En matemáticas , la noción de forma real relaciona objetos definidos sobre el campo de los números reales y complejos . Un álgebra de Lie real g 0 se llama forma real de un álgebra de Lie g complejo si g es la complejización de g 0 :
La noción de forma real también se puede definir para grupos de Lie complejos . Élie Cartan ha clasificado completamente las formas reales de grupos de Lie complejos semisimples y álgebras de Lie .
Utilizando la correspondencia de Lie entre grupos de Lie y álgebras de Lie , se puede definir la noción de forma real para los grupos de Lie. En el caso de grupos algebraicos lineales , las nociones de complejización y forma real tienen una descripción natural en el lenguaje de la geometría algebraica .
Así como las álgebras de Lie semisimples complejas se clasifican mediante diagramas de Dynkin , las formas reales de un álgebra de Lie semisimple se clasifican mediante diagramas de Satake , que se obtienen a partir del diagrama de Dynkin de la forma compleja etiquetando algunos vértices como negros (rellenos) y conectando algunos otros. vértices en pares mediante flechas, según ciertas reglas.
Es un hecho básico en la teoría estructural de álgebras de Lie complejas semisimples que cada álgebra de este tipo tiene dos formas reales especiales: una es la forma real compacta y corresponde a un grupo de Lie compacto bajo la correspondencia de Lie (su diagrama de Satake tiene todos los vértices ennegrecidos). , y la otra es la forma real dividida y corresponde a un grupo de Lie que está lo más lejos posible de ser compacto (su diagrama de Satake no tiene vértices ennegrecidos ni flechas). En el caso del grupo lineal especial complejo SL ( n , C ), la forma real compacta es el grupo unitario especial SU ( n ) y la forma real dividida es el grupo lineal especial real SL ( n , R ). La clasificación de formas reales de álgebras de Lie semisimples fue realizada por Élie Cartan en el contexto de los espacios simétricos de Riemann . En general, pueden existir más de dos formas reales.
Supongamos que g 0 es un álgebra de Lie semisimple sobre el cuerpo de números reales. Según el criterio de Cartan , la forma Killing no es degenerada y puede diagonalizarse de forma adecuada con las entradas diagonales +1 o −1. Según la ley de inercia de Sylvester , el número de entradas positivas, o el índice de inercia positivo, es una invariante de la forma bilineal, es decir, no depende de la elección de la base diagonalizadora. Este es un número entre 0 y la dimensión de g , que es un invariante importante del álgebra de Lie real, llamado índice .
Se dice que una forma real g 0 de un álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita g está dividida , o normal , si en cada descomposición de Cartan g 0 = k 0 ⊕ p 0 , el espacio p 0 contiene una subálgebra abeliana máxima de g 0 , es decir, su subálgebra de Cartan . Élie Cartan demostró que todo álgebra de Lie g semisimple compleja tiene una forma real dividida, que es única hasta el isomorfismo. [1] Tiene índice máximo entre todas las formas reales.
La forma dividida corresponde al diagrama de Satake sin vértices ennegrecidos ni flechas.
Un álgebra de Lie real g 0 se llama compacta si la forma de Killing es definida negativa , es decir, el índice de g 0 es cero. En este caso g 0 = k 0 es un álgebra de Lie compacta . Se sabe que bajo la correspondencia de Lie , las álgebras compactas de Lie corresponden a grupos compactos de Lie .
La forma compacta corresponde al diagrama de Satake con todos los vértices ennegrecidos.
En general, la construcción de la forma real compacta utiliza la teoría estructural de álgebras de Lie semisimples. Para las álgebras de Lie clásicas existe una construcción más explícita.
Sea g 0 un álgebra de Lie real de matrices sobre R que está cerrada bajo el mapa de transposición,
Entonces g 0 se descompone en la suma directa de su parte simétrica sesgada k 0 y su parte simétrica p 0 . Esta es la descomposición de Cartan :
La complejización g de g 0 se descompone en la suma directa de g 0 e ig 0 . El espacio vectorial real de matrices.
es un subespacio del álgebra de Lie compleja g que está cerrado bajo los conmutadores y consta de matrices sesgadas-hermitianas . De ello se deduce que u 0 es una subálgebra de Lie real de g , que su forma Killing es definida negativa (lo que la convierte en un álgebra de Lie compacta) y que la complejización de u 0 es g . Por tanto, u 0 es una forma compacta de g .
