Comparación de topologías

Ejercicio matemático

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el conjunto de todas las topologías posibles en un conjunto dado forma un conjunto parcialmente ordenado . Esta relación de orden se puede utilizar para comparar las topologías .

Definición

Una topología de un conjunto puede definirse como la colección de subconjuntos que se consideran "abiertos". (Una definición alternativa es que es la colección de subconjuntos que se consideran "cerrados". Estas dos formas de definir la topología son esencialmente equivalentes porque el complemento de un conjunto abierto es cerrado y viceversa. En lo sucesivo, no importa qué definición se utilice).

Para mayor claridad, el lector debe pensar en una topología como la familia de conjuntos abiertos de un espacio topológico, ya que ese es el significado estándar de la palabra "topología".

Sean τ ₁ y τ ₂ dos topologías en un conjunto X tales que τ ₁ está contenido en τ ₂ :

${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$.

Es decir, cada elemento de τ ₁ es también un elemento de τ ₂ . Entonces se dice que la topología τ ₁ es una topología más burda ( más débil o más pequeña ) que τ ₂ , y se dice que τ ₂ es una topología más fina ( más fuerte o más grande ) que τ ₁ . ^{[nb 1]}

Si además

${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}}$

Decimos que τ ₁ es estrictamente más grueso que τ ₂ y que τ ₂ es estrictamente más fino que τ _1. ^[1]

La relación binaria ⊆ define una relación de ordenamiento parcial en el conjunto de todas las topologías posibles en X.

Ejemplos

La topología más fina en X es la topología discreta ; esta topología hace que todos los subconjuntos sean abiertos. La topología más burda en X es la topología trivial ; esta topología sólo admite el conjunto vacío y todo el espacio como conjuntos abiertos.

En los espacios de funciones y de medidas, suele haber varias topologías posibles. Véase topologías en el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert para ver algunas relaciones complejas.

Todas las topologías polares posibles en un par dual son más finas que la topología débil y más gruesas que la topología fuerte .

El espacio vectorial complejo C ⁿ puede estar equipado con su topología usual (euclidiana) o con su topología de Zariski . En esta última, un subconjunto V de C ⁿ es cerrado si y solo si consta de todas las soluciones de algún sistema de ecuaciones polinómicas. Dado que cualquier V de este tipo también es un conjunto cerrado en el sentido ordinario, pero no al revés , la topología de Zariski es estrictamente más débil que la ordinaria.

Propiedades

Sean τ ₁ y τ ₂ dos topologías sobre un conjunto X. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• τ1 ⊆ τ2_​​
• La función identidad id _X  : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) es una función continua .
• El mapa identidad id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) es un mapa fuertemente/relativamente abierto .

(El mapa identidad id _X es sobreyectivo y por lo tanto es fuertemente abierto si y sólo si es relativamente abierto.)

Dos corolarios inmediatos de las afirmaciones equivalentes anteriores son:

• Una función continua f  : X → Y permanece continua si la topología en Y se vuelve más gruesa o la topología en X más fina .
• Una función abierta (o cerrada) f  : X → Y permanece abierta (o cerrada) si la topología en Y se vuelve más fina o la topología en X más gruesa .

También se pueden comparar topologías utilizando bases de vecindad . Sean τ ₁ y τ ₂ dos topologías en un conjunto X y sea B _i ( x ) una base local para la topología τ _i en x ∈ X para i = 1,2. Entonces τ ₁ ⊆ τ ₂ si y solo si para todo x ∈ X , cada conjunto abierto U ₁ en B ₁ ( x ) contiene algún conjunto abierto U ₂ en B ₂ ( x ). Intuitivamente, esto tiene sentido: una topología más fina debería tener vecindades más pequeñas.

Red de topologías

El conjunto de todas las topologías de un conjunto X junto con la relación de ordenación parcial ⊆ forma una red completa que también está cerrada bajo intersecciones arbitrarias. ^[2] Es decir, cualquier colección de topologías de X tiene un encuentro (o ínfimo ) y una unión (o supremo ). El encuentro de una colección de topologías es la intersección de esas topologías. La unión, sin embargo, no es generalmente la unión de esas topologías (la unión de dos topologías no necesita ser una topología) sino más bien la topología generada por la unión.

Toda red completa es también una red acotada , es decir que tiene un elemento máximo y un elemento mínimo . En el caso de las topologías, el elemento máximo es la topología discreta y el elemento mínimo es la topología trivial .

La red de topologías de un conjunto es una red complementada ; es decir, dada una topología en existe una topología en tal que la intersección es la topología trivial y la topología generada por la unión es la topología discreta. ^{[3] [4]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau '}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \cap \tau '}$ ${\displaystyle \tau \cup \tau '}$

Si el conjunto tiene al menos tres elementos, la red de topologías en no es modular , ^[5] y, por lo tanto, tampoco es distributiva . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Topología inicial , la topología más burda de un conjunto para hacer que una familia de asignaciones a partir de ese conjunto sean continuas.
• Topología final , la topología más fina en un conjunto para hacer una familia de aplicaciones en ese conjunto continuas

Notas

1. Hay algunos autores, especialmente analistas , que utilizan los términos débil y fuerte con significados opuestos (Munkres, p. 78).

Referencias

1. Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . Págs. 77-78. ISBN. 0-13-181629-2.
2. Larson, Roland E.; Andima, Susan J. (1975). "El entramado de topologías: un estudio". Rocky Mountain Journal of Mathematics . 5 (2): 177–198. doi : 10.1216/RMJ-1975-5-2-177 .
3. Steiner, AK (1966). "El entramado de topologías: Estructura y complementación". Transactions of the American Mathematical Society . 122 (2): 379–398. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0190893-2 .
4. Van Rooij, ACM (1968). "La red de todas las topologías se complementa". Revista Canadiense de Matemáticas . 20 : 805–807. doi : 10.4153/CJM-1968-079-9 .
5. Steiner 1966, Teorema 3.1.