Matriz cuaterniónica

Concepto en álgebra lineal

Una matriz cuaterniónica es una matriz cuyos elementos son cuaterniones .

Operaciones matriciales

Los cuaterniones forman un anillo no conmutativo y, por lo tanto, la adición y la multiplicación pueden definirse para matrices cuaterniónicas como para matrices sobre cualquier anillo.

Adición . La suma de dos matrices cuaterniónicas A y B se define de la forma habitual mediante la adición elemento por elemento:

${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,}$

Multiplicación . El producto de dos matrices cuaterniónicas A y B también sigue la definición habitual de multiplicación de matrices. Para que esté definido, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Entonces, la entrada en la fila i y la columna j del producto es el producto escalar de la fila i de la primera matriz con la columna j de la segunda matriz. En concreto:

${\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{s}A_{is}B_{sj}.\,}$

Por ejemplo, para

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\u_{21}&u_{22}\\\end{pmatrix}},\quad V={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\\\end{pmatrix}},}$

El producto es

${\displaystyle UV={\begin{pmatrix}u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}&u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21}&u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\\end{pmatrix}}.}$

Dado que la multiplicación cuaterniónica no es conmutativa, se debe tener cuidado de preservar el orden de los factores al calcular el producto de matrices.

La identidad de esta multiplicación es, como se esperaba, la matriz diagonal I = diag(1, 1, ... , 1). La multiplicación sigue las leyes habituales de asociatividad y distributividad . La traza de una matriz se define como la suma de los elementos diagonales, pero en general

${\displaystyle \operatorname {trace} (AB)\neq \operatorname {trace} (BA).}$

La multiplicación escalar izquierda y la multiplicación escalar derecha se definen mediante

${\displaystyle (cA)_{ij}=cA_{ij},\qquad (Ac)_{ij}=A_{ij}c.\,}$

Nuevamente, dado que la multiplicación no es conmutativa, se debe tener cierto cuidado en el orden de los factores. ^[1]

Determinantes

No existe una forma natural de definir un determinante para matrices cuaterniónicas (cuadradas) de modo que los valores del determinante sean cuaterniones. ^[2] Sin embargo, se pueden definir determinantes de valor complejo. ^[3] El cuaternión a + bi + cj + dk se puede representar como la matriz compleja 2×2

${\displaystyle {\begin{bmatrix}~~a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}$

Esto define una función Ψ _mn de las matrices cuaterniónicas m por n a las matrices complejas 2 m por 2 n reemplazando cada entrada en la matriz cuaterniónica por su representación compleja 2 por 2. El determinante complejo de una matriz cuaterniónica cuadrada A se define entonces como det(Ψ( A )). Muchas de las leyes usuales para determinantes se cumplen; en particular, una matriz n por n es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Aplicaciones

Las matrices cuaterniónicas se utilizan en mecánica cuántica ^[4] y en el tratamiento de problemas multicuerpo . ^[5]

Referencias

1. Tapp, Kristopher (2005). Grupos matriciales para estudiantes universitarios. Librería AMS. pp. 11 y siguientes . ISBN 0-8218-3785-0.
2. Helmer Aslaksen (1996). "Determinantes cuaterniónicos". The Mathematical Intelligencer . 18 (3): 57–65. doi :10.1007/BF03024312. S2CID  13958298.
3. E. Estudio (1920). "Zur Theorie der linearen Gleichungen". Acta Mathematica (en alemán). 42 (1): 1–61. doi : 10.1007/BF02404401 .
4. N. Rösch (1983). "Simetría de inversión temporal, degeneración de Kramers y el problema algebraico de los valores propios". Química Física . 80 (1–2): 1–5. Bibcode :1983CP.....80....1R. doi :10.1016/0301-0104(83)85163-5.
5. Klaus Gürlebeck; Wolfgang Sprössig (1997). "Matrices cuaterniónicas". Cálculo cuaterniónico y de Clifford para físicos e ingenieros . Wiley. págs. 32–34. ISBN 978-0-471-96200-7.