La geometría simpléctica es una rama de la geometría diferencial y la topología diferencial que estudia variedades simplécticas ; es decir, variedades diferenciables equipadas con una forma 2 cerrada y no degenerada . La geometría simpléctica tiene su origen en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, donde el espacio de fases de ciertos sistemas clásicos adopta la estructura de una variedad simpléctica. [1]
El término "simpléctico", introducido por Hermann Weyl , [2] es un calco de "complejo"; Anteriormente, el "grupo simpléctico" se había llamado "grupo de líneas complejas". "Complejo" proviene del latín com-plexus , que significa "trenzado" (co- + plexo), mientras que simpléctico proviene del correspondiente griego sym-plektikos (συμπλεκτικός); en ambos casos la raíz proviene de la raíz indoeuropea *pleḱ- El nombre refleja las profundas conexiones entre estructuras complejas y simplécticas.
Según el teorema de Darboux , las variedades simplécticas son isomórficas localmente al espacio vectorial simpléctico estándar , por lo que solo tienen invariantes globales (topológicos). La "topología simpléctica", que estudia las propiedades globales de las variedades simplécticas, se utiliza a menudo indistintamente con "geometría simpléctica".
El nombre "grupo complejo", anteriormente defendido por mí en alusión a los complejos lineales, tal como se definen por la desaparición de las formas bilineales antisimétricas, se ha vuelto cada vez más embarazoso debido a la colisión con la palabra "complejo" en la connotación de número complejo. Por tanto, propongo sustituirlo por el correspondiente adjetivo griego "simpléctico". Dickson llamó al grupo "grupo lineal abeliano" en homenaje a Abel, quien lo estudió por primera vez.
Weyl (1939, pág.165)
Una geometría simpléctica se define en un espacio suave de dimensión par que es una variedad diferenciable . En este espacio se define un objeto geométrico, la forma bidimensional simpléctica , que permite medir tamaños de objetos bidimensionales en el espacio . La forma simpléctica en la geometría simpléctica juega un papel análogo al del tensor métrico en la geometría de Riemann . Mientras que el tensor métrico mide longitudes y ángulos, la forma simpléctica mide áreas orientadas. [3]
La geometría simpléctica surgió del estudio de la mecánica clásica y un ejemplo de estructura simpléctica es el movimiento de un objeto en una dimensión. Para especificar la trayectoria del objeto, se requiere tanto la posición q como el momento p , que forman un punto ( p , q ) en el plano euclidiano . En este caso, la forma simpléctica es
y es una forma de área que mide el área A de una región S en el plano mediante integración :
El área es importante porque a medida que los sistemas dinámicos conservadores evolucionan en el tiempo, esta área es invariante. [3]
Las geometrías simplécticas de dimensiones superiores se definen de manera análoga. Una geometría simpléctica de 2 n dimensiones está formada por pares de direcciones
en una variedad de 2 n dimensiones junto con una forma simpléctica
Esta forma simpléctica produce el tamaño de una región V de 2 n dimensiones en el espacio como la suma de las áreas de las proyecciones de V sobre cada uno de los planos formados por los pares de direcciones [3]
La geometría simpléctica tiene una serie de similitudes y diferencias con la geometría de Riemann , que es el estudio de variedades diferenciables equipadas con 2 tensores simétricos y no degenerados (llamados tensores métricos ). A diferencia del caso de Riemann, las variedades simplécticas no tienen invariantes locales como la curvatura . Esto es una consecuencia del teorema de Darboux que establece que una vecindad de cualquier punto de una variedad simpléctica de 2 n dimensiones es isomorfa a la estructura simpléctica estándar en un conjunto abierto de . Otra diferencia con la geometría de Riemann es que no toda variedad diferenciable necesita admitir una forma simpléctica; existen ciertas restricciones topológicas. Por ejemplo, toda variedad simpléctica es de dimensión par y orientable . Además, si M es una variedad simpléctica cerrada, entonces el segundo grupo de cohomología de De Rham H 2 ( M ) no es trivial; esto implica, por ejemplo, que la única n -esfera que admite una forma simpléctica es la 2-esfera . Un paralelo que se puede establecer entre los dos temas es la analogía entre las geodésicas en la geometría de Riemann y las curvas pseudoholomórficas en la geometría simpléctica: las geodésicas son curvas de longitud más corta (localmente), mientras que las curvas pseudoholomórficas son superficies de área mínima. Ambos conceptos juegan un papel fundamental en sus respectivas disciplinas.
Toda variedad de Kähler es también una variedad simpléctica. Hasta bien entrada la década de 1970, los expertos simplécticos no estaban seguros de si existían variedades simplécticas compactas que no fueran de Kähler, pero desde entonces se han construido muchos ejemplos (el primero se debió a William Thurston ); en particular, Robert Gompf ha demostrado que todo grupo presentado finitamente ocurre como el grupo fundamental de alguna variedad 4 simpléctica, en marcado contraste con el caso de Kähler.
Se puede decir que la mayoría de las variedades simplécticas no son Kähler; y por tanto no tienen una estructura compleja integrable compatible con la forma simpléctica. Mikhail Gromov , sin embargo, hizo la importante observación de que las variedades simplécticas admiten una abundancia de estructuras casi complejas compatibles , de modo que satisfacen todos los axiomas de una variedad de Kähler excepto el requisito de que los mapas de transición sean holomórficos .
Gromov utilizó la existencia de estructuras casi complejas en variedades simplécticas para desarrollar una teoría de curvas pseudoholomorfas , [4] que ha llevado a una serie de avances en topología simpléctica, incluida una clase de invariantes simplécticas ahora conocidas como invariantes de Gromov-Witten . Posteriormente, utilizando la técnica de la curva pseudoholomórfica, Andreas Floer inventó otra herramienta importante en geometría simpléctica conocida como homología de Floer . [5]
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