anillo adéle

Objeto central de la teoría de campos de clases.

En matemáticas , el anillo de Adele de un campo global (también anillo de Adele , anillo de Adeles o anillo de Adèles ^[1] ) es un objeto central de la teoría de campos de clases , una rama de la teoría algebraica de números . Es el producto restringido de todas las terminaciones del campo global y es un ejemplo de anillo topológico autodual .

Una adela deriva de un tipo particular de idela . "Idele" deriva del francés "idèle" y fue acuñado por el matemático francés Claude Chevalley . La palabra significa "elemento ideal" (abreviado: id.el.). Adele (francés: "adèle") significa 'idele aditivo' (es decir, elemento ideal aditivo).

El anillo de Adele permite describir la ley de reciprocidad de Artin , que es una generalización de la reciprocidad cuadrática , y otras leyes de reciprocidad sobre campos finitos . Además, es un teorema clásico de Weil que los paquetes en una curva algebraica sobre un campo finito se pueden describir en términos de adeles para un grupo reductivo . Adeles también están conectados con los grupos algebraicos adélicos y las curvas adélicas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

El estudio de la geometría de los números sobre el anillo de adeles de un campo numérico se llama geometría adélica .

Definición

Sea un campo global (una extensión finita o el campo funcional de una curva sobre un campo finito). El anillo de Adele es el subanillo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{K}\ =\ \prod (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })\ \subseteq \ \prod K_{\nu }}$

que consta de las tuplas donde se encuentra el subanillo en todos los lugares excepto en un número finito . Aquí el índice abarca todas las valoraciones del ámbito global , es la finalización en esa valoración y el anillo de valoración correspondiente . ^[2] ${\displaystyle (a_{\nu })}$ ${\displaystyle a_{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$

Motivación

El anillo de adeles resuelve el problema técnico de "hacer análisis de los números racionales ". La solución clásica era pasar a la compleción métrica estándar y utilizar allí técnicas analíticas. ^{[ se necesita aclaración ]} Pero, como se supo más adelante, existen muchos más valores absolutos además de la distancia euclidiana , uno para cada número primo , como clasificó Ostrowski . El valor absoluto euclidiano, denominado , es sólo uno entre muchos otros, pero el anillo de adeles permite comprender y utilizar todas las valoraciones a la vez . Esto tiene la ventaja de permitir técnicas analíticas y al mismo tiempo retener información sobre los números primos, ya que su estructura está incluida en el producto infinito restringido. ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$

El propósito del anillo Adele es mirar todas las terminaciones a la vez. El anillo de Adele se define con el producto restringido, en lugar del producto cartesiano . Hay dos razones para esto: ${\displaystyle K}$

• Para cada elemento las valoraciones son cero para casi todos los lugares, es decir, para todos los lugares excepto un número finito. Por tanto, el campo global puede integrarse en el producto restringido. ${\displaystyle K}$
• El producto restringido es un espacio localmente compacto , mientras que el producto cartesiano no lo es. Por tanto, no puede haber ninguna aplicación del análisis armónico al producto cartesiano. Esto se debe a que la compacidad local garantiza la existencia (y unicidad) de la medida de Haar , una herramienta crucial en el análisis de grupos en general.

¿Por qué el producto restringido?

El producto infinito restringido es una condición técnica requerida para darle al campo numérico una estructura reticular dentro de , lo que permite construir una teoría del análisis de Fourier (cf. análisis armónico ) en el entorno adélico. Esto es análogo a la situación en la teoría algebraica de números donde el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico incrusta ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow K}$

como una celosía. Con el poder de una nueva teoría del análisis de Fourier, Tate pudo demostrar una clase especial de funciones L y que las funciones zeta de Dedekind eran meromórficas en el plano complejo. Otra razón natural por la que se cumple esta condición técnica puede verse construyendo el anillo de Adele como un producto tensorial de anillos. Si se define el anillo de adeles integral como el anillo ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}=\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p},}$

entonces el anillo de adeles se puede definir de manera equivalente como

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right).\end{aligned}}}$

La estructura restringida del producto se vuelve transparente después de observar elementos explícitos en este anillo. La imagen de un elemento dentro del producto sin restricciones es el elemento ${\displaystyle b/c\otimes (r,(a_{p}))\in \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$ ${\textstyle \mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Q} _{p}}$

${\displaystyle \left({\frac {br}{c}},\left({\frac {ba_{p}}{c}}\right)\right).}$

El factor radica en siempre que no sea un factor primo de , que es el caso de todos los primos excepto de un número finito . ^[3] ${\displaystyle ba_{p}/c}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle p}$

Origen del nombre

El término "idele" ( francés : idèle ) es una invención del matemático francés Claude Chevalley (1909-1984) y significa "elemento ideal" (abreviado: id.el.). El término "adele" (francés: adèle ) significa aditivo idele. Por tanto, una Adele es un elemento ideal aditivo.

Ejemplos

Anillo de adeles para los números racionales

Los racionales tienen una valoración para cada número primo , con , y una valoración infinita ∞ con . Así, un elemento de ${\displaystyle K={\mathbf {Q}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })=(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\infty }=\mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }\ =\ \mathbf {R} \times \prod _{p}(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$

es un número real junto con un p -ádico racional para cada uno de los cuales, excepto un número finito, son p -ádicos enteros. ${\displaystyle p}$

Anillo de adeles para el campo funcional de la línea proyectiva

En segundo lugar, tomemos el campo funcional de la línea proyectiva sobre un campo finito. Sus valoraciones corresponden a puntos de , es decir, mapas sobre ${\displaystyle K=\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})=\mathbf {F} _{q}(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}}$

${\displaystyle x\ :\ {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q^{n}}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}.}$

Por ejemplo, hay puntos de la forma . En este caso es el tallo completo de la estructura de haz en (es decir, funciona en una vecindad formal de ) y es su campo fraccionario. De este modo ${\displaystyle q+1}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }={\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K_{\nu }=K_{X,x}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})}\ =\ \prod _{x\in X}({\mathcal {K}}_{X,x},{\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}).}$

Lo mismo se aplica a cualquier curva propia suave sobre un campo finito, siendo el producto restringido sobre todos los puntos de . ${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$ ${\displaystyle x\in X}$

Nociones relacionadas

El grupo de unidades en el anillo de Adele se llama grupo idele.

${\displaystyle I_{K}=\mathbf {A} _{K}^{\times }}$.

El cociente de los ideles por subgrupo se llama grupo de clase idele. ${\displaystyle K^{\times }\subseteq I_{K}}$

${\displaystyle C_{K}\ =\ I_{K}/K^{\times }.}$

Los adeles integrales son el subanillo.

${\displaystyle \mathbf {O} _{K}\ =\ \prod O_{\nu }\ \subseteq \ \mathbf {A} _{K}.}$

Aplicaciones

Declarando la reciprocidad de Artin

La ley de reciprocidad de Artin dice que para un campo global , ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\widehat {C_{K}}}={\widehat {\mathbf {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}}\ \simeq \ {\text{Gal}}(K^{\text{ab}}/K)}$

donde es la extensión algebraica abeliana máxima de y significa la terminación finita del grupo. ${\displaystyle K^{ab}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\widehat {(\dots )}}}$

Dando una formulación adélica del grupo Picard de una curva.

Si es una curva propia suave entonces su grupo Picard es ^[4] ${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$

${\displaystyle {\text{Pic}}(X)\ =\ K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$

y su grupo divisor es . De manera similar, si es un grupo algebraico semisimple (por ejemplo , también es válido para ), entonces la uniformización de Weil dice que ^[5] ${\displaystyle {\text{Div}}(X)=\mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle SL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$

${\displaystyle {\text{Bun}}_{G}(X)\ =\ G(K)\backslash G(\mathbf {A} _{X})/G(\mathbf {O} _{X}).}$

Aplicando esto se obtiene el resultado en el grupo Picard. ${\displaystyle G=\mathbf {G} _{m}}$

La tesis de Tate.

Existe una topología para la cual el cociente es compacto, lo que permite realizar un análisis armónico del mismo. John Tate en su tesis "Análisis de Fourier en campos numéricos y funciones Hecke Zeta" ^[6] demostró resultados sobre las funciones L de Dirichlet utilizando el análisis de Fourier en el anillo de Adele y el grupo idele. Por lo tanto, el anillo de Adele y el grupo idele se han aplicado para estudiar la función zeta de Riemann y las funciones zeta más generales y las funciones L. ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}/K}$

Demostrando la dualidad de Serre en una curva suave

Si es una curva propia suave sobre los números complejos , se pueden definir los adeles de su campo funcional exactamente como en el caso de los campos finitos. John Tate demostró ^[7] que la dualidad de Serre en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\ \simeq \ H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*}}$

Se puede deducir trabajando con este anillo de Adele . Aquí L es un paquete de líneas en . ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {C} (X)}}$ ${\displaystyle X}$

Notación y definiciones básicas.

Campos globales

A lo largo de este artículo, es un campo global , lo que significa que es un campo numérico (una extensión finita de ) o un campo de función global (una extensión finita de para primos y ). Por definición, una extensión finita de un campo global es en sí misma un campo global. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{r}}(t)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

Valoraciones

Para una valoración de se puede escribir para la finalización de con respecto a If es discreta se puede escribir para el anillo de valoración de y para el ideal máximo de Si este es un ideal principal que denota el elemento uniformizador por Una valoración no arquimediana es escrito como o y una valoración de Arquímedes como Entonces suponga que todas las valoraciones no son triviales. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}}$ ${\displaystyle O_{v}.}$ ${\displaystyle \pi _{v}.}$ ${\displaystyle v<\infty }$ ${\displaystyle v\nmid \infty }$ ${\displaystyle v|\infty .}$

Existe una identificación uno a uno de valoraciones y valores absolutos. Fija una constante a la valoración se le asigna el valor absoluto definido como: ${\displaystyle C>1,}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle |\cdot |_{v},}$

${\displaystyle \forall x\in K:\quad |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

Por el contrario, al valor absoluto se le asigna la valoración definida como: ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle v_{|\cdot |},}$

${\displaystyle \forall x\in K^{\times }:\quad v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|).}$

Un lugar de es un representante de una clase de equivalencia de valoraciones (o valores absolutos) de. Los lugares correspondientes a valoraciones no arquimedianas se denominan finitos , mientras que los lugares correspondientes a valoraciones de Arquímedes se denominan infinitos . Los lugares infinitos de un campo global forman un conjunto finito, que se denota por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle P_{\infty }.}$

Defina y sea su grupo de unidades. Entonces ${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}:=\prod _{v<\infty }O_{v}}$ ${\displaystyle {\widehat {O}}^{\times }}$ ${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}^{\times }=\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }.}$

Extensiones finitas

Sea una extensión finita del campo global Sea un lugar de y un lugar de Si el valor absoluto restringido a está en la clase de equivalencia de , entonces se encuentra por encima de lo cual se denota por y se define como: ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle |\cdot |_{w}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle w|v,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w|v}L_{w},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=\prod _{w|v}O_{w}.\end{aligned}}}$

(Tenga en cuenta que ambos productos son finitos).

Si , se puede incrustar en Por lo tanto, se incrusta diagonalmente en Con esta incrustación es un álgebra conmutativa terminada con grado ${\displaystyle w|v}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle L_{w}.}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle L_{v}.}$ ${\displaystyle L_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$

${\displaystyle \sum _{w|v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].}$

El anillo de Adèle

El conjunto de adeles finitos de un campo global ${\displaystyle K,}$ denotado se define como el producto restringido de con respecto al ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle O_{v}:}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}:={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}=\left\{\left.(x_{v})_{v}\in \prod _{v<\infty }K_{v}\right|x_{v}\in O_{v}{\text{ for almost all }}v\right\}.}$

Está equipado con la topología de producto restringida, la topología generada por rectángulos abiertos restringidos, que tienen la siguiente forma:

${\displaystyle U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}\subset {\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v},}$

donde es un conjunto finito de lugares (finitos) y están abiertos. Con la suma y multiplicación por componentes también es un anillo. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$

El anillo de Adele de un campo global se define como el producto de por el producto de las terminaciones de en sus infinitos lugares. El número de lugares infinitos es finito y las terminaciones son o o En resumen: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}\times \prod _{v|\infty }K_{v}={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}\times \prod _{v|\infty }K_{v}.}$

Con la suma y la multiplicación definidas como componentes, el anillo de Adele es un anillo. Los elementos del anillo de Adele se llaman adeles de. ${\displaystyle K.}$ A continuación, se escribe como

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}={\prod _{v}}^{'}K_{v},}$

aunque generalmente no es un producto restringido.

Observación. Los campos de funciones globales no tienen lugares infinitos y, por lo tanto, el anillo finito de Adele es igual al anillo de Adele.

Lema. Hay una incrustación natural de dada por el mapa diagonal: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle a\mapsto (a,a,\ldots ).}$

Prueba. Si entonces para casi todos Esto muestra que el mapa está bien definido. También es inyectivo porque la incorporación de in es inyectiva para todos. ${\displaystyle a\in K,}$ ${\displaystyle a\in O_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle v.}$

Observación. Al identificarse con su imagen bajo el mapa diagonal, se considera como un subanillo de Los elementos de se denominan adeles principales de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Definición. Sea un conjunto de lugares de Definir el conjunto de los -adeles de como ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}:={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}.}$

Además, si

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}}$

el resultado es: ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}$

El anillo de los racionales de Adele

Según el teorema de Ostrowski, los lugares de son es posible identificar un primo con la clase de equivalencia del valor absoluto -ádico y con la clase de equivalencia del valor absoluto definida como: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{p\in \mathbb {N} :p{\text{ prime}}\}\cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {Q} :\quad |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}}$

La terminación con respecto al lugar es con anillo de valoración. Para el lugar la terminación es Así: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}&={\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }&=\left({\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\right)\times \mathbb {R} \end{aligned}}}$

O para abreviar

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\prod _{p\leq \infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p},\qquad \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .}$

La diferencia entre topología de producto restringida y no restringida se puede ilustrar usando una secuencia en : ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

Lema. Considere la siguiente secuencia en : ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}}$

En la topología de producto esto converge a , pero no converge en absoluto en la topología de producto restringida. ${\displaystyle (1,1,\ldots )}$

Prueba. En topología de producto, la convergencia corresponde a la convergencia en cada coordenada, lo cual es trivial porque las secuencias se vuelven estacionarias. La secuencia no converge en una topología de producto restringida. Para cada Adele y para cada rectángulo abierto restringido tiene: para y por lo tanto para todos Como resultado para casi todos En esta consideración, y son subconjuntos finitos del conjunto de todos los lugares. ${\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p\notin F.}$ ${\displaystyle x_{n}-a\notin U}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

Definición alternativa para campos numéricos

Definición ( enteros profinitos ). Los números enteros profinitos se definen como la terminación profinita de los anillos con el orden parcial , es decir, ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\geq m\Leftrightarrow m|n,}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$

Lema. ${\displaystyle \textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

Prueba. Esto se desprende del teorema del resto chino .

Lema. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Prueba. Utilice la propiedad universal del producto tensorial. Definir una función bilineal ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}\end{cases}}}$

Esto está bien definido porque para un dado con coprimo solo hay un número finito de primos que dividen. Sea otro módulo con un mapa bilineal. Debe darse el caso de que se factorice de manera única, es decir, existe un mapa lineal único tal que se puede definir de la siguiente manera: para un determinado existe y tal que para todo Definir Uno puede mostrar que está bien definido, es lineal, satisface y es único con estas propiedades. ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\to M}$ ${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$ ${\displaystyle (u_{p})_{p}}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi }$

Corolario. Definir Esto da como resultado un isomorfismo algebraico ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Prueba. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

Lema. Para un campo numérico ${\displaystyle K,\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

Observación. Usando donde hay sumandos, el lado derecho recibe la topología del producto y transporta esta topología a través del isomorfismo a ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

El anillo de Adele de una extensión finita

Si es una extensión finita, entonces es un campo global. Así se define y se puede identificar con un subgrupo de Map to donde for Then está en el subgrupo if for y for todos los que se encuentran sobre el mismo lugar de ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$ ${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}$ ${\displaystyle w|v.}$ ${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle a_{w}\in K_{v}}$ ${\displaystyle w|v}$ ${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$ ${\displaystyle w,w'}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K.}$

Lema. Si es una extensión finita, entonces tanto algebraica como topológicamente. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$

Con la ayuda de este isomorfismo, la inclusión viene dada por ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1\end{cases}}}$

Además, las adeles principales en se pueden identificar con un subgrupo de adeles principales en a través del mapa. ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}K\to (K\otimes _{K}L)\cong L\\\alpha \mapsto 1\otimes _{K}\alpha \end{cases}}}$

Prueba. ^[8] Sea una base de over Then para casi todos ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle v,}$

${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.}$

Además, existen los siguientes isomorfismos:

${\displaystyle K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}}$

Para el segundo uso el mapa:

${\displaystyle {\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}}$

en el cual está la incrustación canónica y El producto restringido se toma en ambos lados con respecto a ${\displaystyle \tau _{w}:L\to L_{w}}$ ${\displaystyle w|v.}$ ${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}^{'}K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}^{'}L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

Corolario. Como grupos aditivos donde el lado derecho tiene sumandos. ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle [L:K]}$

El conjunto de adeles principales en se identifica con el conjunto donde el lado izquierdo tiene sumandos y se considera como un subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle K\oplus \cdots \oplus K,}$ ${\displaystyle [L:K]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

El anillo de Adele de espacios vectoriales y álgebras.

Lema. Supongamos que es un conjunto finito de lugares y define ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}.}$

Equipe con la topología del producto y defina la suma y la multiplicación por componentes. Entonces es un anillo topológico localmente compacto. ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$

Observación. Si es otro conjunto finito de lugares de contención , entonces es un subanillo abierto de ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P').}$

Ahora se puede presentar una caracterización alternativa del anillo de Adele. El anillo de Adele es la unión de todos los conjuntos : ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },|P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).}$

De manera equivalente es el conjunto de todos , de modo que para casi todos La topología de está inducida por el requisito de que todos sean subanillos abiertos de Por lo tanto, es un anillo topológico localmente compacto. ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$ ${\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}$ ${\displaystyle v<\infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

Fijar un lugar de Sea un conjunto finito de lugares de contención y Definir ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P_{\infty }.}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}O_{w}.}$

Entonces:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}$

Además, definir

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}$

donde recorre todos los conjuntos finitos que contienen Entonces: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{\infty }\cup \{v\}.}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}$

a través del mapa Todo el procedimiento anterior se cumple con un subconjunto finito en lugar de ${\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}}$ ${\displaystyle \{v\}.}$

Mediante la construcción de se produce una incrustación natural: además existe una proyección natural ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v),}$ ${\displaystyle K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.}$

El anillo de Adele de un espacio vectorial

Sea un espacio vectorial de dimensión finita over y una base para over para cada lugar de : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{v}&:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\\{\widetilde {O_{v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}\end{aligned}}}$

El anillo de Adele se define como ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}^{'}E_{v}.}$

Esta definición se basa en la descripción alternativa del anillo de Adele como un producto tensor equipado con la misma topología que se definió al dar una definición alternativa de anillo de Adele para campos numéricos. A continuación, está equipado con la topología de producto restringida. Luego y se integra de forma natural a través del mapa. ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle e\mapsto e\otimes 1.}$

Se puede proporcionar una definición alternativa de la topología . Considere todos los mapas lineales: utilice las incrustaciones naturales y extienda estos mapas lineales a: La topología es la topología más burda para la cual todas estas extensiones son continuas. ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle E\to K.}$ ${\displaystyle E\to \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle K\to \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$

La topología se puede definir de otra manera. Fijar una base para over da como resultado un isomorfismo. Por lo tanto, fijar una base induce un isomorfismo. El lado izquierdo se suministra con la topología del producto y transporta esta topología con el isomorfismo al lado derecho. La topología no depende de la elección de la base, porque otra base define un segundo isomorfismo. Al componer ambos isomorfismos, se obtiene un homeomorfismo lineal que transfiere las dos topologías entre sí. Más formalmente ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E\cong K^{n}.}$ ${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

donde las sumas tienen sumandos. En caso de que la definición anterior sea consistente con los resultados sobre el anillo Adele de una extensión finita ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E=L,}$ ${\displaystyle L/K.}$

^[9]

El anillo de Adele de un álgebra.

Sea un álgebra de dimensión finita sobre En particular, es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Como consecuencia, se define y Dado que hay una multiplicación por y una multiplicación por se puede definir mediante: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ and }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a)\cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).}$

Como consecuencia, es un álgebra con una unidad sobre Sea un subconjunto finito de que contiene una base para sobre Para cualquier lugar finito , se define como el módulo generado por en Para cada conjunto finito de lugares, defina ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M_{v}}$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A_{v}.}$ ${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.}$

Se puede demostrar que hay un conjunto finito, por lo que es un subanillo abierto de si Además, es la unión de todos estos subanillos y la definición anterior es consistente con la definición del anillo de Adele. ${\displaystyle P_{0},}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A},}$ ${\displaystyle P\supset P_{0}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ ${\displaystyle A=K,}$

Traza y norma en el ring de Adele.

Sea una extensión finita. Dado que y del lema anterior, se puede interpretar como un subanillo cerrado de Para esta incrustación, escriba . Explícitamente para todos los lugares de arriba y para cualquier ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$ ${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K},(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v}.}$

Seamos una torre de campos globales. Entonces: ${\displaystyle M/L/K}$

${\displaystyle \operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}$

Además, restringida a los principales adeles está la inyección natural. ${\displaystyle \operatorname {con} }$ ${\displaystyle K\to L.}$

Sea una base de la extensión del campo. Entonces cada uno puede escribirse como donde son únicos. El mapa es continuo. Definir dependiendo de a través de las ecuaciones: ${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$ ${\displaystyle L/K.}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},}$ ${\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha _{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j}\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{nj}\omega _{j}\end{aligned}}}$

Ahora, defina la traza y la norma de como: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{ij})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{ii}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j})\end{aligned}}}$

Estos son la traza y el determinante del mapa lineal.

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x\end{cases}}}$

Son mapas continuos en el anillo de Adele y cumplen las ecuaciones habituales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

Además, para y son idénticos a la traza y norma de la extensión del campo. Para una torre de campos el resultado es: ${\displaystyle \alpha \in L,}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle L/K.}$ ${\displaystyle M/L/K,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatorname {Tr} _{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\end{aligned}}}$

Además, se puede demostrar que: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\operatorname {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

Propiedades del anillo Adele

Teorema. ^[11] Para cada conjunto de lugares hay un anillo topológico localmente compacto. ${\displaystyle S,\mathbb {A} _{K,S}}$

Observación. El resultado anterior también es válido para el anillo Adele de espacios vectoriales y álgebras sobre ${\displaystyle K.}$

Teorema. ^[12] es discreto y cocompacto en En particular, está cerrado en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Prueba. Demostrar el caso Para demostrar que es discreto basta demostrar la existencia de una vecindad de la cual no contiene ningún otro número racional. El caso general sigue a través de la traducción. Definir ${\displaystyle K=\mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1).}$

${\displaystyle U}$es una vecindad abierta de Se afirma que Sea entonces y para todos y por lo tanto Además, y por lo tanto A continuación, para mostrar compacidad, defina: ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$ ${\displaystyle U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.}$ ${\displaystyle \beta \in U\cap \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\beta |_{p}\leq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \beta \in (-1,1)}$ ${\displaystyle \beta =0.}$

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].}$

Cada elemento tiene un representante, es decir, para cada uno existe tal que Sea arbitrario y sea un primo para el cual Entonces existe con y Reemplace con y sea otro primo. Entonces: ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha -\beta \in W.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |\alpha _{p}|>1.}$ ${\displaystyle r_{p}=z_{p}/p^{x_{p}}}$ ${\displaystyle z_{p}\in \mathbb {Z} ,x_{p}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha -r_{p}}$ ${\displaystyle q\neq p}$

${\displaystyle \left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},|r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},1\right\}\leq 1.}$

A continuación se puede afirmar que:

${\displaystyle |\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.}$

La implicación inversa es trivialmente cierta. La implicación es verdadera, porque los dos términos de la desigualdad del triángulo fuerte son iguales si los valores absolutos de ambos números enteros son diferentes. Como consecuencia, el conjunto (finito) de números primos para los cuales los componentes de no están se reduce en 1. Con la iteración, se puede deducir que existen tales que Ahora seleccione tales que Entonces La proyección continua es sobreyectiva, por lo tanto , como Imagen continua de un conjunto compacto, es compacto. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha _{\infty }-r-s\in \left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right].}$ ${\displaystyle \alpha -(r+s)\in W.}$ ${\displaystyle \pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ,}$

Corolario. Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre Entonces es discreto y cocompacto en ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$

Teorema. Se supone lo siguiente:

• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} +\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {Q} \cap \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$es un grupo divisible . ^[13]
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$es denso.

Prueba. Las dos primeras ecuaciones se pueden demostrar de forma elemental.

Por definición es divisible si para cualquiera y la ecuación tiene solución. Basta con demostrar que es divisible pero esto es cierto ya que es un campo con característica positiva en cada coordenada. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle nx=y}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

Para la última afirmación tenga en cuenta que debido a que el número finito de denominadores en las coordenadas de los elementos de se puede alcanzar a través de un elemento. En consecuencia, es suficiente mostrar que es denso, es decir, cada subconjunto abierto contiene un elemento de Sin pérdida de generalidad. , se puede suponer que ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}=\mathbb {Q} {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle V\subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle V=\prod _{p\in E}\left(a_{p}+p^{l_{p}}\mathbb {Z} _{p}\right)\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$

porque es un sistema de vecindad de Por el teorema chino del resto existe tal que Dado que las potencias de distintos primos son coprimos, se sigue. ${\displaystyle (p^{m}\mathbb {Z} _{p})_{m\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle l\equiv a_{p}{\bmod {p}}^{l_{p}}.}$ ${\displaystyle l\in V}$

Observación. no es unívocamente divisible. Deja y recibe. Entonces ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle y=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \\x_{2}&=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}},\ldots \right)+\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

ambos satisfacen la ecuación y claramente ( está bien definido, porque solo un número finito de primos se dividen ). En este caso, ser unívocamente divisible equivale a no tener torsión, lo cual no es cierto para desde pero y ${\displaystyle nx=y}$ ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle nx_{2}=0,}$ ${\displaystyle x_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle n\neq 0.}$

Observación. El cuarto enunciado es un caso especial del teorema de aproximación fuerte.

Haar medida en el anillo de Adele.

Definición. Una función se llama simple si son medibles y para casi todos ${\displaystyle f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v},}$ ${\displaystyle f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{O_{v}}}$ ${\displaystyle v.}$

Teorema. ^[14] Dado que es un grupo localmente compacto con suma, existe una medida de Haar aditiva. Esta medida se puede normalizar de modo que cada función simple integrable satisfaga: ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v},}$

donde for es la medida de tal que tiene unidad de medida y es la medida de Lebesgue. El producto es finito, es decir, casi todos los factores son iguales a uno. ${\displaystyle v<\infty ,dx_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle dx_{\infty }}$

el grupo ideal

Definición. Defina el grupo idele de ${\displaystyle K}$ como el grupo de unidades del anillo de Adele que es Los elementos del grupo idele se denominan ideles de ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }.}$ ${\displaystyle K.}$

Observación. está equipado con una topología para que se convierta en un grupo topológico. La topología de subconjunto heredada no es una candidata adecuada ya que el grupo de unidades de un anillo topológico equipado con topología de subconjunto puede no ser un grupo topológico. Por ejemplo, el mapa inverso no es continuo. La secuencia ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\ldots )\\x_{2}&=(1,3,1,\ldots )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\ldots )\\&\vdots \end{aligned}}}$

converge a Para ver esto sea vecindario de sin pérdida de generalidad, se puede suponer: ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$

${\displaystyle U=\prod _{p\leq N}U_{p}\times \prod _{p>N}\mathbb {Z} _{p}}$

Ya que para todos es lo suficientemente grande. Sin embargo, como se vio anteriormente, la inversa de esta secuencia no converge en ${\displaystyle (x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle x_{n}-1\in U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

Lema. Sea un anillo topológico. Definir: ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{cases}\iota :R^{\times }\to R\times R\\x\mapsto (x,x^{-1})\end{cases}}}$

Equipado con la topología inducida del producto en topología y es un grupo topológico y el mapa de inclusión es continuo. Es la topología más burda, que surge de la topología en adelante y que forma un grupo topológico. ${\displaystyle R\times R}$ ${\displaystyle \iota ,R^{\times }}$ ${\displaystyle R^{\times }\subset R}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R^{\times }}$

Prueba. Como es un anillo topológico, basta con demostrar que el mapa inverso es continuo. Que esté abierto, entonces está abierto. Es necesario mostrar que está abierto o, equivalentemente, que está abierto. Pero esta es la condición anterior. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U\subset R^{\times }}$ ${\displaystyle U\times U^{-1}\subset R\times R}$ ${\displaystyle U^{-1}\subset R^{\times }}$ ${\displaystyle U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R}$

El grupo idele está equipado con la topología definida en el Lema, lo que lo convierte en un grupo topológico.

Definición. Para un subconjunto de lugares de conjunto: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I_{K,S}:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },I_{K}^{S}:=(\mathbb {A} _{K}^{S})^{\times }.}$

Lema. Se mantienen las siguientes identidades de grupos topológicos:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K,S}&={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}^{S}&={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

donde el producto restringido tiene la topología de producto restringido, que se genera mediante rectángulos abiertos restringidos de la forma

${\displaystyle \prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}^{\times },}$

donde es un subconjunto finito del conjunto de todos los lugares y son conjuntos abiertos. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}^{\times }}$

Prueba. Demostrar la identidad de ; los otros dos siguen de manera similar. Primero muestra que los dos conjuntos son iguales: ${\displaystyle I_{K}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\forall v{\text{ and }}x_{v}\in O_{v}^{\times }{\text{ for almost all }}v\}\\&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

Al pasar de la línea 2 a la 3, además tiene que tener significado para casi todos y para casi todos Por lo tanto, para casi todos ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}=y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle x_{v}\in O_{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x_{v}^{-1}\in O_{v}}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle x_{v}\in O_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v.}$

Ahora, es posible mostrar que la topología del lado izquierdo es igual a la topología del lado derecho. Obviamente, todo rectángulo abierto restringido está abierto en la topología del grupo idele. Por otro lado, para un dado que es abierto en la topología del grupo idele, el significado es abierto, por lo que para cada uno existe un rectángulo abierto restringido, que es un subconjunto de y contiene. Por lo tanto, es la unión de todos estos abiertos restringidos. rectángulos y, por lo tanto, está abierto en la topología de producto restringida. ${\displaystyle U\subset I_{K},}$ ${\displaystyle U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u.}$ ${\displaystyle U}$

Lema. Para cada conjunto de lugares, hay un grupo topológico localmente compacto. ${\displaystyle S,I_{K,S}}$

Prueba. La compacidad local se desprende de la descripción como producto restringido. Que sea un grupo topológico se desprende de la discusión anterior sobre el grupo de unidades de un anillo topológico. ${\displaystyle I_{K,S}}$

Un sistema de vecindad de es un sistema de vecindad de Alternativamente, tome todos los conjuntos de la forma: ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{K}(P_{\infty })^{\times }}$ ${\displaystyle 1\in I_{K}.}$

${\displaystyle \prod _{v}U_{v},}$

donde hay un barrio de y para casi todos ${\displaystyle U_{v}}$ ${\displaystyle 1\in K_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle U_{v}=O_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v.}$

Dado que el grupo idele es localmente compacto, existe una medida de Haar sobre él. Esto se puede normalizar, de modo que ${\displaystyle d^{\times }x}$

${\displaystyle \int _{I_{K,{\text{fin}}}}\mathbf {1} _{\widehat {O}}\,d^{\times }x=1.}$

Esta es la normalización utilizada para los lugares finitos. En esta ecuación, es el grupo idele finito, es decir, el grupo de unidades del anillo finito de Adele. Para los lugares infinitos, use la medida multiplicativa de Lebesgue. ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {dx}{|x|}}.}$

El grupo idele de una extensión finita.

Lema. Sea una extensión finita. Entonces: ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle I_{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}^{\times }.}$

donde está el producto restringido con respecto a ${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}^{\times }.}$

Lema. Hay una incrustación canónica de en ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{L}.}$

Prueba. Mapear con la propiedad para Por lo tanto, puede verse como un subgrupo de Un elemento está en este subgrupo si y sólo si sus componentes satisfacen las siguientes propiedades: for y for y for el mismo lugar de ${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in I_{K}}$ ${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in I_{L}}$ ${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }}$ ${\displaystyle w|v.}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{L}.}$ ${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in I_{L}}$ ${\displaystyle a_{w}\in K_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle w|v}$ ${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$ ${\displaystyle w|v}$ ${\displaystyle w'|v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K.}$

El caso de los espacios vectoriales y las álgebras.

^[15]

El grupo idele de un álgebra.

Sea un álgebra de dimensión finita. Dado que no es un grupo topológico con la topología de subconjunto en general, equípelo con una topología similar a la anterior y llame al grupo idele. Los elementos del grupo idele se llaman idele de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ ${\displaystyle A.}$

Proposición. Sea un subconjunto finito de que contiene una base de over Para cada lugar finito de sea el módulo generado por in Existe un conjunto finito de lugares que contiene tal que for all es un subanillo compacto de Además, contiene Para cada es un subconjunto abierto de y el mapa es continuo en Como consecuencia, se mapea homeomórficamente en su imagen en Para cada uno , son los elementos del mapeo con la función anterior. Por tanto, es un subgrupo abierto y compacto de ^[16] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{v}.}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$ ${\displaystyle v\notin P_{0},}$ ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle A_{v}.}$ ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$ ${\displaystyle v,A_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle A_{v}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle A_{v}\times A_{v}.}$ ${\displaystyle v\notin P_{0},}$ ${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times },}$ ${\displaystyle \alpha _{v}\times \alpha _{v}}$ ${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$

Caracterización alternativa del grupo idele.

Proposición. Sea un conjunto finito de lugares. Entonces ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }:=\prod _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }}$

es un subgrupo abierto de donde está la unión de todos ^[17] ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times },}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }.}$

Corolario. En el caso especial de para cada conjunto finito de lugares ${\displaystyle A=K}$ ${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }}$

es un subgrupo abierto de Además, es la unión de todos ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=I_{K}.}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }.}$

Norma sobre el grupo idele.

La huella y la norma deben transferirse del círculo de Adele al grupo de Idle. Resulta que el rastro no se puede transferir tan fácilmente. Sin embargo, es posible transferir la norma del anillo adele al grupo idele. Sea Entonces y por tanto, se puede decir que en el homomorfismo de grupo inyectivo ${\displaystyle \alpha \in I_{K}.}$ ${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}(\alpha )\in I_{L}}$

${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.}$

Dado que es invertible, también lo es, porque Por lo tanto , como consecuencia, la restricción de la función norma introduce una función continua: ${\displaystyle \alpha \in I_{L},}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle (N_{L/K}(\alpha ))^{-1}=N_{L/K}(\alpha ^{-1}).}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in I_{K}.}$

${\displaystyle N_{L/K}:I_{L}\to I_{K}.}$

El grupo de clase Idele

Lema. Hay una incrustación natural de dada por el mapa diagonal: ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K,S}}$ ${\displaystyle a\mapsto (a,a,a,\ldots ).}$

Prueba. Dado que es un subconjunto de, toda la incrustación está bien definida y es inyectiva. ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle K_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v,}$

Corolario. es un subgrupo discreto de ${\displaystyle A^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }.}$

Defensa. En analogía con el grupo de clases ideal , los elementos de in se denominan ideles principales de El grupo cociente se llama grupo de clases idele de Este grupo está relacionado con el grupo de clases ideal y es un objeto central en la teoría de campos de clases. ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}.}$ ${\displaystyle C_{K}:=I_{K}/K^{\times }}$ ${\displaystyle K.}$

Observación. está cerrado, por lo tanto, es un grupo topológico localmente compacto y un espacio de Hausdorff. ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K},}$ ${\displaystyle C_{K}}$

Lema. ^[18] Sea una extensión finita. La incrustación induce un mapa inyectivo: ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle I_{K}\to I_{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}C_{K}\to C_{L}\\\alpha K^{\times }\mapsto \alpha L^{\times }\end{cases}}}$

Propiedades del grupo idele

Valor absoluto en el grupo idele de K y 1-idele

Definición. Para definir: dado que es un idle, este producto es finito y, por tanto, está bien definido. ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in I_{K}}$ ${\displaystyle \textstyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.}$ ${\displaystyle \alpha }$

Observación. La definición se puede ampliar permitiendo infinitos productos. Sin embargo, estos productos infinitos desaparecen, por lo que desaparece en se utilizará para denotar tanto la función on como ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}.}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Teorema. es un homomorfismo de grupo continuo. ${\displaystyle |\cdot |:I_{K}\to \mathbb {R} _{+}}$

Prueba. Dejar ${\displaystyle \alpha ,\beta \in I_{K}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _{v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\beta _{v}|_{v})\\&=\left(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}\right)\cdot \left(\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}\right)\\&=|\alpha |\cdot |\beta |\end{aligned}}}$

donde se utiliza que todos los productos son finitos. El mapa es continuo, lo que se puede ver utilizando un argumento que trata sobre secuencias. Esto reduce el problema a si es continuo o no. Sin embargo, esto está claro debido a la desigualdad del triángulo inverso. ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle K_{v}.}$

Definición. El conjunto de -idele se puede definir como: ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle I_{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).}$

${\displaystyle I_{K}^{1}}$es un subgrupo de Dado que es un subconjunto cerrado de Finalmente, la topología de on es igual a la topología del subconjunto de on ^{[19] [20]} ${\displaystyle I_{K}.}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}),}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

Fórmula del producto de Artin. para todos ${\displaystyle |k|=1}$ ${\displaystyle k\in K^{\times }.}$

Prueba. ^[21] Prueba de la fórmula para campos numéricos, el caso de campos de funciones globales se puede probar de manera similar. Sea un campo numérico y se debe demostrar que: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a\in K^{\times }.}$

${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1.}$

Para un lugar finito para el cual el ideal primo correspondiente no divide y , por lo tanto, esto es válido para casi todos, existe: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle v(a)=0}$ ${\displaystyle |a|_{v}=1.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|a|_{v}\\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\&=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p}\end{aligned}}}$

Al pasar de la línea 1 a la línea 2, se usó la identidad donde es un lugar de y es un lugar donde yacer arriba. Al pasar de la línea 2 a la línea 3, se usa una propiedad de la norma. La norma es así, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que Then posee una factorización entera única : ${\displaystyle |a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v},}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},}$

donde es para casi todos Según el teorema de Ostrowski, todos los valores absolutos de son equivalentes al valor absoluto real o un valor absoluto -ádico. Por lo tanto: ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|a|&=\left(\prod _{p<\infty }|a|_{p}\right)\cdot |a|_{\infty }\\&=\left(\prod _{p<\infty }p^{-v_{p}}\right)\cdot \left(\prod _{p<\infty }p^{v_{p}}\right)\\&=1\end{aligned}}}$

Lema. ^[22] Existe una constante que depende sólo de tal que para cada satisfacción existe tal que para todos ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C,}$ ${\displaystyle \beta \in K^{\times }}$ ${\displaystyle |\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}}$ ${\displaystyle v.}$

Corolario. Sea un lugar de y sea dado para todos con la propiedad para casi todos Entonces existe para que para todos ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \delta _{v}>0}$ ${\displaystyle v\neq v_{0}}$ ${\displaystyle \delta _{v}=1}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$ ${\displaystyle |\beta |\leq \delta _{v}}$ ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

Prueba. Sea la constante del lema. Sea un elemento uniformizador de Definir el adele vía con mínimo, de modo que para todos Entonces para casi todos Definir con para que Esto funcione, porque para casi todos Por el Lema existe de modo que para todos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi _{v}}$ ${\displaystyle O_{v}.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}}$ ${\displaystyle \alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}}$ ${\displaystyle k_{v}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$ ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$ ${\displaystyle k_{v}=0}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}}$ ${\displaystyle k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$ ${\displaystyle k_{v}=0}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$ ${\displaystyle |\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$ ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

Teorema. es discreto y cocompacto en ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

Prueba. ^[23] Dado que es discreto en también lo es en Para demostrar la compacidad de let es la constante del Lema y supongamos que se da satisfacción . Definir: ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C}$

${\displaystyle W_{\alpha }:=\left\{\xi =(\xi _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}||\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}{\text{ for all }}v\right\}.}$

Claramente es compacto. Se puede afirmar que la proyección natural es sobreyectiva. Seamos arbitrarios, entonces: ${\displaystyle W_{\alpha }}$ ${\displaystyle W_{\alpha }\cap I_{K}^{1}\to I_{K}^{1}/K^{\times }}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{v})_{v}\in I_{K}^{1}}$

${\displaystyle |\beta |=\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.}$

Resulta que

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$

Según el Lema existe tal que para todos y por lo tanto prueba la sobreyectividad de la proyección natural. Como también es continuo, se sigue la compacidad. ${\displaystyle \eta \in K^{\times }}$ ${\displaystyle |\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \eta \beta \in W_{\alpha }}$

Teorema. ^[24] Existe un isomorfismo canónico Además, es un conjunto de representantes de y es un conjunto de representantes de ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}\subset I_{\mathbb {Q} }^{1}}$ ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )\subset I_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }.}$

Prueba. Considere el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\\(a_{p})_{p}\mapsto ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }\end{cases}}}$

Este mapa está bien definido, ya que para todos y por lo tanto obviamente es un homomorfismo de grupo continuo. Ahora supongamos que existe algo tal que al considerar el lugar infinito se puede ver que prueba la inyectividad. Para mostrar la sobreyectividad, dejemos que el valor absoluto de este elemento sea y por lo tanto ${\displaystyle |a_{p}|_{p}=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \textstyle \left(\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p}\right)\cdot 1=1.}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }.}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb {Q} .}$

Por lo tanto y hay: ${\displaystyle \beta _{\infty }\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=\left(\left({\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right)_{p},1\right)\mathbb {Q} ^{\times }.}$

Desde

${\displaystyle \forall p:\qquad \left|{\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right|_{p}=1,}$

Se ha concluido que es sobreyectivo. ${\displaystyle \phi }$

Teorema. ^[24] La función de valor absoluto induce los siguientes isomorfismos de grupos topológicos:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}}$

Prueba. Los isomorfismos vienen dados por:

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :I_{\mathbb {Q} }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\a=(a_{\text{fin}},a_{\infty })\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {a_{\infty }}{|a|}},|a|\right)\end{cases}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{cases}{\widetilde {\psi }}:I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\\(a_{\text{fin}},\varepsilon )\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {\varepsilon }{|a_{\text{fin}}|}}\right)\end{cases}}}$

Relación entre grupo de clase ideal y grupo de clase ideal

Teorema. Sea un campo numérico con anillo de números enteros, grupo de ideales fraccionarios y grupo de clases ideales. Aquí están los siguientes isomorfismos ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle J_{K},}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}=J_{K}/K^{\times }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{K}&\cong I_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }K^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K}/\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }\end{aligned}}}$

donde se ha definido. ${\displaystyle C_{K,{\text{fin}}}:=I_{K,{\text{fin}}}/K^{\times }}$

Prueba. Sea un lugar finito de y sea un representante de la clase de equivalencia Definir ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{v}}$ ${\displaystyle v.}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in O:|x|_{v}<1\}.}$

Entonces hay un ideal primo en La aplicación es una biyección entre lugares finitos de e ideales primos distintos de cero de La inversa se da de la siguiente manera: un ideal primo se asigna a la valoración dada por ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle v\mapsto {\mathfrak {p}}_{v}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathfrak {p}}(x)&:=\max\{k\in \mathbb {N} _{0}:x\in {\mathfrak {p}}^{k}\}\quad \forall x\in O^{\times }\\v_{\mathfrak {p}}\left({\frac {x}{y}}\right)&:=v_{\mathfrak {p}}(x)-v_{\mathfrak {p}}(y)\quad \forall x,y\in O^{\times }\end{aligned}}}$

El siguiente mapa está bien definido:

${\displaystyle {\begin{cases}(\cdot ):I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}\\\alpha =(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})},\end{cases}}}$

El mapa es obviamente un homomorfismo sobreyectivo y el primer isomorfismo se deriva del teorema fundamental del homomorfismo . Ahora, ambos lados están divididos por Esto es posible, porque ${\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaystyle \ker((\cdot ))={\widehat {O}}^{\times }.}$ ${\displaystyle K^{\times }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha )&=((\alpha ,\alpha ,\dotsc ))\\&=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha )}\\&=(\alpha )&&{\text{ for all }}\alpha \in K^{\times }.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta el abuso de notación: en el lado izquierdo de la línea 1 de esta cadena de ecuaciones, se encuentra el mapa definido anteriormente. Posteriormente se utiliza la incrustación de into . En la línea 2 se utiliza la definición del mapa. Finalmente, use que es un dominio de Dedekind y por lo tanto cada ideal puede escribirse como un producto de ideales primos. En otras palabras, el mapa es un homomorfismo de grupo equivalente. Como consecuencia, el mapa anterior induce un homomorfismo sobreyectivo ${\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaystyle K^{\times }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :C_{K,{\text{fin}}}\to \operatorname {Cl} _{K}\\\alpha K^{\times }\mapsto (\alpha )K^{\times }\end{cases}}}$

Para demostrar el segundo isomorfismo hay que demostrar que Considere Entonces porque para todo Por otro lado, considere con el cual permite escribir Como consecuencia, existe un representante tal que: En consecuencia, y por lo tanto El segundo isomorfismo del teorema se ha demostrado. ${\displaystyle \ker(\phi )={\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$ ${\displaystyle \xi =(\xi _{v})_{v}\in {\widehat {O}}^{\times }.}$ ${\displaystyle \textstyle \phi (\xi K^{\times })=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=K^{\times },}$ ${\displaystyle v(\xi _{v})=0}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \xi K^{\times }\in C_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle \phi (\xi K^{\times })=OK^{\times },}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=OK^{\times }.}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi '_{v})}=O.}$ ${\displaystyle \xi '\in {\widehat {O}}^{\times }}$ ${\displaystyle \xi K^{\times }=\xi 'K^{\times }\in {\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$

Para el último isomorfismo, tenga en cuenta que induce un homomorfismo de grupo sobreyectivo con ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:C_{K}\to \operatorname {Cl} _{K}}$

${\displaystyle \ker({\widetilde {\phi }})=\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

Observación. Considere la topología idele y equípela con la topología discreta. Dado que está abierto para cada uno, es continuo. Se encuentra, que está abierto, donde para que ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle J_{K},}$ ${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in J_{K},(\cdot )}$ ${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}=\alpha {\widehat {O}}^{\times }}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

Descomposición del grupo idele y del grupo de clases idele de K

Teorema.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&\cong I_{K}^{1}\times M:\quad {\begin{cases}M\subset I_{K}{\text{ discrete and }}M\cong \mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\M\subset I_{K}{\text{ closed and }}M\cong \mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\\C_{K}&\cong I_{K}^{1}/K^{\times }\times N:\quad {\begin{cases}N=\mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\N=\mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\end{aligned}}}$

Prueba. Para cada lugar de de modo que para todos pertenece al subgrupo de generado por Por lo tanto, para cada uno está en el subgrupo de generado por Por lo tanto, la imagen del homomorfismo es un subgrupo discreto de generado por Dado que este grupo no es trivial, se genera por para algunos Elija de manera que entonces sea el producto directo de y el subgrupo generado por Este subgrupo es discreto e isomorfo a ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=p>0.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K,\operatorname {char} (K_{v})=p,}$ ${\displaystyle x\in K_{v}^{\times },}$ ${\displaystyle |x|_{v}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle z\in I_{K},}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle z\mapsto |z|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle Q=p^{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle z_{1}\in I_{K},}$ ${\displaystyle |z_{1}|=Q,}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}}$ ${\displaystyle z_{1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \operatorname {char} (K)=0.}$Para definir: ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle z(\lambda )=(z_{v})_{v},\quad z_{v}={\begin{cases}1&v\notin P_{\infty }\\\lambda &v\in P_{\infty }\end{cases}}}$

El mapa es un isomorfismo de en un subgrupo cerrado de y El isomorfismo viene dado por la multiplicación: ${\displaystyle \lambda \mapsto z(\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}\cong M\times I_{K}^{1}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :M\times I_{K}^{1}\to I_{K},\\((\alpha _{v})_{v},(\beta _{v})_{v})\mapsto (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}\end{cases}}}$

Obviamente, es un homomorfismo. Para demostrar que es inyectivo, digamos que porque significa que por Más, existe a de modo que por Por lo tanto, por Más implica dónde está el número de lugares infinitos de Como consecuencia y por lo tanto es inyectivo. Para mostrar sobreyectividad, dejemos que se defina que y además, por y para definamos , que por lo tanto, es sobreyectivo. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}=1.}$ ${\displaystyle \alpha _{v}=1}$ ${\displaystyle v<\infty ,}$ ${\displaystyle \beta _{v}=1}$ ${\displaystyle v<\infty .}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$ ${\displaystyle v|\infty .}$ ${\displaystyle \beta _{v}=\lambda ^{-1}}$ ${\displaystyle v|\infty .}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}=1,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{v})_{v}\in I_{K}.}$ ${\displaystyle \lambda :=|\gamma |^{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \alpha _{v}=1}$ ${\displaystyle v<\infty }$ ${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$ ${\displaystyle v|\infty .}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\alpha }}.}$ ${\displaystyle \textstyle |\beta |={\frac {|\gamma |}{|\alpha |}}={\frac {\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}}}=1.}$ ${\displaystyle \phi }$

Las otras ecuaciones siguen de manera similar.

Caracterización del grupo idele.

Teorema. ^[25] Sea un campo numérico. Existe un conjunto finito de lugares tales que: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S,}$

${\displaystyle I_{K}=\left(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }=\left(\prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

Prueba. El número de clase de un campo numérico es finito, así que sean los ideales, que representan las clases en Estos ideales se generan por un número finito de ideales primos. Sea un conjunto finito de lugares que contiene y los lugares finitos correspondientes a Considere el isomorfismo: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {a}}_{h}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$

${\displaystyle I_{K}/\left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)\cong J_{K},}$

Inducido por

${\displaystyle (\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

En infinitos lugares el enunciado es inmediato, por lo que ha sido demostrado para lugares finitos. La inclusión ″ ″ es obvia. Sea El ideal correspondiente pertenece a una clase significado para un ideal principal El idele se asigna al ideal bajo el mapa Eso significa Dado que los ideales primos en están en se sigue para todos eso significa para todos Se sigue, que por lo tanto ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \alpha \in I_{K,{\text{fin}}}.}$ ${\displaystyle \textstyle (\alpha )=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}K^{\times },}$ ${\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {a}}_{i}(a)}$ ${\displaystyle (a).}$ ${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}.}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}_{i}=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha '_{v})}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle v(\alpha '_{v})=0}$ ${\displaystyle v\notin S,}$ ${\displaystyle \alpha '_{v}\in O_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v\notin S.}$ ${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}\in I_{K,S},}$ ${\displaystyle \alpha \in I_{K,S}K^{\times }.}$

Aplicaciones

Finitud del número de clase de un campo numérico

En la sección anterior se había utilizado el hecho de que el número de clase de un campo numérico es finito. Aquí se puede probar esta afirmación:

Teorema (finitud del número de clase de un campo numérico). Sea un campo numérico. Entonces ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\operatorname {Cl} _{K}|<\infty .}$

Prueba. El mapa

${\displaystyle {\begin{cases}I_{K}^{1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty }\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}}$

es sobreyectivo y por tanto es la imagen continua del conjunto compacto. Por tanto, es compacto. Además, es discreto y finito. ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$

Observación. Existe un resultado similar para el caso de un campo de función global. En este caso se define el llamado grupo divisor. Se puede demostrar que el cociente del conjunto de todos los divisores de grado por el conjunto de los divisores principales es un grupo finito. ^[26] ${\displaystyle 0}$

Grupo de unidades y teorema unitario de Dirichlet

Sea un conjunto finito de lugares. Definir ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=(\mathbb {A} _{K}(P))^{\times }\\E(P)&:=K^{\times }\cap \Omega (P)\end{aligned}}}$

Entonces es un subgrupo de que contiene todos los elementos que satisfacen para todos. Dado que es discreto en es un subgrupo discreto de y con el mismo argumento, es discreto en ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle K^{\times },}$ ${\displaystyle \xi \in K^{\times }}$ ${\displaystyle v(\xi )=0}$ ${\displaystyle v\notin P.}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K},}$ ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle \Omega (P)}$ ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle \Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.}$

Una definición alternativa es: ¿dónde hay un subanillo de definido por ${\displaystyle E(P)=K(P)^{\times },}$ ${\displaystyle K(P)}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).}$

Como consecuencia, contiene todos los elementos que cumplen para todos. ${\displaystyle K(P)}$ ${\displaystyle \xi \in K,}$ ${\displaystyle v(\xi )\geq 0}$ ${\displaystyle v\notin P.}$

Lema 1. Sea El siguiente conjunto es finito: ${\displaystyle 0<c\leq C<\infty .}$

${\displaystyle \left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

Prueba. Definir

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

${\displaystyle W}$es compacto y el conjunto descrito anteriormente es la intersección de con el subgrupo discreto en y por lo tanto finito. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}}$

Lema 2. Sea un conjunto de todos tal que para todos Entonces el grupo de todas las raíces de la unidad de En particular es finito y cíclico. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi \in K}$ ${\displaystyle |\xi |_{v}=1}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle E=\mu (K),}$ ${\displaystyle K.}$

Prueba. Todas las raíces de la unidad de tienen valor absoluto , por lo que , a la inversa, tenga en cuenta que el Lema 1 con y cualquier implica es finito. Además, para cada conjunto finito de lugares, finalmente supongamos que existe una raíz que no es de unidad de Entonces, para todos, contradice la finitud de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mu (K)\subset E.}$ ${\displaystyle c=C=1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\subset E(P)}$ ${\displaystyle P\supset P_{\infty }.}$ ${\displaystyle \xi \in E,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \xi ^{n}\neq 1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle E.}$

Teorema de la unidad. es el producto directo de y un grupo isomorfo a donde si y si ^[27] ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{s},}$ ${\displaystyle s=0,}$ ${\displaystyle P=\emptyset }$ ${\displaystyle s=|P|-1,}$ ${\displaystyle P\neq \emptyset .}$

Teorema unitario de Dirichlet. Sea un campo numérico. Entonces, ¿dónde está el grupo cíclico finito de todas las raíces de la unidad de, es el número de incrustaciones reales de y es el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de ? ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}$ ${\displaystyle \mu (K)}$ ${\displaystyle K,r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r+2s.}$

Observación. El teorema unitario generaliza el teorema unitario de Dirichlet. Para ver esto, sea un campo numérico. Ya se sabe que conjunto y nota. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E=\mu (K),}$ ${\displaystyle P=P_{\infty }}$ ${\displaystyle |P_{\infty }|=r+s.}$

Entonces hay:

${\displaystyle {\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times }\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times }\cap \left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }\end{aligned}}}$

Teoremas de aproximación

Teorema de aproximación débil. ^[28] Sean valoraciones no equivalentes de Sea la terminación de con respecto a Incrustar diagonalmente en Entonces es denso en todas partes en En otras palabras, para cada y para cada existe tal que: ${\displaystyle |\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N},}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{n}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\in K_{1}\times \cdots \times K_{N},}$ ${\displaystyle \xi \in K,}$

${\displaystyle \forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .}$

Teorema de aproximación fuerte. ^[29] Sea un lugar de Definir ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle K.}$

${\displaystyle V:={\prod _{v\neq v_{0}}}^{'}K_{v}.}$

Entonces es denso en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V.}$

Observación. El campo global es discreto en su anillo de Adele. El teorema de aproximación fuerte nos dice que, si se omite un lugar (o más), la propiedad de discreción de se convierte en una densidad de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$

principio de hasse

Teorema de Hasse-Minkowski. Una forma cuadráticaes cero, si y sólo si, la forma cuadrática es cero en cada finalización ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{v}.}$

Observación. Este es el principio de Hasse para formas cuadráticas. Para polinomios de grado mayor que 2, el principio de Hasse no es válido en general. La idea del principio de Hasse (también conocido como principio local-global) es resolver un problema dado de un campo numérico haciéndolo en sus terminaciones y luego concluyendo en una solución en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle K.}$

Personajes en el anillo de Adele.

Definición. Sea un grupo abeliano localmente compacto. El grupo de caracteres de es el conjunto de todos los caracteres de y se denota por Equivalentemente es el conjunto de todos los homomorfismos de grupos continuos desde a Equipado con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos de Se puede demostrar que también es un grupo abeliano localmente compacto. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Teorema. El anillo Adele es autodual : ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.}$

Prueba. Por reducción a coordenadas locales, basta con demostrar que cada uno es autodual. Esto se puede hacer usando un carácter fijo de La idea se ha ilustrado mostrando que es autodual. Definir: ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{cases}e_{\infty }:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\e_{\infty }(t):=\exp(2\pi it)\end{cases}}}$

Entonces el siguiente mapa es un isomorfismo que respeta las topologías:

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {R} \to {\widehat {\mathbb {R} }}\\s\mapsto {\begin{cases}\phi _{s}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\\phi _{s}(t):=e_{\infty }(ts)\end{cases}}\end{cases}}}$

Teorema (duales algebraicos y continuos del anillo de Adele). ^[30] Sea un carácter no trivial del cual es trivial en Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre Sea y los duales algebraicos de y Denote el dual topológico de by y use y para indicar los pares bilineales naturales en y Entonces la fórmula para todos determina un isomorfismo de sobre dónde y Además, si se cumple para todos entonces ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E^{\star }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}'}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$ ${\displaystyle \langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])}$ ${\displaystyle e\in \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle e^{\star }\mapsto e'}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}',}$ ${\displaystyle e'\in \mathbb {A} _{E}'}$ ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$ ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ ${\displaystyle \chi ([e,e^{\star }])=1}$ ${\displaystyle e\in E,}$ ${\displaystyle e^{\star }\in E^{\star }.}$

La tesis de Tate.

Con la ayuda de los personajes de Fourier se puede realizar un análisis del anillo de Adele. ^[31] John Tate en su tesis "Análisis de Fourier en campos numéricos y funciones Zeta de Hecke" ^[6] demostró resultados sobre las funciones L de Dirichlet utilizando el análisis de Fourier en el anillo de Adele y el grupo idele. Por lo tanto, el anillo de Adele y el grupo idele se han aplicado para estudiar la función zeta de Riemann y las funciones zeta más generales y las funciones L. Las formas adélicas de estas funciones se pueden definir y representar como integrales sobre el anillo adele o el grupo idele, con respecto a las medidas de Haar correspondientes. Se pueden mostrar ecuaciones funcionales y continuaciones meromórficas de estas funciones. Por ejemplo, para todos con ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Re (s)>1,}$

${\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),}$

¿Dónde está la única medida de Haar normalizada que tiene volumen uno y se extiende en cero hasta el anillo finito de Adele? Como resultado, la función zeta de Riemann se puede escribir como una integral sobre (un subconjunto de) el anillo de Adele. ^[32] ${\displaystyle d^{\times }x}$ ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$

Formas automorfas

La teoría de las formas automórficas es una generalización de la tesis de Tate al reemplazar el grupo idele con grupos análogos de dimensiones superiores. Para ver esta nota:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&=(\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|x|=1\}\\\mathbb {Q} ^{\times }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Con base en esta identificación, una generalización natural sería reemplazar el grupo idele y el 1-idele con:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|\det(x)|=1\}\\\mathbb {Q} &\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Y finalmente

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }^{1}\cong \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\backslash (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}\cong (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }),}$

donde está el centro de Entonces define una forma automórfica como un elemento de En otras palabras, una forma automórfica es una función que satisface ciertas condiciones algebraicas y analíticas. Para estudiar formas automorfas, es importante conocer las representaciones del grupo. También es posible estudiar funciones L automorfas, que pueden describirse como integrales en ^[33] ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle L^{2}((\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })).}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$

Generalizar aún más es posible reemplazando con un campo numérico y con un grupo algebraico reductivo arbitrario. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2)}$

Otras aplicaciones

Una generalización de la ley de reciprocidad de Artin conduce a la conexión de las representaciones de y de las representaciones de Galois ( programa Langlands ). ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{K})}$ ${\displaystyle K}$

El grupo de clases ideal es un objeto clave de la teoría de campos de clases , que describe extensiones abelianas del campo. El producto de los mapas de reciprocidad local en la teoría de campos de clases locales da un homomorfismo del grupo idele al grupo de Galois de la extensión abeliana máxima del campo global. La ley de reciprocidad de Artin , que es una amplia generalización de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss, establece que el producto desaparece en el grupo multiplicativo del campo numérico. Así, se obtendrá el mapa de reciprocidad global del grupo de clases idele con la parte abeliana del grupo absoluto de Galois del campo.

La autodualidad del anillo de Adele del campo funcional de una curva sobre un campo finito implica fácilmente el teorema de Riemann-Roch y la teoría de la dualidad de la curva.

Referencias

1. Groechenig, Michael (agosto de 2017). "Teoría del descenso de Adelic". Composición Matemática . 153 (8): 1706-1746. arXiv : 1511.06271 . doi :10.1112/S0010437X17007217. ISSN  0010-437X. S2CID  54016389.
2. Sutherland, Andrew (1 de diciembre de 2015). 18.785 Teoría de números I Conferencia n.º 22 (PDF) . MIT . pag. 4.
3. "anillo de adeles en nLab". ncatlab.org .
4. Teoría de campos de clases geométricas, notas de Tony Feng de una conferencia de Bhargav Bhatt (PDF).
5. Teorema de uniformización de Weil, artículo de nlab.
6. Cassels y Fröhlich 1967.
7. Tate, John (1968), "Residuos de diferenciales en curvas" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 149–159, doi :10.24033/asens.1162.
8. Esta prueba se puede encontrar en Cassels & Fröhlich 1967, p. 64.
9. Las definiciones se basan en Weil 1967, p. 60.
10. Véase Weil 1967, pág. 64 o Cassels y Fröhlich 1967, p. 74.
11. Como prueba, consulte Deitmar 2010, p. 124, teorema 5.2.1.
12. Véase Cassels y Fröhlich 1967, p. 64, Teorema o Weil 1967, p. 64, Teorema 2.
13. La siguiente declaración se puede encontrar en Neukirch 2007, p. 383.
14. Véase Deitmar 2010, p. 126, Teorema 5.2.2 para el caso racional.
15. Esta sección está basada en Weil 1967, p. 71.
16. Una prueba de esta afirmación se puede encontrar en Weil 1967, p. 71.
17. Una prueba de esta afirmación se puede encontrar en Weil 1967, p. 72.
18. Para una prueba, consulte Neukirch 2007, p. 388.
19. Esta afirmación se puede encontrar en Cassels & Fröhlich 1967, p. 69.
20. también se usa para el conjunto de -idele pero se usa en este ejemplo. ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}}$
21. Hay muchas pruebas de este resultado. El que se muestra a continuación está basado en Neukirch 2007, p. 195.
22. Para una prueba, ver Cassels & Fröhlich 1967, p. 66.
23. Esta prueba se puede encontrar en Weil 1967, p. 76 o en Cassels y Fröhlich 1967, p. 70.
24. Parte del teorema 5.3.3 en Deitmar 2010.
25. La prueba general de este teorema para cualquier campo global se da en Weil 1967, p. 77.
26. Para obtener más información, consulte Cassels y Fröhlich 1967, p. 71.
27. Se puede encontrar una prueba en Weil 1967, p. 78 o en Cassels y Fröhlich 1967, p. 72.
28. Se puede encontrar una prueba en Cassels & Fröhlich 1967, p. 48.
29. Se puede encontrar una prueba en Cassels & Fröhlich 1967, p. 67
30. Se puede encontrar una prueba en Weil 1967, p. 66.
31. Para obtener más información, consulte Deitmar 2010, p. 129.
32. Se puede encontrar una prueba Deitmar 2010, p. 128, Teorema 5.3.4. Véase también pág. 139 para más información sobre la tesis de Tate.
33. Para obtener más información, consulte los capítulos 7 y 8 de Deitmar 2010.

Fuentes

• Cassels, Juan ; Fröhlich, Albrecht (1967). Teoría algebraica de números: actas de una conferencia instructiva, organizada por la Sociedad Matemática de Londres (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) . vol. XVIII. Londres: Academic Press. ISBN 978-0-12-163251-9.366 páginas.
• Neukirch, Jürgen (2007). Algebraische Zahlentheorie, unveränd. nachdruck der 1. aufl. edn (en alemán). vol. XIII. Berlín: Springer. ISBN 9783540375470.595 páginas.
• Weil, André (1967). Teoría básica de números . vol. XVIII. Berlina; Heidelberg; Nueva York: Springer. ISBN 978-3-662-00048-9.294 páginas.
• Deitmar, Antón (2010). Automorphe Formen (en alemán). vol. VIII. Berlina; Heidelberg (ua): Springer. ISBN 978-3-642-12389-4.250 páginas.
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números, Textos de Posgrado en Matemáticas 110 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4.

enlaces externos

• ¿Qué problema resuelven las adeles?
• Algunos buenos libros sobre adeles.