En la disciplina matemática de la teoría del orden , una red complementada es una red acotada (con menor elemento 0 y mayor elemento 1), en la que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b que satisface a ∨ b = 1 y a ∧ b = 0. Los complementos no tienen por qué ser únicos.
Una red relativamente complementada es una red tal que cada intervalo [ c , d ], visto como una red acotada por derecho propio, es una red complementada.
Una ortocomplementación en una red complementada es una involución que invierte el orden y asigna cada elemento a un complemento. Una red ortocomplementada que satisface una forma débil de la ley modular se llama red ortomodular .
En las redes distributivas acotadas , los complementos son únicos. Cada red distributiva complementada tiene una ortocomplementación única y, de hecho, es un álgebra booleana .
Una red complementada es una red acotada (con mínimo elemento 0 y mayor elemento 1), en la que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b tal que
En general un elemento puede tener más de un complemento. Sin embargo, en una red distributiva (acotada) cada elemento tendrá como máximo un complemento. [1] Una red en la que cada elemento tiene exactamente un complemento se llama red unívocamente complementada [2]
Una red con la propiedad de que cada intervalo (visto como una subred) está complementada se llama red relativamente complementada . En otras palabras, una red relativamente complementada se caracteriza por la propiedad de que para cada elemento a en un intervalo [ c , d ] hay un elemento b tal que
Tal elemento b se llama complemento de a con respecto al intervalo.
Una red distributiva se complementa si y sólo si está acotada y relativamente complementada. [3] [4] La red de subespacios de un espacio vectorial proporciona un ejemplo de red complementada que, en general, no es distributiva.
Una ortocomplementación en una red acotada es una función que asigna cada elemento a a un "ortocomplemento" a ⊥ de tal manera que se cumplan los siguientes axiomas: [5]
Una red ortocomplementada u ortolatriz es una red acotada equipada con una ortocomplementación. La red de subespacios de un espacio producto interno y la operación de complemento ortogonal proporcionan un ejemplo de una red ortocomplementada que no es, en general, distributiva. [6]
Las álgebras booleanas son un caso especial de redes ortocomplementadas, que a su vez son un caso especial de redes complementadas (con estructura adicional). Las ortoredes se utilizan con mayor frecuencia en lógica cuántica , donde los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert separable representan proposiciones cuánticas y se comportan como una red ortocomplementada.
Las celosías ortocomplementadas, como las álgebras de Boole, satisfacen las leyes de Morgan :
Una red se llama modular si para todos los elementos a , b y c la implicación
sostiene. Esto es más débil que la distributividad ; por ejemplo , la red M3 mostrada anteriormente es modular, pero no distributiva.
Un debilitamiento adicional natural de esta condición para redes ortocomplementadas, necesaria para aplicaciones en lógica cuántica, es requerirla sólo en el caso especial b = a ⊥ . Por lo tanto, una red ortomodular se define como una red ortocomplementada tal que para dos elementos cualesquiera la implicación
sostiene.
Las redes de esta forma son de crucial importancia para el estudio de la lógica cuántica , ya que son parte de la axiomización de la formulación espacial de Hilbert de la mecánica cuántica . Garrett Birkhoff y John von Neumann observaron que el cálculo proposicional en lógica cuántica es "formalmente indistinguible del cálculo de subespacios lineales [de un espacio de Hilbert] con respecto a productos conjuntos , sumas lineales y complementos ortogonales" correspondientes a los roles de y , o y no en celosías booleanas. Esta observación ha despertado el interés en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert, que forman una red ortomodular. [7]