (− i Y ) donde las nuevas X e Y están dentro de los paréntesis.

La acción de las matrices cuaterniónicas sobre los vectores cuaterniónicos se representa ahora mediante cantidades complejas, pero por lo demás es la misma que para las matrices y vectores "ordinarios". Los grupos cuaterniónicos están, por tanto, incrustados en M _{2 n} ( C ) , donde n es la dimensión de las matrices cuaterniónicas.

El determinante de una matriz cuaterniónica se define en esta representación como el determinante complejo ordinario de su matriz representativa. La naturaleza no conmutativa de la multiplicación cuaterniónica sería, en la representación cuaterniónica de matrices, ambigua. La forma en que M _n ( H ) está incrustado en M _{2 n} ( C ) no es única, pero todas esas incrustaciones están relacionadas a través de g ↦ AgA ⁻¹ , g ∈ GL(2 n , C ) para A ∈ O(2 n , C ) , sin afectar al determinante. ^[17] El nombre de SL( n , H ) en esta forma compleja es SU ^∗ (2 n ) .

A diferencia del caso de C , tanto el caso hermítico como el caso antihermítico aportan algo nuevo cuando se considera H , por lo que estos casos se consideran por separado.

GLORIA(norte, H) y SL(norte, H)

Bajo la identificación anterior,

${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).}$

Su álgebra de Lie gl ( n , H ) es el conjunto de todas las matrices en la imagen de la aplicación M _n ( H ) ↔ M _{2 n} ( C ) de arriba,

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).}$

El grupo lineal especial cuaterniónico está dado por

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),}$

donde el determinante se toma en las matrices en C ^{2 n} . Alternativamente, se puede definir esto como el núcleo del determinante de Dieudonné . El álgebra de Lie es ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).}$

Esp(pag,q) – el grupo unitario cuaterniónico

Como se indicó anteriormente en el caso complejo, la forma normal es

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}}$

y el número de signos más es independiente de la base. Cuando V = H ⁿ con esta forma, Sp( φ ) = Sp( p , q ) . La razón de la notación es que el grupo se puede representar, utilizando la prescripción anterior, como un subgrupo de Sp( n , C ) conservando una forma hermítica compleja de firma (2 p , 2 q ) ^[18] Si p o q = 0 el grupo se denota U( n , H ) . A veces se le llama grupo hiperunitario .

En notación cuaterniónica,

${\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}}$

lo que significa que las matrices cuaterniónicas de la forma

satisfará

${\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},}$

Véase la sección sobre u ( p , q ) . Se debe tener cuidado al trabajar con la multiplicación de matrices cuaterniónicas, pero aquí solo intervienen I y - I y estos conmutan con cada matriz cuaterniónica. Ahora aplique la prescripción ( 8 ) a cada bloque,

${\displaystyle {\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},}$

y las relaciones en ( 9 ) se cumplirán si

${\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.}$

El álgebra de Lie se convierte en

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.}$

El grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.}$

Volviendo a la forma normal de φ ( w , z ) para Sp( p , q ) , haga las sustituciones w → u + jv y z → x + jy con u, v, x, y ∈ C ⁿ . Entonces

${\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)}$

visto como una forma de valor H en C ^{2 n} . ^[19] Por lo tanto, los elementos de Sp( p , q ) , vistos como transformaciones lineales de C ^{2 n} , conservan tanto una forma hermítica de signatura (2 p , 2 q ) como una forma antisimétrica no degenerada. Ambas formas toman valores puramente complejos y debido al prefactor de j de la segunda forma, se conservan por separado. Esto significa que

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)}$

y esto explica tanto el nombre del grupo como la notación.

Oh^∗(2norte) = O(norte, H)- grupo ortogonal cuaterniónico

La forma normal para una forma antihermítica viene dada por

${\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},}$

donde j es el tercer cuaternión base en la lista ordenada ( 1 , i , j , k ) . En este caso, Aut( φ ) = O ^∗ (2 n ) puede realizarse, utilizando la codificación matricial compleja de arriba, como un subgrupo de O(2 n , C ) que conserva una forma antihermítica compleja no degenerada de la signatura ( n , n ) . ^[20] De la forma normal se ve que en la notación cuaterniónica

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}}$

y de ( 6 ) se sigue que

para V ∈ o (2 n ) . Ahora pongamos

${\displaystyle V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)}$

según prescripción ( 8 ). La misma prescripción da como resultado Φ ,

${\displaystyle \Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.}$

Ahora la última condición en ( 9 ) en notación compleja se lee

${\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.}$

El álgebra de Lie se convierte en

${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},}$

y el grupo esta dado por

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.}$

El grupo SO ^∗ (2 n ) se puede caracterizar como

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},}$^[21]

donde la función θ : GL(2 n , C ) → GL(2 n , C ) está definida por g ↦ − J _{2 n} gJ _{2 n} .

Además, la forma que determina el grupo puede verse como una forma con valor H en C ^{2 n} . ^[22] Realice las sustituciones x → w ₁ + iw ₂ e y → z ₁ + iz ₂ en la expresión para la forma. Luego

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).}$

La forma φ ₁ es hermítica (mientras que la primera forma en el lado izquierdo es antihermítica) de signatura ( n , n ) . La signatura se hace evidente por un cambio de base de ( e , f ) a (( e + i f )/ √ 2 , ( e − i f )/ √ 2 ) donde e , f son el primer y último vector base n respectivamente. La segunda forma, φ ₂ es definida positiva simétrica. Por lo tanto, debido al factor j , O ^∗ (2 n ) conserva ambos por separado y se puede concluir que

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),}$

y se explica la notación "O".

Grupos clásicos sobre campos generales o álgebras

Los grupos clásicos, considerados de manera más amplia en álgebra, proporcionan grupos matriciales particularmente interesantes . Cuando el campo  F de coeficientes del grupo matricial es un número real o un número complejo, estos grupos son simplemente los grupos de Lie clásicos. Cuando el campo fundamental es un campo finito , entonces los grupos clásicos son grupos de tipo Lie . Estos grupos juegan un papel importante en la clasificación de grupos simples finitos . También se pueden considerar grupos clásicos sobre un álgebra asociativa unital  R sobre F ; donde R  =  H (un álgebra sobre números reales) representa un caso importante. En aras de la generalidad, el artículo se referirá a grupos sobre R , donde R puede ser el propio campo fundamental  F.

Considerando su teoría abstracta de grupos, muchos grupos lineales tienen un subgrupo " especial ", que generalmente consiste en los elementos del determinante 1 sobre el cuerpo base, y la mayoría de ellos tienen cocientes " proyectivos " asociados, que son los cocientes por el centro del grupo. Para los grupos ortogonales en característica 2, "S" tiene un significado diferente.

La palabra " general " antes del nombre de un grupo generalmente significa que el grupo puede multiplicar algún tipo de forma por una constante, en lugar de dejarla fija. El subíndice n generalmente indica la dimensión del módulo sobre el que actúa el grupo; es un espacio vectorial si R  =  F. Advertencia: esta notación choca un poco con la n de los diagramas de Dynkin, que es el rango.

Grupos lineales generales y especiales

El grupo lineal general GL _n ( R ) es el grupo de todos los automorfismos R -lineales de R ⁿ . Existe un subgrupo: el grupo lineal especial SL _n ( R ), y sus cocientes: el grupo lineal general proyectivo PGL _n ( R ) = GL _n ( R )/Z(GL _n ( R )) y el grupo lineal especial proyectivo PSL _n ( R ) = SL _n ( R )/Z(SL _n ( R )). El grupo lineal especial proyectivo PSL _n ( F ) sobre un cuerpo F es simple para n  ≥ 2, excepto para los dos casos en que n  = 2 y el cuerpo tiene orden ^{[ aclaración necesaria ]} 2 o 3.

Grupos unitarios

El grupo unitario U _n ( R ) es un grupo que conserva una forma sesquilínea sobre un módulo. Existe un subgrupo, el grupo unitario especial SU _n ( R ) y sus cocientes el grupo unitario proyectivo PU _n ( R ) = U _n ( R )/Z(U _n ( R )) y el grupo unitario especial proyectivo PSU _n ( R ) = SU _n ( R )/Z(SU _n ( R ))

Grupos simplécticos

El grupo simpléctico Sp _{2 n} ( R ) conserva una forma antisimétrica sobre un módulo. Tiene un cociente, el grupo simpléctico proyectivo PSp _{2 n} ( R ). El grupo simpléctico general GSp _{2 n} ( R ) consiste en los automorfismos de un módulo que multiplican una forma antisimétrica por algún escalar invertible. El grupo simpléctico proyectivo PSp _{2 n} ( F _q ) sobre un cuerpo finito es simple para n  ≥ 1, excepto para los casos de PSp ₂ sobre los cuerpos de dos y tres elementos.

Grupos ortogonales

El grupo ortogonal O _n ( R ) conserva una forma cuadrática no degenerada sobre un módulo. Existe un subgrupo, el grupo ortogonal especial SO _n ( R ) y cocientes, el grupo ortogonal proyectivo PO _n ( R ), y el grupo ortogonal especial proyectivo PSO _n ( R ). En la característica 2 el determinante es siempre 1, por lo que el grupo ortogonal especial se define a menudo como el subgrupo de elementos del invariante de Dickson 1.

Hay un grupo sin nombre a menudo denotado por Ω _n ( R ) que consiste en los elementos del grupo ortogonal de elementos de norma de espinor 1, con subgrupos y grupos cociente correspondientes SΩ _n ( R ), PΩ _n ( R ), PSΩ _n ( R ). (Para formas cuadráticas definidas positivas sobre los reales, el grupo Ω resulta ser el mismo que el grupo ortogonal, pero en general es más pequeño). También hay una doble cubierta de Ω _n ( R ), llamada grupo pin Pin _n ( R ), y tiene un subgrupo llamado grupo de espín Spin _n ( R ). El grupo ortogonal general GO _n ( R ) consiste en los automorfismos de un módulo que multiplica una forma cuadrática por algún escalar invertible.

Convenciones de notación

Contraste con grupos de Lie excepcionales

En contraste con los grupos de Lie clásicos están los grupos de Lie excepcionales , G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ , que comparten sus propiedades abstractas, pero no su familiaridad. ^[23] Estos fueron descubiertos recién alrededor de 1890 en la clasificación de las álgebras de Lie simples sobre los números complejos por Wilhelm Killing y Élie Cartan .

Notas

1. Aquí, especial significa el subgrupo del grupo de automorfismo completo cuyos elementos tienen determinante 1.
2. Rossmann 2002 pág. 94.
3. Weyl 1939
4. Rossmann 2002 pág. 91.
5. Rossmann 2002 pág. 94
6. Rossmann 2002 pág. 103
7. Goodman & Wallach 2009 Véase el final del capítulo 1
8. Rossmann 2002pág. 93.
9. Rossmann 2002 pág. 105
10. Rossmann 2002 pág. 91
11. Rossmann 2002 pág. 92
12. Rossmann 2002 pág. 105
13. Rossmann 2002 pág. 107.
14. Rossmann 2002 pág. 93
15. Rossmann 2002 pág. 95.
16. Rossmann 2002 pág. 94.
17. Goodman & Wallach 2009 Ejercicio 14, Sección 1.1.
18. Rossmann 2002 pág. 94.
19. Goodman y Wallach 2009Ejercicio 11, Capítulo 1.
20. Rossmann 2002 pág. 94.
21. Goodman y Wallach 2009 pág.11.
22. Goodman & Wallach 2009 Ejercicio 12 Capítulo 1.
23. Wybourne, BG (1974). Grupos clásicos para físicos , Wiley-Interscience. ISBN  0471965057 .

Referencias

• E. Artin (1957) Álgebra geométrica, capítulos III, IV y V vía Internet Archive
• Dieudonné, Jean (1955), La géométrie des groupes classiques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (NF), Heft 5, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, Sr.  0072144
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (2009), Simetría, representaciones e invariantes , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 255, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-79851-6
• Knapp, AW (2002). Grupos de Lie más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. Vol. 120 (2.ª ed.). Boston·Basel·Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
• VL Popov (2001) [1994], "Grupo clásico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rossmann, Wulf (2002), Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Weyl, Hermann (1939), Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, Sr.  0000255