En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la semilocalidad simplemente conexa es una cierta condición de conexidad local que surge en la teoría de espacios de recubrimiento . En términos generales, un espacio topológico X es semilocalmente simplemente conexo si existe un límite inferior en los tamaños de los “agujeros” en X. Esta condición es necesaria para la mayor parte de la teoría de espacios de recubrimiento, incluida la existencia de una cobertura universal y la correspondencia de Galois entre espacios de recubrimiento y subgrupos del grupo fundamental .
La mayoría de los espacios “agradables”, como las variedades y los complejos CW, son semilocalmente simplemente conectados, y los espacios topológicos que no satisfacen esta condición se consideran algo patológicos . El ejemplo estándar de un espacio no semilocalmente simplemente conectado es el pendiente hawaiano .
Un espacio X se denomina semilocalmente simplemente conexo si cada punto en X tiene un entorno U con la propiedad de que cada bucle en U puede contraerse a un único punto dentro de X (es decir, cada bucle en U es nulohomotópico en X ). El entorno U no necesita ser simplemente conexo : aunque cada bucle en U debe ser contráctil dentro de X , no se requiere que la contracción tenga lugar dentro de U. Por esta razón, un espacio puede ser semilocalmente simplemente conexo sin ser localmente simplemente conexo .
Equivalente a esta definición, un espacio X es semilocalmente simplemente conexo si cada punto en X tiene un vecindario U para el cual el homomorfismo del grupo fundamental de U al grupo fundamental de X , inducido por la función de inclusión de U en X , es trivial.
La mayoría de los principales teoremas sobre espacios de cobertura , incluyendo la existencia de una cobertura universal y la correspondencia de Galois, requieren que un espacio sea conexo por caminos , conexo por caminos localmente y conexo de manera semilocal, una condición conocida como no repetible ( délaçable en francés). [1] En particular, esta condición es necesaria para que un espacio tenga un espacio de cobertura de manera simplemente conexa.
Un ejemplo sencillo de un espacio que no está semilocalmente simplemente conectado es el pendiente hawaiano : la unión de los círculos en el plano euclidiano con centros (1/ n , 0) y radios 1/ n , para n un número natural . Démosle a este espacio la topología de subespacio . Entonces todos los vecindarios del origen contienen círculos que no son homotópicos nulos .
El pendiente hawaiano también se puede utilizar para construir un espacio conexo semilocal que no esté conexo de manera local . En particular, el cono del pendiente hawaiano es contráctil y, por lo tanto, conexo semilocal, pero claramente no está conexo de manera local.
En términos de la topología natural del grupo fundamental, un espacio conexo localmente es conexo semilocalmente si y sólo si su grupo fundamental cuasitopeológico es discreto. [ cita requerida ]