Teorema de Witt

Resultado básico en la teoría algebraica de formas cuadráticas, al extender isometrías

El "teorema de Witt" o "el teorema de Witt" también puede referirse al teorema del punto fijo de Bourbaki-Witt de la teoría del orden.

En matemáticas, el teorema de Witt , llamado así por Ernst Witt , es un resultado básico en la teoría algebraica de formas cuadráticas : cualquier isometría entre dos subespacios de un espacio cuadrático no singular sobre un cuerpo k puede extenderse a una isometría de todo el espacio. Una afirmación análoga se aplica también a las formas antisimétricas , hermíticas y antihermíticas bilineales sobre cuerpos arbitrarios. El teorema se aplica a la clasificación de formas cuadráticas sobre k y, en particular, permite definir el grupo de Witt W ( k ) que describe la teoría "estable" de las formas cuadráticas sobre el cuerpo k .

Declaración

Sea ( V , b ) un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo k de característica distinta de 2 junto con una forma bilineal simétrica o antisimétrica no degenerada . Si f  : U → U' es una isometría entre dos subespacios de V entonces f se extiende a una isometría de V . ^[1]

El teorema de Witt implica que la dimensión de un subespacio totalmente isótropo máximo (espacio nulo) de V es un invariante, llamado índice oÍndice de Witt deb,^[2][3]y además, que elgrupo de isometríade( V , b ) actúa transitivamentesobre elconjuntode subespacios isótropos maximales. Este hecho juega un papel importante en la teoría de la estructura yla teoría de la representacióndel grupo de isometría y en la teoría depares duales reductivos.

Teorema de cancelación de Witt

Sean ( V , q ) , ( V ₁ , q ₁ ) , ( V ₂ , q ₂ ) tres espacios cuadráticos sobre un cuerpo k . Supóngase que

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\oplus (V,q)\simeq (V_{2},q_{2})\oplus (V,q).}$

Entonces los espacios cuadráticos ( V ₁ , q ₁ ) y ( V ₂ , q ₂ ) son isométricos:

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\simeq (V_{2},q_{2}).}$

En otras palabras, el sumando directo ( V , q ) que aparece en ambos lados de un isomorfismo entre espacios cuadráticos puede ser "cancelado".

Teorema de descomposición de Witt

Sea ( V , q ) un espacio cuadrático sobre un cuerpo k . Entonces admite una descomposición de Witt :

${\displaystyle (V,q)\simeq (V_{0},0)\oplus (V_{a},q_{a})\oplus (V_{h},q_{h}),}$

donde V ₀ = ker q es el radical de q , ( V _a , q _a ) es un espacio cuadrático anisotrópico y ( V _h , q _h ) es un espacio cuadrático dividido . Además, el sumando anisotrópico, denominado forma central , y el sumando hiperbólico en una descomposición de Witt de ( V , q ) se determinan de forma única hasta el isomorfismo. ^[4]

Se dice que las formas cuadráticas con la misma forma central son similares o equivalentes de Witt .

Citas

1. Romano 2008, p. 275-276, cap. 11.
2. Lam 2005, pág. 12.
3. Romano 2008, pág. 296, cap. 11.
4. Lorenz 2008, pág. 30.

Referencias

• Álgebra geométrica de Emil Artin (1957), página 121 vía Internet Archive
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR  2104929, Zbl  1068.11023
• Lorenz, Falko (2008), Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados , Springer-Verlag , págs. 15-27, ISBN 978-0-387-72487-4, Zbl1130.12001 ​
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
• O'Meara, O. Timothy (1973), Introducción a las formas cuadráticas , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 117, Springer-Verlag , Zbl  0259.10018