Teorema de Cartan-Ambrose-Hicks

En matemáticas , el teorema de Cartan-Ambrose-Hicks es un teorema de la geometría de Riemann , según el cual la métrica de Riemann está determinada localmente por el tensor de curvatura de Riemann o, en otras palabras, el comportamiento del tensor de curvatura en traslación paralela determina la métrica.

El teorema lleva el nombre de Élie Cartan , Warren Ambrose y su estudiante de doctorado Noel Hicks. ^[1] Cartan demostró la versión local. Ambrose demostró una versión global que permite isometrías entre variedades riemannianas generales con curvatura variable, en 1956. ^[2] Hicks generalizó aún más esto a variedades generales con conexiones afines en sus haces tangentes , en 1959. ^[3]

Un enunciado y una prueba del teorema se pueden encontrar en ^[4]

Introducción

Sean variedades riemannianas completas y conectadas. Consideramos el problema de mapear isométricamente un pequeño parche en un pequeño parche en . ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Deja y deja ${\displaystyle x\in M,y\in N}$

${\displaystyle I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N}$

ser una isometría lineal . Esto puede interpretarse como un mapeo isométrico de un parche infinitesimal (el espacio tangente) en un parche infinitesimal en . Ahora intentamos extenderlo a un parche finito (en lugar de infinitesimal). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Para aplicaciones suficientemente pequeñas , los mapas exponenciales ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \exp _{x}:B_{r}(x)\subset T_{x}M\rightarrow M,\exp _{y}:B_{r}(y)\subset T_{y}N\rightarrow N}$

son difeomorfismos locales. Aquí, ¿la bola está centrada en de radio? Entonces se define un difeomorfismo por ${\displaystyle B_{r}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle f:B_{r}(x)\rightarrow B_{r}(y)}$

${\displaystyle f=\exp _{y}\circ I\circ \exp _{x}^{-1}.}$

¿Cuándo es una isometría? Intuitivamente, debería ser una isometría si cumple las dos condiciones: ${\displaystyle f}$

• Es una isometría lineal en el espacio tangente de cada punto de , es decir, es una isometría en los parches infinitesimales. ${\displaystyle B_{r}(x)}$
• Preserva el tensor de curvatura en el espacio tangente de cada punto de , es decir, preserva cómo encajan los parches infinitesimales. ${\displaystyle B_{r}(x)}$

Si es una isometría, debe preservar las geodésicas. Por tanto, es natural considerar el comportamiento de cuando lo transportamos a lo largo de un radio geodésico arbitrario que comienza en . Por propiedad del mapeo exponencial, lo mapea a un radio geodésico que comienza en ,. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma :\left[0,T\right]\rightarrow B_{r}(x)\subset M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B_{r}(y)}$ ${\displaystyle f(\gamma )(0)=y}$

Sea el transporte paralelo a lo largo (definido por la conexión Levi-Civita ), y sea el transporte paralelo a lo largo , entonces tenemos el mapeo entre parches infinitesimales a lo largo de los dos radios geodésicos: ${\displaystyle P_{\gamma }(t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P_{f(\gamma )(t)}}$ ${\displaystyle f(\gamma )}$

${\displaystyle I_{\gamma }(t)=P_{f(\gamma )(t)}\circ I\circ P_{\gamma (t)}^{-1}:T_{\gamma (t)}M\rightarrow T_{f(\gamma (t))}N\quad {\text{ for all }}t\in [0,T]}$

teorema de cartan

El teorema original demostrado por Cartan es la versión local del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks.

${\displaystyle f}$es una isometría si y sólo si para todos los radios geodésicos con , y todos , tenemos dónde están los tensores de curvatura de Riemann de . ${\displaystyle \gamma :\left[0,T\right]\rightarrow B_{r}(x)\subset M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle t\in [0,T],X,Y,Z\in T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle I_{\gamma }(t)(R(X,Y,Z))={\overline {R}}(I_{\gamma }(t)(X),I_{\gamma }(t)(Y),I_{\gamma }(t)(Z))}$ ${\displaystyle R,{\overline {R}}}$ ${\displaystyle M,N}$

En palabras, afirma que es una isometría si y sólo si la única forma de preservar su isometría infinitesimal preserva también la curvatura de Riemann. ${\displaystyle f}$

Tenga en cuenta que, en general, no tiene por qué ser un difeomorfismo, sino solo un mapa de cobertura isométrico local . Sin embargo, debe ser una isometría global si es simplemente conexa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$

Teorema de Cartan-Ambrose-Hicks

Teorema : Para los tensores de curvatura de Riemann y todas las geodésicas rotas (una geodésica rota es una curva que es geodésica por partes) con , supongamos que ${\displaystyle R,{\overline {R}}}$ ${\displaystyle \gamma :\left[0,T\right]\rightarrow M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$

${\displaystyle I_{\gamma }(t)(R(X,Y,Z))={\overline {R}}(I_{\gamma }(t)(X),I_{\gamma }(t)(Y),I_{\gamma }(t)(Z))}$

para todos . ${\displaystyle t\in [0,T],X,Y,Z\in T_{\gamma (t)}M}$

Entonces, si dos geodésicas rotas que comienzan en tienen el mismo punto final, las geodésicas rotas correspondientes (mapeadas por ) en también tienen el mismo punto final. En consecuencia, existe un mapa definido mapeando los puntos finales geodésicos rotos en los puntos finales geodésicos correspondientes en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{\gamma }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

El mapa es un mapa de cobertura localmente isométrico. ${\displaystyle F:M\rightarrow N}$

Si también es simplemente conexo, entonces es una isometría. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$

Espacios localmente simétricos

Una variedad de Riemann se llama localmente simétrica si su tensor de curvatura de Riemann es invariante bajo transporte paralelo:

${\displaystyle \nabla R=0.}$

Una variedad de Riemann simplemente conexa es localmente simétrica si es un espacio simétrico .

Del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks, tenemos:

Teorema : Sean variedades de Riemann localmente simétricas, completas y conexas, y sean simplemente conexas. Sean sus tensores de curvatura de Riemann . dejar y ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R,{\overline {R}}}$ ${\displaystyle x\in M,y\in N}$

${\displaystyle I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N}$

ser una isometría lineal con . Entonces existe un mapa de cobertura localmente isométrico. ${\displaystyle I(R(X,Y,Z))={\overline {R}}(I(X),I(Y),I(Z))}$

${\displaystyle F:M\rightarrow N}$

con y . ${\displaystyle F(x)=y}$ ${\displaystyle D_{x}F=I}$

Corolario : Cualquier espacio localmente simétrico completo tiene la forma , donde es un espacio simétrico y es un subgrupo discreto de isometrías de . ${\displaystyle M/\Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {Isom} (M)}$ ${\displaystyle M}$

Clasificación de formas espaciales.

Como aplicación del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks, cualquier variedad de Riemann completa, simplemente conexa y con curvatura seccional constante es, respectivamente, isométrica a la n -esfera , al espacio n -euclidiano y al espacio n -hiperbólico . ${\displaystyle \in \{+1,0,-1\}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

Referencias

1. Proyecto de genealogía de matemáticas, entrada de Noel Justin Hicks
2. Ambrosio, W. (1956). "Traducción paralela de la curvatura de Riemann". Los Anales de las Matemáticas . 64 (2). JSTOR: 337. doi : 10.2307/1969978. ISSN  0003-486X.
3. Hicks, Noël (1959). "Un teorema sobre conexiones afines". Revista de Matemáticas de Illinois . 3 (2): 242–254. doi : 10.1215/ijm/1255455125 . ISSN  0019-2082.
4. Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008). "Capítulo 1, Sección 12, El teorema de Cartan-Ambrose-Hicks". Teoremas de comparación en geometría de Riemann . Providencia, Rhode Island: Pub AMS Chelsea. ISBN 0-8218-4417-2. OCLC  185095562.