El teorema de Hasse-Minkowski es un resultado fundamental en la teoría de números que establece que dos formas cuadráticas sobre un campo numérico son equivalentes si y sólo si son equivalentes localmente en todos los lugares , es decir, equivalentes en cada terminación topológica del campo (que puede ser real ). , complejo o p-ádico ). Un resultado relacionado es que un espacio cuadrático sobre un campo numérico es isotrópico si y sólo si es isotrópico localmente en todas partes, o de manera equivalente, que una forma cuadrática sobre un campo numérico representa de manera no trivial cero si y sólo si esto se cumple para todas las terminaciones del campo. . El teorema fue demostrado en el caso del campo de números racionales por Hermann Minkowski y generalizado a campos numéricos por Helmut Hasse . La misma afirmación se aplica de manera aún más general a todos los campos globales .
La importancia del teorema de Hasse-Minkowski radica en el novedoso paradigma que presentó para responder preguntas aritméticas: para determinar si una ecuación de cierto tipo tiene solución en números racionales, basta con probar si tiene soluciones en cuerpos completos. de números reales y p -ádicos, donde se pueden aplicar técnicas analíticas como el método de Newton y su análogo p -ádico el lema de Hensel . Este es el primer ejemplo significativo de un principio local-global , una de las técnicas más fundamentales en geometría aritmética .
El teorema de Hasse-Minkowski reduce el problema de clasificar formas cuadráticas sobre un campo numérico K hasta la equivalencia al conjunto de preguntas análogas pero mucho más simples sobre campos locales . Los invariantes básicos de una forma cuadrática no singular son su dimensión , que es un entero positivo, y su módulo discriminante los cuadrados en K , que es un elemento del grupo multiplicativo K * / K *2 . Además, para cada lugar v de K , existe una invariante proveniente de la terminación K v . Dependiendo de la elección de v , esta terminación puede ser los números reales R , los números complejos C o un campo numérico p-ádico , cada uno de los cuales tiene diferentes tipos de invariantes:
Estos invariantes deben satisfacer algunas condiciones de compatibilidad: una relación de paridad (el signo del discriminante debe coincidir con el índice de inercia negativo) y una fórmula de producto (una relación local-global). A la inversa, para cada conjunto de invariantes que satisfacen estas relaciones, existe una forma cuadrática sobre K con estas invariantes.