En matemáticas, el espacio S es un espacio topológico regular que es hereditariamente separable pero no es un espacio de Lindelöf . El espacio L es un espacio topológico regular que es hereditariamente Lindelöf pero no separable. Un espacio es separable si tiene un conjunto denso numerable y hereditariamente separable si cada subespacio es separable.
Se ha creído durante mucho tiempo que el problema del espacio S y el problema del espacio L son duales, es decir, si hay un espacio S en algún modelo de teoría de conjuntos, entonces hay un espacio L en el mismo modelo y viceversa, lo cual no es cierto.
A principios de los años 1980 se demostró que la existencia de un espacio S es independiente de los axiomas habituales de ZFC . Esto significa que para demostrar la existencia de un espacio S o para demostrar la no existencia de un espacio S, necesitamos suponer axiomas más allá de los de ZFC . El problema del espacio L (si un espacio L puede existir sin suponer suposiciones de teoría de conjuntos adicionales más allá de las de ZFC ) no se resolvió hasta hace poco.
Todorcevic demostró que bajo PFA no hay espacios S. Esto significa que todo espacio hereditariamente separable regular es Lindelöf . Durante algún tiempo, se creyó que el problema del espacio L tendría una solución similar (que su existencia sería independiente de ZFC ). Todorcevic demostró que hay un modelo de teoría de conjuntos con el axioma de Martin donde hay un espacio L pero no hay espacios S. Además, Todorcevic encontró un espacio S compacto a partir de un real de Cohen.
En 2005, Moore resolvió el problema del espacio L construyendo un espacio L sin asumir axiomas adicionales y combinando las funciones rho de Todorcevic con la teoría de números .
