Grupo de homotopía

Construcción algebraica que clasifica los espacios topológicos

En matemáticas , los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer grupo de homotopía y el más simple es el grupo fundamental , denominado que registra información sobre los bucles en un espacio . Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o los agujeros , de un espacio topológico. ${\displaystyle \pi _{1}(X),}$

Para definir el n -ésimo grupo de homotopía, las aplicaciones que preservan el punto base de una esfera n -dimensional (con punto base ) en un espacio dado (con punto base) se agrupan en clases de equivalencia , llamadas clases de homotopía . Dos aplicaciones son homotópicas si una puede deformarse continuamente en la otra. Estas clases de homotopía forman un grupo , llamado el n -ésimo grupo de homotopía , del espacio dado X con punto base. Los espacios topológicos con diferentes grupos de homotopía nunca son homeomorfos , pero los espacios topológicos que no son homeomorfos pueden tener los mismos grupos de homotopía. ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$

La noción de homotopía de caminos fue introducida por Camille Jordan . ^[1]

Introducción

En las matemáticas modernas es habitual estudiar una categoría asociando a cada objeto de esa categoría un objeto más simple que aún conserve suficiente información sobre el objeto de interés. Los grupos de homotopía son una forma de asociar grupos a espacios topológicos.

Un toro

Una esfera

Ese vínculo entre la topología y los grupos permite a los matemáticos aplicar los conocimientos de la teoría de grupos a la topología . Por ejemplo, si dos objetos topológicos tienen diferentes grupos de homotopía, no pueden tener la misma estructura topológica, un hecho que puede ser difícil de demostrar utilizando solo medios topológicos. Por ejemplo, el toro es diferente de la esfera : el toro tiene un "agujero"; la esfera no. Sin embargo, dado que la continuidad (la noción básica de la topología) solo se ocupa de la estructura local, puede ser difícil definir formalmente la diferencia global obvia. Los grupos de homotopía, sin embargo, contienen información sobre la estructura global.

En cuanto al ejemplo: el primer grupo de homotopía del toro es porque la cubierta universal del toro es la aplicación del plano euclidiano al toro Aquí el cociente está en la categoría de espacios topológicos, en lugar de grupos o anillos. Por otro lado, la esfera satisface: porque cada bucle se puede contraer a una aplicación constante (ver grupos de homotopía de esferas para esto y ejemplos más complicados de grupos de homotopía). Por lo tanto, el toro no es homeomorfo a la esfera. ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle S^{2}}$ $${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$

Definición

En la n -esfera elegimos un punto base a . Para un espacio X con punto base b , definimos como el conjunto de clases de homotopía de funciones que asignan el punto base a al punto base b . En particular, las clases de equivalencia están dadas por homotopías que son constantes en el punto base de la esfera. De manera equivalente, definimos como el grupo de clases de homotopía de funciones desde el n -cubo hasta X que toman el límite del n -cubo hasta b . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ $${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$

Composición en el grupo fundamental

Para que las clases de homotopía formen un grupo . Para definir la operación de grupo, recordemos que en el grupo fundamental , el producto de dos bucles se define estableciendo ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$ $${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

La idea de composición en el grupo fundamental es la de recorrer el primer camino y el segundo en sucesión, o, equivalentemente, juntar sus dos dominios. El concepto de composición que queremos para el n -ésimo grupo de homotopía es el mismo, excepto que ahora los dominios que pegamos son cubos, y debemos pegarlos a lo largo de una cara. Por lo tanto, definimos la suma de morfismos mediante la fórmula ${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$ $${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

Para la definición correspondiente en términos de esferas, defina la suma de mapas que se compondrán con h , donde es el mapa desde la suma de cuña de dos n -esferas que colapsa el ecuador y h es el mapa desde la suma de cuña de dos n -esferas hasta X que se define como f en la primera esfera y g en la segunda. ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle S^{n}}$

Si entonces es abeliano . ^[2] Además, de manera similar al grupo fundamental, para un espacio conexo por trayectorias cualesquiera dos opciones de punto base dan lugar a isomorfos ^[3] ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}.}$

Es tentador intentar simplificar la definición de grupos de homotopía omitiendo los puntos base, pero esto no suele funcionar para espacios que no están simplemente conexos , ni siquiera para espacios conexos por trayectorias. El conjunto de clases de homotopía de aplicaciones de una esfera a un espacio conexo por trayectorias no es el grupo de homotopía, sino que es esencialmente el conjunto de órbitas del grupo fundamental en el grupo de homotopía y, en general, no tiene una estructura de grupo natural.

Se ha encontrado una salida a estas dificultades definiendo grupoides de homotopía superior de espacios filtrados y de n -cubos de espacios. Estos están relacionados con grupos de homotopía relativa y con grupos de homotopía n -ádicos respectivamente. Un teorema de van Kampen de homotopía superior permite entonces derivar nueva información sobre grupos de homotopía e incluso sobre tipos de homotopía. Para más antecedentes y referencias, véase "Teoría de grupos de dimensiones superiores" y las referencias a continuación.

Grupos de homotopía y huecos

Un espacio topológico tiene un agujero con un límite de dimensión d si y solo si contiene una esfera de dimensión d que no se puede encoger continuamente hasta un único punto. Esto se cumple si y solo si hay una aplicación que no es homotópica a una función constante . Esto se cumple si y solo si el grupo de homotopía d -ésimo de X no es trivial. En resumen, X tiene un agujero con un límite de dimensión d , si y solo si . ${\textstyle S^{d}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

Secuencia larga y exacta de una fibración

Sea una fibración de Serre que preserva el punto base con fibra , es decir, una función que posee la propiedad de elevación de homotopía con respecto a los complejos CW . Supóngase que B está conexo por trayectorias. Entonces hay una larga secuencia exacta de grupos de homotopía ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

Aquí los mapas que intervienen no son homomorfismos de grupo porque no son grupos, pero son exactos en el sentido de que la imagen es igual al núcleo . ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{0}}$

Ejemplo: la fibración de Hopf . Sea B igual y E igual. Sea p la fibración de Hopf , que tiene fibra. De la secuencia exacta larga ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}.}$ ${\displaystyle S^{1}.}$ $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

y el hecho de que para encontramos que para En particular, ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$ ${\displaystyle n\geq 3.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

En el caso de un espacio de cobertura, cuando la fibra es discreta, tenemos que es isomorfo a para que se incrusta inyectivamente en para todo positivo y que el subgrupo de que corresponde a la incrustación de tiene clases laterales en biyección con los elementos de la fibra. ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n>1,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(E)}$

Cuando la fibración es la fibra de mapeo , o dualmente, la cofibración es el cono de mapeo , entonces la secuencia exacta (o dualmente, coexacta) resultante está dada por la secuencia de Puppe .

Espacios y esferas homogéneos

Hay muchas realizaciones de esferas como espacios homogéneos , que proporcionan buenas herramientas para calcular grupos de homotopía de grupos de Lie y la clasificación de fibrados principales en espacios formados por esferas.

Grupo ortogonal especial

Hay una fibración ^[4]

$${\displaystyle SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}}$$

dando la secuencia larga exacta

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots }$$

que calcula los grupos de homotopía de orden inferior de for ya que está -conexo. En particular, hay una fibración ${\displaystyle \pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))}$ ${\displaystyle i<n-1,}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-2)}$

$${\displaystyle SO(3)\to SO(4)\to S^{3}}$$

cuyos grupos de homotopía inferiores se pueden calcular explícitamente. Dado que y existe la fibración ${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},}$

$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$$

Tenemos para usar esto, y el hecho de que se puede calcular usando el sistema Postnikov , tenemos la secuencia larga exacta ${\displaystyle \pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$ ${\displaystyle i>1.}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$$

Como tenemos Además, la fila del medio da como resultado que el mapa de conexión sea trivial. Además, podemos saber que tiene dos torsiones. ${\displaystyle \pi _{2}\left(S^{3}\right)=0}$ ${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))=0.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{4}(SO(4))}$

Aplicación a haces de esferas

Milnor ^[5] utilizó el hecho de clasificar los fibrados de 3-esferas en particular, fue capaz de encontrar esferas exóticas que son variedades suaves llamadas esferas de Milnor solo homeomorfas a no difeomorfas . Nótese que cualquier fibrado de esferas puede construirse a partir de un fibrado vectorial - , que tiene estructura grupo ya que puede tener la estructura de una variedad de Riemann orientada . ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{4},}$ ${\displaystyle S^{7},}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle SO(4)}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Espacio proyectivo complejo

Hay una fibración

$${\displaystyle S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$$

¿Dónde está la esfera unitaria en Esta secuencia se puede utilizar para mostrar la simple conectividad de para todos ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Métodos de cálculo

El cálculo de grupos de homotopía es, en general, mucho más difícil que el de algunos de los otros invariantes de homotopía aprendidos en topología algebraica. A diferencia del teorema de Seifert-van Kampen para el grupo fundamental y el teorema de escisión para homología y cohomología singulares , no existe una forma sencilla conocida de calcular los grupos de homotopía de un espacio dividiéndolo en espacios más pequeños. Sin embargo, los métodos desarrollados en la década de 1980 que incluyen un teorema de tipo de van Kampen para grupoides de homotopía superiores han permitido nuevos cálculos sobre tipos de homotopía y, por lo tanto, sobre grupos de homotopía. Véase un resultado de muestra en el artículo de 2010 de Ellis y Mikhailov. ^[6]

Para algunos espacios, como los toros , todos los grupos de homotopía superiores (es decir, los grupos de homotopía segundos y superiores) son triviales . Estos son los llamados espacios asféricos . Sin embargo, a pesar de la intensa investigación en el cálculo de los grupos de homotopía de esferas, incluso en dos dimensiones no se conoce una lista completa. Para calcular incluso el cuarto grupo de homotopía de una se necesitan técnicas mucho más avanzadas de lo que las definiciones podrían sugerir. En particular, la secuencia espectral de Serre se construyó precisamente para este propósito. ${\displaystyle S^{2}}$

Ciertos grupos de homotopía de espacios n -conectados se pueden calcular por comparación con grupos de homología a través del teorema de Hurewicz .

Una lista de métodos para calcular grupos de homotopía

• La secuencia larga y exacta de grupos de homotopía de una fibración.
• Teorema de Hurewicz , que tiene varias versiones.
• Teorema de Blakers-Massey , también conocido como escisión para grupos de homotopía .
• Teorema de suspensión de Freudenthal , un corolario de la escisión para grupos de homotopía.

Grupos de homotopía relativa

También existe una generalización útil de los grupos de homotopía, llamados grupos de homotopía relativa para un par donde A es un subespacio de ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle (X,A),}$ ${\displaystyle X.}$

La construcción está motivada por la observación de que para una inclusión existe un mapa inducido en cada grupo de homotopía que en general no es una inyección. De hecho, los elementos del núcleo se conocen considerando un representante y tomando una homotopía de base para el mapa constante o en otras palabras mientras que la restricción a cualquier otro componente de frontera de es trivial. Por lo tanto, tenemos la siguiente construcción: ${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$ ${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle f:I^{n}\to X}$ ${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$ ${\displaystyle I^{n+1}}$

Los elementos de dicho grupo son clases de homotopía de mapas base que llevan el límite a A . Dos mapas se denominan homotópicos en relación con A si son homotópicos por una homotopía que preserva el punto base de modo que, para cada p en y t en el elemento está en A . Nótese que los grupos de homotopía ordinarios se recuperan para el caso especial en el que es el singleton que contiene el punto base. ${\displaystyle D^{n}\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle F(p,t)}$ ${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$

Estos grupos son abelianos pero forman el grupo superior de un módulo cruzado con el grupo inferior. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

También existe una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía relativa que se puede obtener mediante la secuencia de Puppe :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

Nociones relacionadas

Los grupos de homotopía son fundamentales para la teoría de homotopía , que a su vez estimuló el desarrollo de categorías modelo . Es posible definir grupos de homotopía abstractos para conjuntos simples .

Los grupos de homología son similares a los grupos de homotopía en el sentido de que pueden representar "huecos" en un espacio topológico. Sin embargo, los grupos de homotopía suelen ser muy complejos y difíciles de calcular. Por el contrario, los grupos de homología son conmutativos (al igual que los grupos de homotopía superiores). Por lo tanto, a veces se dice que "la homología es una alternativa conmutativa a la homotopía". ^[7] Dado un espacio topológico, su n -ésimo grupo de homotopía suele denotarse por y su n -ésimo grupo de homología suele denotarse por ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle H_{n}(X).}$

Véase también

• Fibración
• Fibración de Hopf
• Invariante de Hopf
• Teoría de nudos
• Clase de homotopía
• Grupos de homotopía de esferas
• Invariante topológico
• Grupo de homotopía con coeficientes
• Conjunto puntiagudo

Notas

1. Marie Ennemond Camille Jordania
2. Para demostrarlo, nótese que en dos dimensiones o más, dos homotopías pueden "rotarse" una alrededor de la otra. Véase el argumento de Eckmann-Hilton .
3. ver sección 4.1 de Allen Hatcher#Libros .
4. Husemoller, Dale (1994). Fibras de fibras . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 20. Springer. pág. 89. doi : 10.1007/978-1-4757-2261-1 .
5. Milnor, John (1956). "Sobre variedades homeomorfas a la 7-esfera". Anales de Matemáticas . 64 : 399–405.
6. Ellis, Graham J.; Mikhailov, Roman (2010). "Un colímite de espacios de clasificación". Avances en Matemáticas . 223 (6): 2097–2113. arXiv : 0804.3581 . doi : 10.1016/j.aim.2009.11.003 . MR  2601009.
7. Wildberger, NJ (2012). "Introducción a la homología". Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021.

Referencias

• Ronald Brown , 'Grupoides y objetos cruzados en topología algebraica', Homología, homotopía y aplicaciones , 1 (1999) 1–78.
• Ronald Brown , Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 páginas, European Math. Society, Zúrich, 2011. doi :10.4171/083 MR 2841564
• Čech, Eduard (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zúrich.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1
• "Grupo de homotopía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 (1): 637–665, doi :10.1007/BF01457962.
• Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Homotopía abstracta y teoría de homotopía simple . River Edge, NJ: World Scientific Publishing. doi :10.1142/9789812831989. ISBN 981-02-1602-5.Señor 1464944  .
• Toda, Hiroshi (1962). Métodos de composición en grupos de homotopía de esferas . Annals of Mathematics Studies. Vol. 49. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8.Sr. 0143217  .
• Whitehead, George William (1978). Elementos de la teoría de la homotopía. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 61 (3.ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN. 978-0-387-90336-1.Sr. 0516508  .