En matemáticas , el grupo ortogonal en dimensión n , denotado O( n ) , es el grupo de transformaciones que preservan la distancia de un espacio euclidiano de dimensión n que preservan un punto fijo, donde la operación de grupo viene dada por transformaciones compositivas . El grupo ortogonal a veces se denomina grupo ortogonal general , por analogía con el grupo lineal general . Equivalentemente, es el grupo de matrices ortogonales n × n , donde la operación de grupo viene dada por la multiplicación de matrices (una matriz ortogonal es una matriz real cuya inversa es igual a su transpuesta ). El grupo ortogonal es un grupo algebraico y un grupo de Lie . Es compacto .
El grupo ortogonal en dimensión n tiene dos componentes conexos . El que contiene el elemento identidad es un subgrupo normal , llamado grupo ortogonal especial , y denotado SO( n ) . Consiste en todas las matrices ortogonales de determinante 1. Este grupo también se llama grupo de rotación , generalizando el hecho de que en dimensiones 2 y 3, sus elementos son las rotaciones habituales alrededor de un punto (en dimensión 2) o una línea (en dimensión 3). En baja dimensión, estos grupos han sido ampliamente estudiados, véase SO(2) , SO(3) y SO(4) . El otro componente consiste en todas las matrices ortogonales de determinante −1 . Este componente no forma un grupo, ya que el producto de dos de sus elementos es del determinante 1, y por lo tanto no es un elemento del componente.
Por extensión, para cualquier cuerpo F , una matriz n × n con entradas en F tales que su inversa es igual a su transpuesta se llama matriz ortogonal sobre F . Las matrices ortogonales n × n forman un subgrupo, denotado O( n , F ) , del grupo lineal general GL( n , F ) ; es decir
De manera más general, dada una forma bilineal simétrica no degenerada o una forma cuadrática [1] en un espacio vectorial sobre un cuerpo , el grupo ortogonal de la forma es el grupo de aplicaciones lineales invertibles que preservan la forma. Los grupos ortogonales anteriores son el caso especial en el que, sobre alguna base, la forma bilineal es el producto escalar , o, equivalentemente, la forma cuadrática es la suma del cuadrado de las coordenadas.
Todos los grupos ortogonales son grupos algebraicos , ya que la condición de conservar una forma puede expresarse como una igualdad de matrices.
El nombre de "grupo ortogonal" se origina de la siguiente caracterización de sus elementos. Dado un espacio vectorial euclidiano E de dimensión n , los elementos del grupo ortogonal O( n ) son, hasta una escala uniforme ( homotecia ), las funciones lineales de E a E que asignan vectores ortogonales a vectores ortogonales.
El ortogonal O( n ) es el subgrupo del grupo lineal general GL( n , R ) , que consiste en todos los endomorfismos que preservan la norma euclidiana ; es decir, endomorfismos g tales que
Sea E( n ) el grupo de las isometrías euclidianas de un espacio euclidiano S de dimensión n . Este grupo no depende de la elección de un espacio particular, ya que todos los espacios euclidianos de la misma dimensión son isomorfos . El subgrupo estabilizador de un punto x ∈ S es el subgrupo de los elementos g ∈ E( n ) tales que g ( x ) = x . Este estabilizador es (o, más exactamente, es isomorfo a) O( n ) , ya que la elección de un punto como origen induce un isomorfismo entre el espacio euclidiano y su espacio vectorial euclidiano asociado.
Existe un homomorfismo de grupo natural p de E( n ) a O( n ) , que se define por
donde, como es habitual, la resta de dos puntos denota el vector de traslación que mapea el segundo punto al primero. Se trata de un homomorfismo bien definido, ya que una verificación sencilla muestra que, si dos pares de puntos tienen la misma diferencia, lo mismo es cierto para sus imágenes por g (para más detalles, véase Espacio afín § Resta y axiomas de Weyl ).
El núcleo de p es el espacio vectorial de las traslaciones. Por lo tanto, las traslaciones forman un subgrupo normal de E( n ) , los estabilizadores de dos puntos son conjugados bajo la acción de las traslaciones y todos los estabilizadores son isomorfos a O( n ) .
Además, el grupo euclidiano es un producto semidirecto de O( n ) y el grupo de traslaciones. De ello se deduce que el estudio del grupo euclidiano se reduce esencialmente al estudio de O( n ) .
Al elegir una base ortonormal de un espacio vectorial euclidiano, el grupo ortogonal se puede identificar con el grupo (bajo la multiplicación de matrices) de matrices ortogonales , que son las matrices tales que
De esta ecuación se deduce que el cuadrado del determinante de Q es igual a 1 , y por tanto el determinante de Q es o bien 1 o bien −1 . Las matrices ortogonales con determinante 1 forman un subgrupo llamado grupo ortogonal especial , denotado SO( n ) , que consiste en todas las isometrías directas de O( n ) , que son aquellas que conservan la orientación del espacio.
SO( n ) es un subgrupo normal de O( n ) , por ser el núcleo del determinante, que es un homomorfismo de grupo cuya imagen es el grupo multiplicativo {−1, +1} . Esto implica que el grupo ortogonal es un producto semidirecto interno de SO( n ) y cualquier subgrupo formado con la identidad y una reflexión .
El grupo con dos elementos {± I } (donde I es la matriz identidad) es un subgrupo normal y par un subgrupo característico de O( n ) , y, si n es par, también de SO( n ) . Si n es impar, O( n ) es el producto directo interno de SO( n ) y {± I } .
El grupo SO(2) es abeliano (mientras que SO( n ) no es abeliano cuando n > 2 ). Sus subgrupos finitos son el grupo cíclico C k de rotaciones k -fold , para cada entero positivo k . Todos estos grupos son subgrupos normales de O(2) y SO(2) .
Para cualquier elemento de O( n ) existe una base ortogonal, donde su matriz tiene la forma
donde las matrices R 1 , ..., R k son matrices de rotación de 2 por 2, es decir matrices de la forma
con a 2 + b 2 = 1 .
Esto resulta del teorema espectral al reagrupar los valores propios que son conjugados complejos , y teniendo en cuenta que los valores absolutos de los valores propios de una matriz ortogonal son todos iguales a 1 .
El elemento pertenece a SO( n ) si y solo si hay un número par de −1 en la diagonal. Un par de valores propios −1 se puede identificar con una rotación por π y un par de valores propios +1 se puede identificar con una rotación por 0 .
El caso especial de n = 3 se conoce como teorema de rotación de Euler , que afirma que cada elemento (no identidad) de SO(3) es una rotación alrededor de un par eje-ángulo único.
Las reflexiones son los elementos de O( n ) cuya forma canónica es
donde I es la matriz identidad ( n − 1) × ( n − 1) , y los ceros denotan matrices cero por fila o columna. En otras palabras, una reflexión es una transformación que transforma el espacio en su imagen especular con respecto a un hiperplano .
En dimensión dos, cada rotación puede descomponerse en un producto de dos reflexiones . Más precisamente, una rotación de ángulo θ es el producto de dos reflexiones cuyos ejes forman un ángulo de θ / 2 .
Un producto de hasta n reflexiones elementales siempre es suficiente para generar cualquier elemento de O( n ) . Esto resulta inmediatamente de la forma canónica anterior y del caso de dimensión dos.
El teorema de Cartan-Dieudonné es la generalización de este resultado al grupo ortogonal de una forma cuadrática no degenerada sobre un cuerpo de característica diferente de dos.
La reflexión a través del origen (la función v ↦ − v ) es un ejemplo de un elemento de O( n ) que no es producto de menos de n reflexiones.
El grupo ortogonal O( n ) es el grupo de simetría de la ( n − 1) -esfera (para n = 3 , ésta es sólo la esfera ) y todos los objetos con simetría esférica, si el origen se elige en el centro.
El grupo de simetría de un círculo es O(2) . El subgrupo que preserva la orientación SO(2) es isomorfo (como un grupo de Lie real ) al grupo del círculo , también conocido como U (1) , el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto igual a uno. Este isomorfismo envía el número complejo exp( φ i ) = cos( φ ) + i sin( φ ) de valor absoluto 1 a la matriz ortogonal especial
En una dimensión superior, O( n ) tiene una estructura más complicada (en particular, ya no es conmutativa). Las estructuras topológicas de la n -esfera y O( n ) están fuertemente correlacionadas, y esta correlación se utiliza ampliamente para estudiar ambos espacios topológicos .
Los grupos O( n ) y SO( n ) son grupos de Lie compactos reales de dimensión n ( n − 1) / 2 . El grupo O( n ) tiene dos componentes conexos , siendo SO( n ) el componente identidad , es decir, el componente conexo que contiene la matriz identidad .
El grupo ortogonal O( n ) se puede identificar con el grupo de las matrices A tales que A T A = I . Dado que ambos miembros de esta ecuación son matrices simétricas , esto proporciona n ( n + 1) / 2 ecuaciones que las entradas de una matriz ortogonal deben satisfacer, y que no son todas satisfechas por las entradas de cualquier matriz no ortogonal.
Esto demuestra que O( n ) es un conjunto algebraico . Además, se puede demostrar [ cita requerida ] que su dimensión es
lo que implica que O( n ) es una intersección completa . Esto implica que todos sus componentes irreducibles tienen la misma dimensión, y que no tiene ningún componente incrustado . De hecho, O( n ) tiene dos componentes irreducibles, que se distinguen por el signo del determinante (es decir det( A ) = 1 o det( A ) = −1 ). Ambos son variedades algebraicas no singulares de la misma dimensión n ( n − 1) / 2 . El componente con det( A ) = 1 es SO( n ) .
Un toro maximal en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo maximal entre aquellos que son isomorfos a T k para algún k , donde T = SO(2) es el toro unidimensional estándar. [2]
En O(2 n ) y SO(2 n ) , para cada toro máximo, existe una base sobre la cual el toro consiste en las matrices diagonales en bloque de la forma
donde cada R j pertenece a SO(2) . En O(2 n + 1) y SO(2 n + 1) , los toros máximos tienen la misma forma, delimitados por una fila y una columna de ceros, y un 1 en la diagonal.
El grupo de Weyl de SO(2 n + 1) es el producto semidirecto de un 2-subgrupo abeliano elemental normal y un grupo simétrico , donde el elemento no trivial de cada factor {±1} de {±1} n actúa sobre el factor de círculo correspondiente de T × {1 } por inversión , y el grupo simétrico S n actúa tanto sobre {±1} n como sobre T × {1 } permutando factores. Los elementos del grupo de Weyl están representados por matrices en O(2 n ) × {±1} . El factor S n está representado por matrices de permutación de bloques con bloques de 2 por 2 y un 1 final en la diagonal. El componente {±1} n está representado por matrices de bloques diagonales con bloques de 2 por 2 o
con el último componente ±1 elegido para hacer el determinante 1 .
El grupo de Weyl de SO(2 n ) es el subgrupo del de SO(2 n + 1) , donde H n −1 < {±1} n es el núcleo del homomorfismo del producto {±1} n → {±1} dado por ; es decir, H n −1 < {±1} n es el subgrupo con un número par de signos negativos. El grupo de Weyl de SO(2 n ) está representado en SO(2 n ) por las preimágenes bajo la inyección estándar SO(2 n ) → SO(2 n + 1) de los representantes para el grupo de Weyl de SO(2 n + 1) . Aquellas matrices con un número impar de bloques no tienen ninguna coordenada final −1 restante para hacer positivos sus determinantes, y por lo tanto no pueden representarse en SO(2 n ) .
Los grupos ortogonales de baja dimensión (reales) son espacios familiares :
En términos de topología algebraica , para n > 2 el grupo fundamental de SO( n , R ) es cíclico de orden 2 , [4] y el grupo de espín Spin( n ) es su recubrimiento universal . Para n = 2 el grupo fundamental es cíclico infinito y el recubrimiento universal corresponde a la recta real (el grupo Spin(2) es el único recubrimiento 2-fold conexo ).
En general, los grupos de homotopía π k ( O ) del grupo ortogonal real están relacionados con los grupos de homotopía de esferas y, por lo tanto, son difíciles de calcular. Sin embargo, se pueden calcular los grupos de homotopía del grupo ortogonal estable (también conocido como el grupo ortogonal infinito), definido como el límite directo de la secuencia de inclusiones:
Como las inclusiones son todas cerradas, por lo tanto cofibraciones , esto también se puede interpretar como una unión. Por otra parte, S n es un espacio homogéneo para O( n + 1) , y se tiene el siguiente haz de fibras :
que puede entenderse como "El grupo ortogonal O( n + 1) actúa transitivamente sobre la esfera unitaria S n , y el estabilizador de un punto (pensado como un vector unitario ) es el grupo ortogonal del complemento perpendicular , que es un grupo ortogonal una dimensión menor." Por lo tanto, la inclusión natural O( n ) → O( n + 1) es ( n − 1) -conexa , por lo que los grupos de homotopía se estabilizan, y π k (O( n + 1)) = π k (O( n )) para n > k + 1 : por lo tanto, los grupos de homotopía del espacio estable son iguales a los grupos de homotopía inferiores de los espacios inestables.
A partir de la periodicidad de Bott obtenemos Ω 8 O ≅ O , por lo tanto, los grupos de homotopía de O son 8 veces periódicos, lo que significa π k + 8 ( O ) = π k ( O ) , y solo es necesario enumerar los 8 grupos de homotopía inferiores:
Mediante la construcción de embrague , los grupos de homotopía del espacio estable O se identifican con fibrados vectoriales estables en esferas ( hasta el isomorfismo ), con un desplazamiento de dimensión de 1: π k ( O ) = π k + 1 ( BO ) . Fijando KO = BO × Z = Ω −1 O × Z (para que π 0 encaje en la periodicidad), se obtiene:
Los primeros grupos de homotopía se pueden calcular utilizando las descripciones concretas de grupos de baja dimensión.
De los hechos generales sobre los grupos de Lie , π 2 ( G ) siempre se desvanece, y π 3 ( G ) es libre ( abeliano libre ).
π 0 ( K O) es un fibrado vectorial sobre S 0 , que consta de dos puntos. Por lo tanto, sobre cada punto, el fibrado es trivial, y la no trivialidad del fibrado es la diferencia entre las dimensiones de los espacios vectoriales sobre los dos puntos, por lo que π 0 ( K O) = Z es la dimensión .
Utilizando descripciones concretas de los espacios de bucles en la periodicidad de Bott , se pueden interpretar las homotopías superiores de O en términos de homotopías de orden inferior más sencillas de analizar. Utilizando π 0 , O y O /U tienen dos componentes, K O = B O × Z y K Sp = B Sp × Z tienen una cantidad contable de componentes, y el resto están conectados.
En pocas palabras: [5]
Sea R cualquiera de las cuatro álgebras de división R , C , H , O , y sea L R el fibrado lineal tautológico sobre la línea proyectiva R P 1 , y [ L R ] su clase en la teoría K. Observando que R P 1 = S 1 , C P 1 = S 2 , H P 1 = S 4 , O P 1 = S 8 , estos producen fibrados vectoriales sobre las esferas correspondientes, y
Desde el punto de vista de la geometría simpléctica , π 0 ( K O) ≅ π 8 ( K O) = Z puede interpretarse como el índice de Maslov , pensándolo como el grupo fundamental π 1 (U/O) del lagrangiano Grassmanniano estable como U/O ≅ Ω 7 ( K O) , por lo que π 1 (U/O) = π 1+7 ( K O) .
El grupo ortogonal ancla una torre Whitehead :
que se obtiene eliminando sucesivamente (matando) grupos de homotopía de orden creciente. Esto se hace construyendo secuencias exactas cortas comenzando con un espacio de Eilenberg-MacLane para el grupo de homotopía que se va a eliminar. Las primeras entradas en la torre son el grupo de espín y el grupo de cuerdas , y están precedidas por el grupo de cinco branas . Los grupos de homotopía que se eliminan son a su vez π 0 ( O ) para obtener SO a partir de O , π 1 ( O ) para obtener Spin a partir de SO , π 3 ( O ) para obtener String a partir de Spin , y luego π 7 ( O ) y así sucesivamente para obtener las branas de orden superior .
Sobre los números reales, las formas cuadráticas no degeneradas se clasifican por la ley de inercia de Sylvester , que afirma que, en un espacio vectorial de dimensión n , dicha forma puede escribirse como la diferencia de una suma de p cuadrados y una suma de q cuadrados, con p + q = n . En otras palabras, existe una base sobre la cual la matriz de la forma cuadrática es una matriz diagonal , con p entradas iguales a 1 , y q entradas iguales a −1 . El par ( p , q ) llamado inercia , es un invariante de la forma cuadrática, en el sentido de que no depende de la forma de calcular la matriz diagonal.
El grupo ortogonal de una forma cuadrática depende únicamente de la inercia, y por lo tanto generalmente se denota O( p , q ) . Además, como una forma cuadrática y su opuesta tienen el mismo grupo ortogonal, se tiene O( p , q ) = O( q , p ) .
El grupo ortogonal estándar es O( n ) = O( n , 0) = O(0, n ) . Por lo tanto, en el resto de esta sección, se supone que ni p ni q son cero.
El subgrupo de las matrices del determinante 1 en O( p , q ) se denota SO( p , q ) . El grupo O( p , q ) tiene cuatro componentes conexos, dependiendo de si un elemento conserva la orientación en cualquiera de los dos subespacios maximales donde la forma cuadrática es definida positiva o definida negativa. El componente de la identidad, cuyos elementos conservan la orientación en ambos subespacios, se denota SO + ( p , q ) .
El grupo O(3, 1) es el grupo de Lorentz , fundamental en la teoría de la relatividad . Aquí el 3 corresponde a las coordenadas espaciales y el 1 a las temporales.
Sobre el cuerpo C de los números complejos , toda forma cuadrática no degenerada en n variables es equivalente a x 1 2 + ... + x n 2 . Así, salvo isomorfismo, sólo hay un espacio cuadrático complejo no degenerado de dimensión n , y un grupo ortogonal asociado, habitualmente denotado O( n , C ) . Es el grupo de matrices ortogonales complejas , matrices complejas cuyo producto por su transpuesta es la matriz identidad.
Como en el caso real, O( n , C ) tiene dos componentes conexos. El componente de la identidad está formado por todas las matrices del determinante 1 en O( n , C ) ; se denota SO( n , C ) .
Los grupos O( n , C ) y SO( n , C ) son grupos de Lie complejos de dimensión n ( n − 1) / 2 sobre C (la dimensión sobre R es el doble). Para n ≥ 2 , estos grupos no son compactos. Como en el caso real, SO( n , C ) no es simplemente conexo: para n > 2 , el grupo fundamental de SO( n , C ) es cíclico de orden 2 , mientras que el grupo fundamental de SO(2, C ) es Z .
Sobre un cuerpo de característica distinta de dos, dos formas cuadráticas son equivalentes si sus matrices son congruentes , es decir, si un cambio de base transforma la matriz de la primera forma en la matriz de la segunda forma. Dos formas cuadráticas equivalentes tienen claramente el mismo grupo ortogonal.
Las formas cuadráticas no degeneradas sobre un cuerpo finito de característica distinta de dos se clasifican completamente en clases de congruencia, y de esta clasificación resulta que sólo hay un grupo ortogonal en dimensión impar y dos en dimensión par.
Más precisamente, el teorema de descomposición de Witt afirma que (en características diferentes de dos) cada espacio vectorial equipado con una forma cuadrática no degenerada Q puede descomponerse como una suma directa de subespacios ortogonales por pares.
donde cada L i es un plano hiperbólico (es decir, existe una base tal que la matriz de la restricción de Q a L i tiene la forma ), y la restricción de Q a W es anisotrópica (es decir, Q ( w ) ≠ 0 para cada w distinto de cero en W ).
El teorema de Chevalley-Warning afirma que, en un campo finito , la dimensión de W es como máximo dos.
Si la dimensión de V es impar, la dimensión de W es entonces igual a uno, y su matriz es congruente con o con donde 𝜑 es un escalar no cuadrado. Resulta que sólo hay un grupo ortogonal que se denota O(2 n + 1, q ) , donde q es el número de elementos del cuerpo finito (una potencia de un primo impar). [6]
Si la dimensión de W es dos y −1 no es un cuadrado en el cuerpo fundamental (es decir, si su número de elementos q es congruente con 3 módulo 4), la matriz de la restricción de Q a W es congruente con I o con – I , donde I es la matriz identidad 2×2. Si la dimensión de W es dos y −1 es un cuadrado en el cuerpo fundamental (es decir, si q es congruente con 1, módulo 4), la matriz de la restricción de Q a W es congruente con φ es cualquier escalar no cuadrado.
Esto implica que si la dimensión de V es par, sólo hay dos grupos ortogonales, dependiendo de si la dimensión de W es cero o dos. Se denotan respectivamente O + (2 n , q ) y O − (2 n , q ) . [6]
El grupo ortogonal O ε (2, q ) es un grupo diedro de orden 2( q − ε ) , donde ε = ± .
Para estudiar el grupo ortogonal de O ε (2, q ) , se puede suponer que la matriz de la forma cuadrática es porque, dada una forma cuadrática, existe una base donde su matriz es diagonalizable. Una matriz pertenece al grupo ortogonal si AQA T = Q , es decir, a 2 – ωb 2 = 1 , ac – ωbd = 0 , y c 2 – ωd 2 = – ω . Como a y b no pueden ser ambos cero (debido a la primera ecuación), la segunda ecuación implica la existencia de ε en F q , tal que c = εωb y d = εa . Reportando estos valores en la tercera ecuación, y usando la primera ecuación, se obtiene que ε 2 = 1 , y por lo tanto el grupo ortogonal consiste en las matrices
donde a 2 – ωb 2 = 1 y ε = ±1 . Además, el determinante de la matriz es ε .
Para estudiar más a fondo el grupo ortogonal, es conveniente introducir una raíz cuadrada α de ω . Esta raíz cuadrada pertenece a F q si el grupo ortogonal es O + (2, q ) , y a F q 2 en caso contrario. Fijando x = a + αb , e y = a – αb , se tiene
Si y son dos matrices de determinante uno en el grupo ortogonal entonces
Esta es una matriz ortogonal con a = a 1 a 2 + ωb 1 b 2 , y b = a 1 b 2 + b 1 a 2 . Por lo tanto
De ello se deduce que la función ( a , b ) ↦ a + αb es un homomorfismo del grupo de matrices ortogonales de determinante uno en el grupo multiplicativo de F q 2 .
En el caso de O + (2 n , q ) , la imagen es el grupo multiplicativo de F q , que es un grupo cíclico de orden q .
En el caso de O – (2 n , q ) , las x e y anteriores son conjugadas , y por lo tanto son la imagen una de la otra por el automorfismo de Frobenius . Esto significa que y por lo tanto x q +1 = 1 . Para cada x de este tipo se puede reconstruir una matriz ortogonal correspondiente. Se deduce que la función es un isomorfismo de grupo de las matrices ortogonales del determinante 1 al grupo de las ( q + 1) - raíces de la unidad . Este grupo es un grupo cíclico de orden q + 1 que consta de las potencias de g q −1 , donde g es un elemento primitivo de F q 2 ,
Para finalizar la demostración, basta verificar que el grupo de todas las matrices ortogonales no es abeliano, y es el producto semidirecto del grupo {1, −1} por el grupo de matrices ortogonales de determinante uno.
La comparación de esta prueba con el caso real puede resultar esclarecedora.
Aquí intervienen dos isomorfismos de grupo:
donde g es un elemento primitivo de F q 2 y T es el grupo multiplicativo del elemento de norma uno en F q 2 ;
con y
En el caso real, los isomorfismos correspondientes son:
donde C es el círculo de los números complejos de norma uno;
con y
Cuando la característica no es dos, el orden de los grupos ortogonales es [7]
En la característica dos, las fórmulas son las mismas, excepto que se debe eliminar el factor 2 de | O(2 n + 1, q ) | .
Para los grupos ortogonales, el invariante de Dickson es un homomorfismo del grupo ortogonal al grupo cociente Z / 2 Z (enteros módulo 2), tomando el valor 0 en caso de que el elemento sea el producto de un número par de reflexiones, y el valor 1 en caso contrario. [8]
Algebraicamente, el invariante de Dickson puede definirse como D ( f ) = rank( I − f ) módulo 2 , donde I es la identidad (Taylor 1992, Teorema 11.43). Sobre cuerpos que no son de característica 2 es equivalente al determinante: el determinante es −1 elevado al invariante de Dickson. Sobre cuerpos de característica 2, el determinante es siempre 1, por lo que el invariante de Dickson da más información que el determinante.
El grupo ortogonal especial es el núcleo del invariante de Dickson [8] y usualmente tiene índice 2 en O( n , F ) . [9] Cuando la característica de F no es 2, el invariante de Dickson es 0 siempre que el determinante sea 1 . Por lo tanto, cuando la característica no es 2, SO( n , F ) se define comúnmente como los elementos de O( n , F ) con determinante 1 . Cada elemento en O( n , F ) tiene determinante ±1 . Por lo tanto, en la característica 2, el determinante es siempre 1 .
El invariante de Dickson también se puede definir para grupos de Clifford y grupos pin de manera similar (en todas las dimensiones).
Los grupos ortogonales característicos sobre cuerpos de 2 caracteristicas suelen presentar comportamientos especiales, algunos de los cuales se enumeran en esta sección. (Anteriormente estos grupos se conocían como grupos hipoabelianos , pero este término ya no se utiliza).
La norma de espinor es un homomorfismo de un grupo ortogonal sobre un cuerpo F al grupo cociente F × / ( F × ) 2 (el grupo multiplicativo del cuerpo F hasta la multiplicación por elementos cuadrados ), que toma reflexión en un vector de norma n a la imagen de n en F × / ( F × ) 2 . [11]
Para el grupo ortogonal usual sobre los números reales, es trivial, pero a menudo no es trivial sobre otros cuerpos, o para el grupo ortogonal de una forma cuadrática sobre los números reales que no es definida positiva.
En la teoría de la cohomología de Galois de los grupos algebraicos se introducen algunos puntos de vista adicionales. Tienen valor explicativo, en particular en relación con la teoría de las formas cuadráticas; pero fueron en su mayor parte post hoc , en lo que respecta al descubrimiento del fenómeno. El primer punto es que las formas cuadráticas sobre un cuerpo pueden identificarse como un Galois H 1 , o formas torcidas ( torsores ) de un grupo ortogonal. Como grupo algebraico, un grupo ortogonal en general no es ni conexo ni simplemente conexo; el último punto introduce los fenómenos de espín, mientras que el primero está relacionado con el determinante .
El nombre de "espín" de la norma de espín se puede explicar por una conexión con el grupo de espín (más precisamente, un grupo pin ). Esto ahora se puede explicar rápidamente mediante la cohomología de Galois (que, sin embargo, es posterior a la introducción del término mediante un uso más directo de las álgebras de Clifford ). El recubrimiento de espín del grupo ortogonal proporciona una secuencia corta y exacta de grupos algebraicos .
Aquí μ 2 es el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1 ; sobre un cuerpo de característica distinta de 2 es aproximadamente lo mismo que un grupo de dos elementos con acción de Galois trivial. El homomorfismo de conexión de H 0 (O V ) , que es simplemente el grupo O V ( F ) de puntos con valor F , a H 1 ( μ 2 ) es esencialmente la norma de espinor, porque H 1 (μ 2 ) es isomorfo al grupo multiplicativo del cuerpo módulo cuadrados.
También existe el homomorfismo de conexión de H 1 del grupo ortogonal al H 2 del núcleo del recubrimiento de espín. La cohomología no es abeliana, por lo que hasta aquí podemos llegar, al menos con las definiciones convencionales.
El álgebra de Lie correspondiente a los grupos de Lie O( n , F ) y SO( n , F ) consiste en las matrices n × n antisimétricas , con el corchete de Lie [ , ] dado por el conmutador . Un álgebra de Lie corresponde a ambos grupos. A menudo se denota por o , y se llama álgebra de Lie ortogonal o álgebra de Lie ortogonal especial . Sobre números reales, estas álgebras de Lie para diferentes n son las formas reales compactas de dos de las cuatro familias de álgebras de Lie semisimples : en dimensión impar B k , donde n = 2 k + 1 , mientras que en dimensión par D r , donde n = 2 r .
Dado que el grupo SO( n ) no es simplemente conexo, la teoría de representación de las álgebras de Lie ortogonales incluye tanto representaciones correspondientes a representaciones ordinarias de los grupos ortogonales como representaciones correspondientes a representaciones proyectivas de los grupos ortogonales. (Las representaciones proyectivas de SO( n ) son simplemente representaciones lineales de la cubierta universal, el grupo de espín Spin( n ).) Estas últimas son las llamadas representaciones de espín , que son importantes en física.
En términos más generales, dado un espacio vectorial V (sobre un cuerpo con característica distinta de 2) con una forma bilineal simétrica no degenerada (⋅, ⋅) , el álgebra de Lie ortogonal especial consiste en endomorfismos sin trazas que son antisimétricos para esta forma ( ). Sobre un cuerpo de característica 2 consideramos en cambio los endomorfismos alternados. Concretamente podemos equipararlos con los tensores alternados Λ 2 V . La correspondencia está dada por:
Esta descripción se aplica igualmente a las álgebras de Lie ortogonales especiales indefinidas para formas bilineales simétricas con signatura ( p , q ) .
Sobre números reales, esta caracterización se utiliza para interpretar el rotacional de un campo vectorial (naturalmente un 2-vector) como una rotación infinitesimal o "rotual", de ahí el nombre.
Los grupos ortogonales y los grupos ortogonales especiales tienen varios subgrupos, supergrupos, grupos cocientes y grupos de cobertura importantes, que se enumeran a continuación.
Las inclusiones O( n ) ⊂ U( n ) ⊂ USp(2 n ) y USp( n ) ⊂ U( n ) ⊂ O(2 n ) son parte de una secuencia de 8 inclusiones utilizadas en una prueba geométrica del teorema de periodicidad de Bott , y los espacios cocientes correspondientes son espacios simétricos de interés independiente; por ejemplo, U( n )/O( n ) es el lagrangiano Grassmanniano .
En física, en particular en el área de compactificación de Kaluza-Klein , es importante determinar los subgrupos del grupo ortogonal. Los principales son:
El grupo ortogonal O( n ) es también un subgrupo importante de varios grupos de Lie:
Al ser isometrías , las transformadas ortogonales reales preservan los ángulos y, por lo tanto, son aplicaciones conformes , aunque no todas las transformadas lineales conformes son ortogonales. En términos clásicos, esta es la diferencia entre congruencia y similitud , como se ejemplifica mediante la congruencia LLL (lado-lado-lado) de triángulos y la similitud AAA (ángulo-ángulo-ángulo) de triángulos . El grupo de aplicaciones lineales conformes de R n se denota CO( n ) para el grupo ortogonal conforme , y consiste en el producto del grupo ortogonal con el grupo de dilataciones . Si n es impar, estos dos subgrupos no se intersecan, y son un producto directo : CO(2 k + 1) = O(2 k + 1) × R ∗ , donde R ∗ = R ∖{0 } es el grupo multiplicativo real , mientras que si n es par, estos subgrupos se intersecan en ±1 , por lo que no es un producto directo, pero sí es un producto directo con el subgrupo de dilatación por un escalar positivo: CO(2 k ) = O(2 k ) × R + .
De manera similar, se puede definir CSO( n ) ; esto siempre es: CSO( n ) = CO( n ) ∩ GL + ( n ) = SO( n ) × R + .
Como el grupo ortogonal es compacto, los subgrupos discretos son equivalentes a los subgrupos finitos. [nota 1] Estos subgrupos se conocen como grupos puntuales y pueden realizarse como los grupos de simetría de politopos . Una clase muy importante de ejemplos son los grupos de Coxeter finitos , que incluyen los grupos de simetría de politopos regulares .
La dimensión 3 se estudia en particular: véase grupos puntuales en tres dimensiones , grupos poliédricos y lista de grupos de simetría esférica . En 2 dimensiones, los grupos finitos son cíclicos o diedros: véase grupos puntuales en dos dimensiones .
Otros subgrupos finitos incluyen:
El grupo ortogonal no es ni simplemente conexo ni sin centro , y por lo tanto tiene un grupo de recubrimiento y un grupo cociente , respectivamente:
Todas estas son cubiertas 2 a 1.
Para el grupo ortogonal especial, los grupos correspondientes son:
Spin es una cobertura 2 a 1, mientras que en dimensión par, PSO(2 k ) es una cobertura 2 a 1, y en dimensión impar PSO(2 k + 1) es una cobertura 1 a 1; es decir, isomorfo a SO(2 k + 1) . Estos grupos, Spin( n ) , SO( n ) y PSO( n ) son formas de grupo de Lie del álgebra de Lie ortogonal especial compacta , – Spin es la forma simplemente conexa, mientras que PSO es la forma sin centro, y SO en general no es ninguna de las dos. [nota 3]
En la dimensión 3 y superiores, estas son las cubiertas y los cocientes, mientras que la dimensión 2 y inferiores son algo degeneradas; consulte los artículos específicos para obtener más detalles.
El espacio homogéneo principal para el grupo ortogonal O( n ) es la variedad de Stiefel V n ( R n ) de bases ortonormales ( n -marcos ortonormales ).
En otras palabras, el espacio de bases ortonormales es como el grupo ortogonal, pero sin elección del punto base: dado un espacio ortogonal, no hay elección natural de base ortonormal, pero una vez que se da una, hay una correspondencia biunívoca entre bases y grupo ortogonal. Concretamente, una función lineal está determinada por el lugar al que envía una base: así como una función invertible puede llevar cualquier base a cualquier otra base, una función ortogonal puede llevar cualquier base ortogonal a cualquier otra base ortogonal .
Las otras variedades de Stiefel V k ( R n ) para k < n de bases ortonormales incompletas ( k -marcos ortonormales) son todavía espacios homogéneos para el grupo ortogonal, pero no espacios homogéneos principales : cualquier k -marco puede ser llevado a cualquier otro k -marco mediante una función ortogonal, pero esta función no está unívocamente determinada.
