Descomposición de Cartan

Descomposición matricial generalizada para grupos de Lie y álgebras de Lie

En matemáticas, la descomposición de Cartan es una descomposición de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie , que juega un papel importante en su teoría de la estructura y teoría de la representación . Generaliza la descomposición polar o descomposición en valores singulares de matrices. Su historia se remonta a la obra de Élie Cartan y Wilhelm Killing de la década de 1880 . ^[1]

Involuciones de Cartan en álgebras de Lie

Sea un álgebra de Lie semisimple real y sea su forma Killing . Una involución es un automorfismo del álgebra de Lie cuyo cuadrado es igual a la identidad. Tal involución se llama involución de Cartan si es una forma bilineal definida positiva . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)}$

Dos involuciones y se consideran equivalentes si difieren sólo por un automorfismo interno . ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Cualquier álgebra de Lie semisimple real tiene una involución de Cartan, y dos involuciones de Cartan cualesquiera son equivalentes.

Ejemplos

• Una involución de Cartan está definida por , donde denota la matriz transpuesta de . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle X^{T}}$ ${\displaystyle X}$
• El mapa de identidad es una involución. Es la única involución de Cartan de si y sólo si la forma Killing de es definida negativa o, de manera equivalente, si y sólo si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto semisimple. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Sea la complejización de un álgebra de Lie semisimple real , entonces la conjugación compleja en es una involución en . Esta es la involución de Cartan si y sólo si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Los siguientes mapas son involuciones del álgebra de Lie del grupo unitario especial SU(n) : ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$
  1. La involución identitaria , que es la única involución de Cartan en este caso. ${\displaystyle \theta _{1}(X)=X}$
  2. Conjugación compleja , expresable como en . ${\displaystyle \theta _{2}(X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$
  3. Si es impar ,. Las involuciones (1), (2) y (3) son equivalentes, pero no equivalentes a la involución identidad desde . ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle \theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)}$
  4. Si es par, también lo hay . ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle \theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}}$

pares de cartas

Sea una involución sobre un álgebra de Lie . Desde entonces , el mapa lineal tiene dos valores propios . Si y denotan los espacios propios correspondientes a +1 y -1, respectivamente, entonces . Dado que es un automorfismo de álgebra de Lie, el corchete de Lie de dos de sus espacios propios está contenido en el espacio propio correspondiente al producto de sus valores propios. Resulta que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta ^{2}=1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$, , y . ${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$

Por tanto, es una subálgebra de Lie, mientras que cualquier subálgebra de es conmutativa. ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Por el contrario, una descomposición con estas propiedades adicionales determina una involución que sigue y sigue . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Tal par también se llama par de Cartan y se llama par simétrico . Esta noción de un par de Cartan aquí no debe confundirse con la noción distinta que involucra la cohomología relativa del álgebra de Lie . ${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$ ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

La descomposición asociada a una involución de Cartan se denomina descomposición de Cartan . La característica especial de una descomposición de Cartan es que la forma Killing es definida negativa y definida positiva . Además, y son complementos ortogonales entre sí con respecto a la forma Killing en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Descomposición de Cartan a nivel del grupo de Lie

Sea un grupo de Lie semisimple no compacto y su álgebra de Lie. Sea una involución de Cartan y sea el par de Cartan resultante. Sea el subgrupo analítico de con álgebra de Lie . Entonces: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

• Existe un automorfismo de grupo de Lie con diferencial en la identidad que satisface . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta ^{2}=1}$
• El subgrupo de elementos fijado por es ; en particular, es un subgrupo cerrado. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$
• El mapeo dado por es un difeomorfismo . ${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle (k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)}$
• El subgrupo es un subgrupo compacto máximo de , siempre que el centro de G sea finito. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

El automorfismo también se llama involución global de Cartan , y el difeomorfismo se llama descomposición global de Cartan . Si escribimos esto dice que el mapa del producto es un difeomorfismo entonces . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G}$ ${\displaystyle K\times P\rightarrow G}$ ${\displaystyle G=KP}$

Para el grupo lineal general, es una involución de Cartan. ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle X\mapsto (X^{-1})^{T}}$

Un refinamiento de la descomposición de Cartan para espacios simétricos de tipo compacto o no compacto establece que las subálgebras abelianas máximas en son únicas hasta la conjugación por . Además, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}}$

dónde . ${\displaystyle A=e^{\mathfrak {a}}}$

En el caso compacto y no compacto, la descomposición global de Cartan implica

${\displaystyle G=KP=KAK,}$

Geométricamente la imagen del subgrupo en es una subvariedad totalmente geodésica . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G/K}$

Relación con la descomposición polar

Consideremos con la involución de Cartan . ^{[ aclaración necesaria ]} Entonces es el álgebra de Lie real de matrices simétricas sesgadas, de modo que , while es el subespacio de matrices simétricas. Por tanto, el mapa exponencial es un difeomorfismo desde el espacio de matrices definidas positivas. Hasta este mapa exponencial, la descomposición global de Cartan es la descomposición polar de una matriz. La descomposición polar de una matriz invertible es única. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle K=\mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Ver también

• Descomposiciones de grupos de mentiras.

Notas

1. Kleiner 2007

Referencias

• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 80, Prensa académica, ISBN 0-8218-2848-7, SEÑOR  0514561
• Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.). Una historia del álgebra abstracta . Boston, MA: Birkhäuser. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0817646844. SEÑOR  2347309.
• Knapp, Anthony W. (2005) [1996]. Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. vol. 140 (2ª ed.). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. SEÑOR  1920389.