Espacio asférico

En topología , una rama de las matemáticas, un espacio asférico es un espacio topológico con todos los grupos de homotopía iguales a 0 cuando . ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle n\not =1}$

Si se trabaja con complejos CW , se puede reformular esta condición: un complejo CW asférico es un complejo CW cuya cubierta universal es contráctil . De hecho, la contractibilidad de una cubierta universal es la misma, por el teorema de Whitehead , que la asfericidad de la misma. Y es una aplicación de la secuencia exacta de una fibración que los grupos de homotopía superiores de un espacio y su cubierta universal sean los mismos. (Por el mismo argumento, si E es un espacio conexo por caminos y es cualquier mapa de cubierta , entonces E es asférico si y solo si B es asférico). ${\displaystyle p\colon E\to B}$

Cada espacio asférico X es, por definición, un espacio de Eilenberg–MacLane de tipo , donde es el grupo fundamental de X . También directamente de la definición, un espacio asférico es un espacio clasificatorio para su grupo fundamental (considerado como un grupo topológico cuando está dotado de la topología discreta ). ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$

Ejemplos

• Utilizando la segunda de las definiciones anteriores, vemos fácilmente que todas las superficies compactas orientables de género mayor que 0 son asféricas (ya que tienen como cubierta universal el plano euclidiano o el plano hiperbólico).
• De ello se deduce que todas las superficies no orientables, excepto el plano proyectivo real , también son asféricas, ya que pueden estar cubiertas por una superficie orientable de género 1 o superior.
• De manera similar, un producto de cualquier número de círculos es asférico, como lo es cualquier variedad plana riemanniana completa.
• Cualquier variedad hiperbólica 3-variedad está, por definición, cubierta por el espacio hiperbólico 3-espacio H ³ , por lo tanto es asférica, como lo está cualquier variedad n -variedad cuyo espacio de cubierta universal es el espacio n -espacio hiperbólico H ⁿ .
• Sea X  =  G / K un espacio simétrico de Riemann de tipo negativo, y Γ una red en G que actúa libremente sobre X. Entonces el espacio localmente simétrico es asférico. ${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$
• La construcción de Bruhat-Tits de un grupo algebraico simple sobre un campo con una valoración discreta es asférico.
• El complemento de un nudo en S ³ es asférico, por el teorema de la esfera
• Los espacios métricos con curvatura no positiva en el sentido de Aleksandr D. Aleksandrov (localmente espacios CAT(0) ) son asféricos. En el caso de las variedades de Riemann , esto se deduce del teorema de Cartan-Hadamard , que ha sido generalizado a los espacios métricos geodésicos por Mikhail Gromov y Hans Werner Ballmann . Esta clase de espacios asféricos subsume todos los ejemplos dados anteriormente.
• Cualquier variedad nula es asférica.

Variedades asféricas simplécticas

En el contexto de las variedades simplécticas , el significado de "asférica" ​​es un poco diferente. En concreto, decimos que una variedad simpléctica (M,ω) es simplécticamente asférica si y solo si

${\displaystyle \int _{S^{2}}f^{*}\omega =\langle c_{1}(TM),f_{*}[S^{2}]\rangle =0}$

para cada mapeo continuo

${\displaystyle f\colon S^{2}\to M,}$

donde denota la primera clase de Chern de una estructura casi compleja que es compatible con ω. ${\displaystyle c_{1}(TM)}$

Por el teorema de Stokes , vemos que las variedades simplécticas que son asféricas son también variedades simplécticamente asféricas. Sin embargo, existen variedades simplécticamente asféricas que no son espacios asféricos. ^[1]

Algunas referencias ^[2] eliminan el requisito de c ₁ en su definición de "asférico simplécticamente". Sin embargo, es más común que las variedades simplécticas que satisfacen sólo esta condición más débil se denominen "débilmente exactas".

Véase también

• Espacio acíclico
• Colector esencial
• Conjetura de Whitehead

Notas

1. Gompf, Robert E. (1998). "Variedades asféricas simplécticas con π ₂ no trivial ". Mathematical Research Letters . 5 (5): 599–603. arXiv : math/9808063 . CiteSeerX  10.1.1.235.9135 . doi :10.4310/MRL.1998.v5.n5.a4. MR  1666848. S2CID  15738108.
2. Kedra, Jarek; Rudyak, Yuli ; Tralle, Aleksey (2008). "Variedades asféricas simplécticas". Revista de teoría y aplicaciones del punto fijo . 3 : 1–21. arXiv : 0709.1799 . CiteSeerX 10.1.1.245.455 . doi :10.1007/s11784-007-0048-z. MR  2402905. S2CID  13630163. 

Referencias

• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 319. Berlín, Heidelberg: Springer . doi :10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 978-3-642-08399-0.Señor 1744486  .

Enlaces externos

• Variedades asféricas en el Atlas de Variedades.