matriz simpléctica

En matemáticas, una matriz simpléctica es una matriz con entradas reales que satisface la condición ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle M}$

donde denota la transpuesta de y es una matriz fija no singular y simétrica sesgada . Esta definición se puede extender a matrices con entradas en otros campos , como números complejos , campos finitos , números p -ádicos y campos de funciones . ${\displaystyle M^{\text{T}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$

Normalmente se elige como matriz de bloques. ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$$

matriz identidaddeterminante ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}=\Omega ^{\text{T}}=-\Omega }$

Propiedades

Generadores de matrices simplécticas.

Cada matriz simpléctica tiene determinante , y las matrices simplécticas con entradas reales forman un subgrupo del grupo lineal general bajo la multiplicación de matrices, ya que ser simpléctica es una propiedad estable bajo la multiplicación de matrices. Topológicamente , este grupo simpléctico es un grupo de Lie real no compacto conectado de dimensión real , y se denota . El grupo simpléctico puede definirse como el conjunto de transformaciones lineales que preservan la forma simpléctica de un espacio vectorial simpléctico real . ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n(2n+1)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$

Este grupo simpléctico tiene un conjunto distinguido de generadores, que pueden usarse para encontrar todas las matrices simplécticas posibles. Esto incluye los siguientes conjuntos.

$${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{pmatrix}}:A\in {\text{GL}}(n;\mathbb {R} )\right\}\\N(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}:B\in {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )\right\}\end{aligned}}}$$

matrices simétricas^{[1] p. 2} ${\displaystyle {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \{\Omega \}\cup D(n)\cup N(n)}$$

${\displaystyle D(n)}$ ${\displaystyle N(n)}$ ${\displaystyle \Omega }$

matriz inversa

Toda matriz simpléctica es invertible con la matriz inversa dada por

$${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .}$$

productogrupomúltiplegrupo de Liegrupo simpléctico

Propiedades determinantes

De la definición se deduce fácilmente que el determinante de cualquier matriz simpléctica es ±1. En realidad, resulta que el determinante es siempre +1 para cualquier campo. Una forma de ver esto es mediante el uso del pfaffiano y la identidad.

$${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).}$$

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$ ${\displaystyle \det(M)=1}$

Cuando el campo subyacente es real o complejo, también se puede demostrar factorizando la desigualdad . ^[2] ${\displaystyle \det(M^{\text{T}}M+I)\geq 1}$

Forma de bloque de matrices simplécticas.

Supongamos que Ω se da en la forma estándar y sea una matriz de bloques dada por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$

$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$$

¿Dónde están las matrices? La condición para ser simpléctica es equivalente a las dos siguientes condiciones equivalentes ^[3] ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D}$simétrico, y ${\displaystyle A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I}$

${\displaystyle AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}}$simétrico, y ${\displaystyle AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=I}$

Cuando estas condiciones se reducen a la condición única . Por tanto, una matriz es simpléctica si tiene determinante unitario. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \det(M)=1}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Matriz inversa de matriz de bloques

En forma estándar, la inversa de está dada por ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.}$$

${\displaystyle n(2n+1)}$ ${\displaystyle (M^{\text{T}}\Omega M)^{\text{T}}=-M^{\text{T}}\Omega M}$ ${\displaystyle {\binom {2n}{2}},}$ ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ ${\displaystyle 2n \choose 2}$ ${\displaystyle (2n)^{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n(2n+1)}$

Transformaciones simplécticas

En la formulación abstracta del álgebra lineal , las matrices se reemplazan con transformaciones lineales de espacios vectoriales de dimensión finita . El análogo abstracto de una matriz simpléctica es una transformación simpléctica de un espacio vectorial simpléctico . Brevemente, un espacio vectorial simpléctico es un espacio vectorial dimensional equipado con una forma bilineal no degenerada y simétrica sesgada llamada forma simpléctica . ${\displaystyle (V,\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega }$

Una transformación simpléctica es entonces una transformación lineal que conserva , es decir ${\displaystyle L:V\to V}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).}$

Fijando una base para , se puede escribir como matriz y como matriz . La condición para que sea una transformación simpléctica es precisamente la condición de que M sea una matriz simpléctica: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .}$

Bajo un cambio de base , representado por una matriz A , tenemos

${\displaystyle \Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A}$

${\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA.}$

Siempre se puede llegar a la forma estándar dada en la introducción o a la forma diagonal de bloque que se describe a continuación mediante una elección adecuada de A. ${\displaystyle \Omega }$

La matriz Ω

Las matrices simplécticas se definen en relación con una matriz fija no singular y simétrica sesgada . Como se explicó en la sección anterior, se puede considerar como la representación de coordenadas de una forma bilineal sesgada y simétrica no degenerada . Un resultado básico del álgebra lineal es que dos matrices cualesquiera difieren entre sí por un cambio de base . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

La alternativa más común al estándar anterior es la forma diagonal de bloque. ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}$

Esta elección se diferencia de la anterior por una permutación de vectores base .

A veces se utiliza la notación en lugar de para la matriz simétrica sesgada. Esta es una elección particularmente desafortunada ya que genera confusión con la noción de estructura compleja , que a menudo tiene la misma expresión de coordenadas pero representa una estructura muy diferente. Una estructura compleja es la representación de coordenadas de una transformación lineal que se eleva al cuadrado , mientras que es la representación de coordenadas de una forma bilineal sesgada y simétrica no degenerada. Se podrían elegir fácilmente bases que no sean simétricas o no cuadradas . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle -I_{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle -I_{n}}$

Dada una estructura hermitiana en un espacio vectorial, y están relacionados a través de ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}}$

¿Dónde está la métrica ? Que y normalmente tengan la misma expresión de coordenadas (hasta un signo general) es simplemente una consecuencia del hecho de que la métrica g suele ser la matriz identidad. ${\displaystyle g_{ac}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Omega }$

Diagonalización y descomposición.

• Para cualquier matriz simpléctica real simétrica definida positiva S existe U tal que ${\displaystyle \mathrm {U} (2n,\mathbb {R} )=\mathrm {O} (2n)}$

${\displaystyle S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),}$
donde los elementos diagonales de D son los valores propios de S . ^[4]

• Cualquier matriz simpléctica real S tiene una descomposición polar de la forma: ^[4]

${\displaystyle S=UR\quad }$Para y ${\displaystyle \quad U\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).}$

• Cualquier matriz simpléctica real se puede descomponer como producto de tres matrices:

tal que O y O' son ambos simplécticos y ortogonales y D es positivo-definido y diagonal . ^[5] Esta descomposición está estrechamente relacionada con la descomposición en valores singulares de una matriz y se conoce como descomposición 'Euler' o 'Bloch-Messiah'.

Matrices complejas

Si, en cambio, M es una matriz de 2 n × 2 n con entradas complejas , la definición no es estándar en toda la literatura. Muchos autores ^[6] ajustan la definición anterior a

donde M ^* denota la transpuesta conjugada de M . En este caso, el determinante puede no ser 1, pero tendrá valor absoluto 1. En el caso 2×2 ( n =1), M será el producto de una matriz simpléctica real y un número complejo de valor absoluto 1.

Otros autores ^[7] conservan la definición ( 1 ) de matrices complejas y llaman a las matrices que satisfacen ( 3 ) conjugadas simplécticas .

Aplicaciones

Las transformaciones descritas por matrices simplécticas juegan un papel importante en la óptica cuántica y en la teoría de la información cuántica continua-variable . Por ejemplo, se pueden utilizar matrices simplécticas para describir transformaciones gaussianas (Bogoliubov) de un estado cuántico de luz. ^[8] A su vez, la descomposición de Bloch-Mesías ( 2 ) significa que una transformación gaussiana tan arbitraria puede representarse como un conjunto de dos interferómetros ópticos lineales pasivos (correspondientes a matrices ortogonales O y O' ) intermitidos por una capa de transformaciones de compresión no lineales (dadas en términos de la matriz D ). ^[9] De hecho, se puede evitar la necesidad de tales transformaciones de compresión activa en línea si los estados de vacío comprimido de dos modos están disponibles solo como recurso previo. ^[10]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Espacio vectorial simpléctico
• grupo simpléctico
• Representación simpléctica
• matriz ortogonal
• Matriz unitaria
• Mecánica hamiltoniana
• Estructura compleja lineal

Referencias

1. Habermann, Katharina, 1966- (2006). Introducción a los operadores simplécticos de Dirac. Saltador. ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC  262692314.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Borde, Donsub (2017). "Una prueba elemental de que las matrices simplécticas tienen un determinante". Adv. Din. Sistema. Aplica . 12 (1): 15-20. arXiv : 1505.04240 . doi :10.37622/ADSA/12.1.2017.15-20. S2CID  119595767.
3. de Gosson, Mauricio. "Introducción a la Mecánica Simpléctica: Conferencias I-II-III" (PDF) .
4. de Gosson, Maurice A. (2011). Métodos simplécticos en análisis armónico y en física matemática - Springer . doi :10.1007/978-3-7643-9992-4. ISBN 978-3-7643-9991-7.
5. Ferraro, Alejandro; Olivares, Stefano; París, Matteo GA (31 de marzo de 2005). "Estados gaussianos en información cuántica variable continua". Segundo. 1.3, pág. 4. arXiv : quant-ph/0503237 .
6. Xu, HG (15 de julio de 2003). "Una descomposición matricial similar a SVD y sus aplicaciones". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 368 : 1–24. doi :10.1016/S0024-3795(03)00370-7. hdl : 1808/374 .
7. Mackey, DS; Mackey, N. (2003). "Sobre el determinante de matrices simplécticas". Informe de análisis numérico. 422 . Manchester, Inglaterra: Centro de Matemáticas Computacionales de Manchester. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
8. Weedbrook, cristiano; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolás J.; Ralph, Timothy C.; Shapiro, Jeffrey H.; Lloyd, Seth (2012). "Información cuántica gaussiana". Reseñas de Física Moderna . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Código Bib : 2012RvMP...84..621W. doi :10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
9. Braunstein, Samuel L. (2005). "Exprimir como recurso irreductible". Revisión física A. 71 (5): 055801. arXiv : quant-ph/9904002 . Código Bib : 2005PhRvA..71e5801B. doi : 10.1103/PhysRevA.71.055801. S2CID  16714223.
10. Chakhmakhchyan, Levon; Cerf, Nicolás (2018). "Simulación de circuitos gaussianos arbitrarios con óptica lineal". Revisión física A. 98 (6): 062314. arXiv : 1803.11534 . Código Bib : 2018PhRvA..98f2314C. doi : 10.1103/PhysRevA.98.062314. S2CID  119227039.