matriz hamiltoniana

En matemáticas , una matriz hamiltoniana es una matriz $A de$ $2 n$ por $2 n$ tal que $JA$ es simétrica , donde $J$ es la matriz simétrica sesgada

J={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\\\end{bmatrix}}

y $In es$ la matriz identidad $n$ -por- $n$ . En otras palabras, $A$ es hamiltoniano si y sólo si $($ $JA$ $)$ $T$ $=$ $JA$ donde $()$ $T$ denota la transpuesta . ^[1]

Propiedades

Supongamos que la matriz $A de$ $2 n$ -por- $2 n$ se escribe como matriz de bloques

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

donde $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son matrices de $n$ por $n$ . Entonces la condición de que $A$ $sea$ hamiltoniano equivale a exigir que las matrices $byc$ sean simétricas y que $a$ $+$ $d$ $T$ $= 0$ . ^[1]^[2] Otra condición equivalente es que $A$ sea de la forma $A$ $=$ $JS$ con $S$ simétrico. ^[2]^{: 34}

De la definición se deduce fácilmente que la transpuesta de una matriz hamiltoniana es hamiltoniana. Además, la suma (y cualquier combinación lineal ) de dos matrices hamiltonianas es nuevamente hamiltoniana, al igual que su conmutador . De ello se deduce que el espacio de todas las matrices hamiltonianas es un álgebra de Lie , denotada como $sp(2 n)$ . La dimensión de $sp(2 n)$ es $2 n 2 + n$ . El grupo de Lie correspondiente es el grupo simpléctico $Sp(2 n)$ . Este grupo está formado por las matrices simplécticas , aquellas matrices $A$ $que$ satisfacen $AT JA = J.$ Por tanto, la matriz exponencial de una matriz hamiltoniana es simpléctica. Sin embargo, el logaritmo de una matriz simpléctica no es necesariamente hamiltoniano porque la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo no es sobreyectiva. ^[2]^{: 34–36}^[3]

El polinomio característico de una matriz hamiltoniana real es par . Así, si una matriz hamiltoniana tiene $λ$ como valor propio , entonces $-λ$ , $λ *$ y $-λ *$ también son valores propios. ^[2]^{: 45} De ello se deduce que la traza de una matriz hamiltoniana es cero.

El cuadrado de una matriz hamiltoniana es sesgada-hamiltoniana (una matriz $A$ es sesgada-hamiltoniana si $(JA) T = - JA$ ). Por el contrario, toda matriz hamiltoniana sesgada surge como el cuadrado de una matriz hamiltoniana. ^[4]

Extensión a matrices complejas

En cuanto a las matrices simplécticas, la definición de matrices hamiltonianas se puede extender a matrices complejas de dos maneras. Una posibilidad es decir que una matriz $A$ es hamiltoniana si $(JA) T = JA$ , como arriba. ^[1]^[4] Otra posibilidad es utilizar la condición $(JA) * = JA$ donde el asterisco en superíndice ( $(\cdot) *$ ) denota la transpuesta conjugada . ^[5]

Operadores hamiltonianos

Sea $V$ un espacio vectorial, equipado con una forma simpléctica $Ω$ . Un mapa lineal se llama operador hamiltoniano con respecto a $Ω$ si la forma es simétrica. De manera equivalente, debe satisfacer $A:\;V\mapsto V$ $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$

\Omega (A(x),y)=-\Omega (x,A(y))

Elija una base $e 1, \dots, e 2 n$ en $V$ , tal que $Ω$ se escriba como . Un operador lineal es hamiltoniano con respecto a $Ω$ si y sólo si su matriz en esta base es hamiltoniana. ^[4] ${\textstyle \sum _ {i}e_ {i} \ cuña e_ {n+i}}$

Referencias

^ abc Ikramov, Khakim D. (2001), "Revisión de las raíces cuadradas hamiltonianas de matrices sesgadas-hamiltonianas", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 325 : 101–107, doi : 10.1016/S0024-3795(00)00304-9.
^ abcd Meyer, KR; Hall, GR (1991), Introducción a los sistemas dinámicos hamiltonianos y el problema de $N$ -cuerpos , Springer , ISBN 0-387-97637-X.
^ Dragt, Alex J. (2005), "El grupo simpléctico y la mecánica clásica", Annals of the New York Academy of Sciences , 1045 (1): 291–307, doi :10.1196/annals.1350.025, PMID 15980319.
^ abc Waterhouse, William C. (2005), "La estructura de las matrices hamiltonianas alternas", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 396 : 385–390, doi : 10.1016/j.laa.2004.10.003.
^ Paige, Chris; Van Loan, Charles (1981), "Una descomposición de Schur para matrices hamiltonianas", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 41 : 11–32, doi : 10.1016/0024-3795(81)90086-0.