En matemáticas , un espacio simétrico es una variedad de Riemann (o más generalmente, una variedad pseudo-riemanniana ) cuyo grupo de simetrías contiene una simetría de inversión alrededor de cada punto. Esto puede estudiarse con las herramientas de la geometría riemanniana , lo que tiene consecuencias en la teoría de la holonomía ; o algebraicamente a través de la teoría de Lie , que permitió a Cartan dar una clasificación completa. Los espacios simétricos ocurren comúnmente en geometría diferencial , teoría de representación y análisis armónico .
En términos geométricos, una variedad de Riemann completa y simplemente conexa es un espacio simétrico si y sólo si su tensor de curvatura es invariante bajo transporte paralelo. De manera más general, se dice que una variedad de Riemann ( M , g ) es simétrica si y sólo si, para cada punto p de M , existe una isometría de M que fija p y actúa sobre el espacio tangente como menos la identidad (todo espacio simétrico está completo , ya que cualquier geodésica se puede extender indefinidamente mediante simetrías en torno a los puntos finales). Naturalmente, ambas descripciones también pueden ampliarse al ámbito de las variedades pseudo-riemannianas .
Desde el punto de vista de la teoría de Lie, un espacio simétrico es el cociente G / H de un grupo de Lie G conectado por un subgrupo de Lie H que es (un componente conectado de) el grupo invariante de una involución de G. Esta definición incluye más que la definición de Riemann, y se reduce a ella cuando H es compacto.
Los espacios simétricos de Riemann surgen en una amplia variedad de situaciones tanto en matemáticas como en física. Su papel central en la teoría de la holonomía fue descubierto por Marcel Berger . Son importantes objetos de estudio en la teoría de la representación y el análisis armónico, así como en la geometría diferencial.
Sea M una variedad de Riemann conexa y p un punto de M . Se dice que un difeomorfismo f de una vecindad de p es una simetría geodésica si fija el punto p e invierte las geodésicas a través de ese punto, es decir, si γ es una geodésica con entonces . Se deduce que la derivada del mapa f en p es menos la mapa de identidad en el espacio tangente de p . En una variedad de Riemann general, f no necesita ser isométrica ni puede extenderse, en general, desde una vecindad de p a todo M.
Se dice que M es localmente simétrico de Riemann si sus simetrías geodésicas son de hecho isométricas. Esto equivale a la desaparición de la derivada covariante del tensor de curvatura. Un espacio localmente simétrico se dice que es un espacio (globalmente) simétrico si además sus simetrías geodésicas pueden extenderse a isometrías en todo M.
El teorema de Cartan-Ambrose-Hicks implica que M es localmente simétrico riemanniano si y sólo si su tensor de curvatura es covariantemente constante y, además, que todo espacio simétrico localmente riemanniano completo y simplemente conexo es en realidad simétrico riemanniano.
Todo espacio simétrico de Riemann M es completo y homogéneo de Riemann (lo que significa que el grupo de isometría de M actúa transitivamente sobre M ). De hecho, el componente de identidad del grupo de isometría ya actúa transitivamente sobre M (porque M es conexo).
Los espacios simétricos localmente riemannianos que no son simétricos riemannianos pueden construirse como cocientes de espacios simétricos riemannianos mediante grupos discretos de isometrías sin puntos fijos y como subconjuntos abiertos de espacios simétricos riemannianos (localmente).
Ejemplos básicos de espacios simétricos de Riemann son el espacio euclidiano , las esferas , los espacios proyectivos y los espacios hiperbólicos , cada uno con sus métricas riemannianas estándar. Se proporcionan más ejemplos mediante grupos de Lie compactos y semisimples equipados con una métrica de Riemann bi-invariante.
Cada superficie compacta de Riemann de género mayor que 1 (con su métrica habitual de curvatura constante −1) es un espacio localmente simétrico pero no un espacio simétrico.
Todo espacio de lente es localmente simétrico pero no simétrico, a excepción de cuál es simétrico. Los espacios de la lente son cocientes de las 3 esferas mediante una isometría discreta que no tiene puntos fijos.
Un ejemplo de espacio simétrico no riemanniano es el espacio anti-de Sitter .
Sea G un grupo de Lie conexo . Entonces un espacio simétrico para G es un espacio homogéneo G / H donde el estabilizador H de un punto típico es un subgrupo abierto del conjunto de puntos fijos de una involución σ en Aut( G ). Por tanto, σ es un automorfismo de G con σ 2 = id G y H es un subgrupo abierto del conjunto invariante.
Como H es abierto, es una unión de componentes de G σ (incluido, por supuesto, el componente identidad).
Como automorfismo de G , σ fija el elemento identidad y, por tanto, al diferenciar en la identidad, induce un automorfismo del álgebra de Lie de G , también denotado por σ , cuyo cuadrado es la identidad. De ello se deduce que los valores propios de σ son ±1. El espacio propio +1 es el álgebra de Lie de H (ya que esta es el álgebra de Lie de G σ ), y el espacio propio −1 se denotará . Dado que σ es un automorfismo de , esto da una descomposición por suma directa
con
La primera condición es automática para cualquier espacio homogéneo: simplemente dice que el estabilizador infinitesimal es una subálgebra de Lie de . La segunda condición significa que es un complemento invariante de in . Por tanto, cualquier espacio simétrico es un espacio reductivo homogéneo , pero hay muchos espacios reductivos homogéneos que no son espacios simétricos. La característica clave de los espacios simétricos es la tercera condición que se encuentra entre corchetes .
Por el contrario, dada cualquier álgebra de Lie con una descomposición de suma directa que satisfaga estas tres condiciones, el mapa lineal σ , igual a la identidad en y menos la identidad en , es un automorfismo involutivo.
Si M es un espacio simétrico de Riemann, el componente de identidad G del grupo de isometría de M es un grupo de Lie que actúa transitivamente sobre M (es decir, M es homogéneo de Riemann). Por lo tanto, si fijamos algún punto p de M , M es difeomorfo al cociente G/K , donde K denota el grupo de isotropía de la acción de G sobre M en p . Diferenciando la acción en p obtenemos una acción isométrica de K sobre T p M . Esta acción es fiel (por ejemplo, según un teorema de Kostant, cualquier isometría en el componente identidad está determinada por su chorro 1 en cualquier punto) y por lo tanto K es un subgrupo del grupo ortogonal de T p M , por lo tanto compacto. Además, si denotamos por s p : M → M la simetría geodésica de M en p , el mapa
es un automorfismo involutivo del grupo de Lie tal que el grupo de isotropía K está contenido entre el grupo de punto fijo y su componente de identidad (de ahí un subgrupo abierto). Consulte la definición y la siguiente proposición en la página 209, capítulo IV, sección 3 de Geometría diferencial de Helgason, Lie. Grupos y Espacios Simétricos para más información.
En resumen, M es un espacio simétrico G / K con un grupo de isotropía compacto K. Por el contrario, los espacios simétricos con grupo de isotropía compacto son espacios simétricos riemannianos, aunque no necesariamente de forma única. Para obtener una estructura espacial simétrica de Riemann necesitamos fijar un K -producto interno invariante en el espacio tangente a G / K en la clase lateral identidad eK : dicho producto interno siempre existe promediando, ya que K es compacto, y actuando con G , obtenemos una métrica de Riemann g -invariante en G / K .
Para demostrar que G / K es simétrica de Riemann, considere cualquier punto p = hK (una clase lateral de K , donde h ∈ G ) y defina
donde σ es la involución de G fijando K . Entonces se puede comprobar que s p es una isometría con (claramente) s p ( p ) = p y (diferenciando) d s p igual a menos la identidad en T p M . Por tanto, s p es una simetría geodésica y, dado que p era arbitrario, M es un espacio simétrico riemanniano.
Si se comienza con un espacio simétrico de Riemann M y luego se realizan estas dos construcciones en secuencia, entonces el espacio simétrico de Riemann obtenido es isométrico con respecto al original. Esto muestra que los "datos algebraicos" ( G , K , σ , g ) describen completamente la estructura de M .
La descripción algebraica de los espacios simétricos de Riemann permitió a Élie Cartan obtener una clasificación completa de ellos en 1926.
Para un espacio simétrico de Riemann dado M , sean ( G , K , σ , g ) los datos algebraicos asociados a él. Para clasificar las posibles clases de isometría de M , primero tenga en cuenta que la cobertura universal de un espacio simétrico de Riemann es nuevamente simétrica de Riemann, y el mapa de cobertura se describe dividiendo el grupo de isometría conectado G de la cobertura por un subgrupo de su centro. Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que M es simplemente conexo. (Esto implica que K está conectado por la secuencia larga y exacta de una fibración , porque G está conectado por suposición).
Se dice que un espacio simétrico de Riemann simplemente conexo es irreducible si no es producto de dos o más espacios simétricos de Riemann. Entonces se puede demostrar que cualquier espacio simétrico de Riemann simplemente conexo es un producto de Riemann de espacios irreducibles. Por lo tanto, podemos limitarnos aún más a clasificar los espacios simétricos de Riemann irreductibles y simplemente conexos.
El siguiente paso es demostrar que cualquier espacio simétrico de Riemann M, irreducible y simplemente conexo , es de uno de los tres tipos siguientes:
1. Tipo euclidiano : M tiene curvatura evanescente y, por tanto, es isométrico a un espacio euclidiano .
2. Tipo compacto : M tiene curvatura seccional no negativa (pero no idénticamente cero) .
3. Tipo no compacto : M tiene una curvatura seccional no positiva (pero no idénticamente cero).
Un invariante más refinado es el rango , que es la dimensión máxima de un subespacio del espacio tangente (a cualquier punto) en el que la curvatura es idénticamente cero. El rango es siempre al menos uno, siendo igual si la curvatura seccional es positiva o negativa. Si la curvatura es positiva, el espacio es de tipo compacto, y si es negativa, es de tipo no compacto. Los espacios de tipo euclidiano tienen rango igual a su dimensión y son isométricos a un espacio euclidiano de esa dimensión. Por lo tanto, queda por clasificar los espacios simétricos de Riemann irreducibles, simplemente conexos, de tipo compacto y no compacto. En ambos casos hay dos clases.
A. G es un grupo de Lie (real) simple;
B. G es el producto de un grupo de Lie simple y compacto consigo mismo (tipo compacto) o una complejización de dicho grupo de Lie (tipo no compacto).
Los ejemplos de la clase B se describen completamente mediante la clasificación de grupos de Lie simples . Para el tipo compacto, M es un grupo de Lie simple y compacto, simplemente conectado, G es M × M y K es el subgrupo diagonal. Para el tipo no compacto, G es un grupo de Lie simple complejo simplemente conexo y K es su subgrupo compacto máximo. En ambos casos, el rango es el rango de G.
Los grupos de Lie compactos simplemente conectados son las portadas universales de los grupos de Lie clásicos , y de los cinco grupos de Lie excepcionales E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 .
Los ejemplos de la clase A se describen completamente mediante la clasificación de grupos de Lie reales simples no compactos, simplemente conectados. Para el tipo no compacto, G es dicho grupo y K es su subgrupo compacto máximo. Cada uno de estos ejemplos tiene un ejemplo correspondiente de tipo compacto, al considerar un subgrupo compacto máximo de la complejización de G que contiene K. Más directamente, los ejemplos de tipo compacto se clasifican mediante automorfismos involutivos de grupos de Lie simples G compactos simplemente conectados (hasta la conjugación). Tales involuciones se extienden a involuciones de complejización de G , y éstas a su vez clasifican formas reales no compactas de G.
Tanto en la clase A como en la clase B existe, por tanto, una correspondencia entre espacios simétricos de tipo compacto y de tipo no compacto. Esto se conoce como dualidad para los espacios simétricos de Riemann.
Especializándose en los espacios simétricos de Riemann de clase A y de tipo compacto, Cartan descubrió que existen las siguientes siete series infinitas y doce espacios simétricos de Riemann excepcionales G / K . Aquí se dan en términos de G y K , junto con una interpretación geométrica, si está disponible. La denominación de estos espacios es la dada por Cartan.
Una clasificación más moderna (Huang & Leung 2010) clasifica uniformemente los espacios simétricos de Riemann, tanto compactos como no compactos, mediante una construcción de cuadrado mágico freudenthal . Los espacios simétricos de Riemann compactos irreducibles son, hasta coberturas finitas, un grupo de Lie simple compacto, un Grassmanniano, un Grassmanniano Lagrangiano o un Grassmanniano Lagrangiano doble de subespacios de álgebras de división normada A y B. Una construcción similar produce los espacios simétricos de Riemann no compactos e irreducibles.
Una clase importante de espacios simétricos que generalizan los espacios simétricos de Riemann son los espacios simétricos pseudo-riemannianos , en los que la métrica de Riemann se reemplaza por una métrica pseudo-riemanniana (no degenerada en lugar de definida positiva en cada espacio tangente). En particular, los espacios simétricos de Lorentz , es decir, espacios de firma simétricos pseudo-riemannianos de n dimensiones ( n − 1,1), son importantes en la relatividad general , siendo los ejemplos más notables el espacio de Minkowski , el espacio de De Sitter y el espacio anti-de Sitter ( con curvatura cero, positiva y negativa respectivamente). El espacio de De Sitter de dimensión n puede identificarse con el hiperboloide de 1 hoja en un espacio de Minkowski de dimensión n + 1.
Los espacios simétricos y localmente simétricos en general pueden considerarse espacios simétricos afines. Si M = G / H es un espacio simétrico, entonces Nomizu demostró que hay una conexión afín libre de torsión invariante G (es decir, una conexión afín cuyo tensor de torsión desaparece) en M cuya curvatura es paralela . Por el contrario, una variedad con tal conexión es localmente simétrica (es decir, su cubierta universal es un espacio simétrico). Tales variedades también pueden describirse como aquellas variedades afines cuyas simetrías geodésicas son todas difeomorfismos afines definidos globalmente, generalizando el caso riemanniano y pseudoriemanniano.
La clasificación de los espacios simétricos de Riemann no se extiende fácilmente al caso general por la sencilla razón de que no existe una división general de un espacio simétrico en un producto de irreducibles. Aquí un espacio simétrico G / H con álgebra de Lie
se dice que es irreducible si es una representación irreducible de . Como no es semisimple (ni siquiera reductivo) en general, puede tener representaciones indescomponibles que no son irreducibles.
Sin embargo, los espacios simétricos irreducibles se pueden clasificar. Como lo muestra Katsumi Nomizu , existe una dicotomía: un espacio simétrico irreducible G / H es plano (es decir, un espacio afín) o es semisimple. Este es el análogo de la dicotomía riemanniana entre espacios euclidianos y los de tipo compacto o no compacto, y motivó a M. Berger a clasificar espacios simétricos semisimples (es decir, aquellos con semisimples) y determinar cuáles de ellos son irreductibles. Esta última cuestión es más sutil que en el caso riemanniano: incluso si es simple, G / H podría no ser irreductible.
Como en el caso riemanniano existen espacios simétricos semisimples con G = H × H . Cualquier espacio simétrico semisimple es producto de espacios simétricos de esta forma con espacios simétricos tales que sean simples. Queda por describir este último caso. Para esto, es necesario clasificar las involuciones σ de un álgebra de Lie simple (real) . Si no es simple, entonces es un álgebra de Lie simple compleja, y los espacios simétricos correspondientes tienen la forma G / H , donde H es una forma real de G : estos son los análogos de los espacios simétricos de Riemann G / K con G un complejo grupo de Lie simple y K un subgrupo compacto máximo.
Por lo tanto podemos suponer que es simple. La subálgebra real puede verse como el conjunto de puntos fijos de una involución antilineal compleja τ de , mientras que σ se extiende a una involución antilineal compleja de conmutación con τ y, por tanto, también a una involución lineal compleja σ ∘ τ .
Por tanto, la clasificación se reduce a la clasificación de pares conmutantes de involuciones antilineales de un álgebra de Lie compleja. El compuesto σ ∘ τ determina un espacio simétrico complejo, mientras que τ determina una forma real. A partir de esto es fácil construir tablas de espacios simétricos para cualquier dado y, además, existe una dualidad obvia dada al intercambiar σ y τ . Esto extiende la dualidad compacto/no compacto del caso de Riemann, donde σ o τ es una involución de Cartan , es decir, su conjunto de puntos fijos es una subálgebra compacta máxima.
La siguiente tabla indexa los espacios simétricos reales por espacios simétricos complejos y formas reales, para cada grupo de Lie simple complejo clásico y excepcional.
Para grupos de Lie simples excepcionales, el caso de Riemann se incluye explícitamente a continuación, al permitir que σ sea la involución de identidad (indicada por un guión). En las tablas anteriores esto está implícitamente cubierto por el caso kl =0.
En la década de 1950, Atle Selberg amplió la definición de espacio simétrico de Cartan a la de espacio riemanniano débilmente simétrico , o en la terminología actual, espacio débilmente simétrico . Estos se definen como variedades de Riemann M con un grupo de Lie transitivo conectado de isometrías G y una isometría σ que normaliza G tal que dado x , y en M hay una isometría s en G tal que sx = σ y y sy = σ x . ( Ernest Vinberg demostró más tarde que la suposición de Selberg de que σ 2 debería ser un elemento de G era innecesaria .) Selberg demostró que los espacios débilmente simétricos dan lugar a pares de Gelfand , de modo que, en particular, la representación unitaria de G en L 2 ( M ) está libre de multiplicidad.
La definición de Selberg también puede expresarse de manera equivalente en términos de una generalización de la simetría geodésica. Se requiere que para cada punto x en M y vector tangente X en x , exista una isometría s de M , dependiendo de x y X , tal que
Cuando s es independiente de X , M es un espacio simétrico.
En Wolf (2007) se ofrece una descripción de los espacios débilmente simétricos y su clasificación por parte de Akhiezer y Vinberg, basada en la clasificación de automorfismos periódicos de álgebras de Lie complejas semisimples .
Se pueden observar algunas propiedades y formas de espacios simétricos.
El tensor métrico de la variedad de Riemann se puede elevar a un producto escalar combinándolo con la forma Killing . Esto se hace definiendo
Aquí, está la métrica de Riemann definida en y es la forma Killing . El signo menos aparece porque la forma Killing es negativa-definida y esto hace que sea positiva-definida.
El espacio tangente se puede factorizar aún más en espacios propios clasificados mediante la forma Killing. [1] Esto se logra definiendo un mapa adjunto tomando como
donde está la métrica de Riemann y es la forma Killing. Esta aplicación a veces se denomina transpuesta generalizada , ya que corresponde a la transpuesta para los grupos ortogonales y al conjugado hermitiano para los grupos unitarios. Es un funcional lineal y es autoadjunto, por lo que se concluye que existe una base ortonormal de con
Estos son ortogonales con respecto a la métrica, en el sentido de que
ya que la forma Killing es simétrica. Esto se factoriza en espacios propios.
con
para . Para el caso de semisimple, de modo que la forma Killing no sea degenerada, la métrica también factoriza:
En ciertas aplicaciones prácticas, esta factorización puede interpretarse como el espectro de operadores, por ejemplo, el espectro del átomo de hidrógeno, con los valores propios de la forma Killing correspondientes a diferentes valores del momento angular de un orbital ( es decir, la forma Killing es un Casimir) . operador que puede clasificar las diferentes representaciones bajo las cuales se transforman diferentes orbitales.)
La clasificación de espacios simétricos se realiza en función de si la forma Killing es positiva/negativa definida o no.
Si el componente de identidad del grupo de holonomía de una variedad de Riemann en un punto actúa irreduciblemente en el espacio tangente, entonces la variedad es un espacio simétrico localmente riemanniano o pertenece a una de 7 familias .
Un espacio simétrico de Riemann que además está equipado con una estructura compleja paralela compatible con la métrica de Riemann se denomina espacio simétrico hermitiano . Algunos ejemplos son los espacios vectoriales complejos y los espacios proyectivos complejos, ambos con su métrica riemanniana habitual, y las bolas unitarias complejas con métricas adecuadas para que se vuelvan completas y simétricas riemannianas.
Un espacio simétrico irreducible G / K es hermitiano si y sólo si K contiene un círculo central. Un cuarto de vuelta en este círculo actúa como una multiplicación por i en el espacio tangente en la clase lateral identidad. Por tanto, los espacios simétricos hermitianos se pueden leer fácilmente en la clasificación. Tanto en el caso compacto como en el no compacto resulta que hay cuatro series infinitas, a saber, AIII, BDI con p=2 , DIII y CI, y dos espacios excepcionales, a saber, EIII y EVII. Los espacios simétricos hermitianos no compactos se pueden realizar como dominios simétricos acotados en espacios vectoriales complejos.
Un espacio simétrico de Riemann que además está equipado con un subconjunto paralelo de End(TM ) isomorfo a los cuaterniones imaginarios en cada punto, y compatible con la métrica de Riemann, se llama espacio simétrico de cuaternión-Kähler .
Un espacio simétrico irreducible G / K es cuaternión-Kähler si y solo si la representación isotrópica de K contiene un sumando Sp(1) que actúa como los cuaterniones unitarios en un espacio vectorial cuaterniónico . Por lo tanto, los espacios simétricos de Quaternion-Kähler se pueden leer fácilmente en la clasificación. Tanto en el caso compacto como en el no compacto resulta que hay exactamente uno para cada grupo de Lie complejo simple, a saber, AI con p = 2 o q = 2 (estos son isomórficos), BDI con p = 4 o q = 4 , CII con p = 1 o q = 1, EII, EVI, EIX, FI y G.
En el teorema de periodicidad de Bott , los espacios de bucle del grupo ortogonal estable pueden interpretarse como espacios simétricos reductivos.
![{\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}},\;[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\ subconjunto {\mathfrak {m}},\;[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0a4b7805ed1d11244a435410d60f144cbd8d6b)
![{\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {m}}_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d09acef41784a0470bf9d42e2075aa3ffb6f10)
