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Conjunto Gδ

En el campo matemático de la topología , un conjunto G δ es un subconjunto de un espacio topológico que es una intersección contable de conjuntos abiertos . La notación se originó a partir de los sustantivos alemanes Gebiet ' conjunto abierto ' y Durchschnitt ' intersección ' . [1] Históricamente, los conjuntos G δ también se llamaban conjuntos límite internos , [2] pero esa terminología ya no se usa. Los conjuntos G δ y sus conjuntos duales, F 𝜎 , son el segundo nivel de la jerarquía de Borel .

Definición

En un espacio topológico, un conjunto G δ es una intersección contable de conjuntos abiertos . Los conjuntos G δ son exactamente del nivel Π0
2
conjuntos de la jerarquía de Borel .

Ejemplos

Propiedades

La noción de conjuntos G δ en espacios métricos (y topológicos ) está relacionada con la noción de completitud del espacio métrico, así como con el teorema de categorías de Baire . Véase el resultado sobre espacios completamente metrizables en la lista de propiedades a continuación. Los conjuntos y sus complementos también son importantes en el análisis real , especialmente en la teoría de la medida .

Propiedades básicas

Conjunto de continuidad de funciones con valores reales

El conjunto de puntos en los que una función de un espacio topológico a un espacio métrico es continua es un conjunto. Esto se debe a que la continuidad en un punto se puede definir mediante una fórmula, a saber: Para todos los números enteros positivos existe un conjunto abierto que contiene tales que para todos en . Si un valor de es fijo, el conjunto de para el que existe tal abierto correspondiente es en sí mismo un conjunto abierto (al ser una unión de conjuntos abiertos), y el cuantificador universal en corresponde a la intersección (contable) de estos conjuntos. En consecuencia, si bien es posible que los irracionales sean el conjunto de puntos de continuidad de una función (véase la función palomita de maíz ), es imposible construir una función que sea continua solo en los números racionales.

En la recta real, también se cumple la inversa: para cualquier subconjunto G δ de la recta real, hay una función que es continua exactamente en los puntos en . [9]

GRAMOdelespacio

Un espacio G δ [10] es un espacio topológico en el que todo conjunto cerrado es un conjunto G δ . [11] Un espacio normal que también es un espacio G δ se denomina perfectamente normal . Por ejemplo, todo espacio metrizable es perfectamente normal.

Véase también

Notas

  1. ^ Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2009). Análisis real: teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert. Princeton University Press . pág. 23. ISBN 9781400835560.
  2. ^ Young, William ; Young, Grace Chisholm (1906). Teoría de conjuntos de puntos. Cambridge University Press. pág. 63.
  3. ^ Willard, 15C, pág. 105
  4. ^ Engelking 1989, pág. 37.
  5. ^ Willard, teorema 24.12, pág. 179
  6. ^ Engelking, teoremas 4.3.23 y 4.3.24 en la pág. 274. De las notas históricas en la pág. 276, la implicación directa fue demostrada en un caso especial por S. Mazurkiewicz y en el caso general por M. Lavrentieff; la implicación inversa fue demostrada en un caso especial por P. Alexandroff y en el caso general por F. Hausdorff.
  7. ^ Fremlin, pág. 334
  8. ^ La suficiencia de la condición utiliza el hecho de que todo espacio métrico compacto es separable y completo, y por lo tanto polaco.
  9. ^ Saito, Shingo. "Propiedades de los subconjuntos Gδ de R {\displaystyle \mathbb {R} }" (PDF) .
  10. ^ Steen y Seebach, pág. 162
  11. ^ Johnson 1970.

Referencias