En matemáticas , un par de Gelfand es un par ( G , K ) que consta de un grupo G y un subgrupo K (llamado subgrupo de Euler de G ) que satisface una determinada propiedad en representaciones restringidas . La teoría de los pares de Gelfand está estrechamente relacionada con el tema de las funciones esféricas en la teoría clásica de funciones especiales , y con la teoría de los espacios simétricos de Riemann en la geometría diferencial . En términos generales, la teoría existe para abstraer de estas teorías su contenido en términos de análisis armónico y teoría de la representación .
Cuando G es un grupo finito, la definición más simple es, en términos generales, que las clases laterales dobles ( K , K ) en G conmutan. Más precisamente, el álgebra de Hecke , el álgebra de funciones en G que son invariantes bajo traducción en ambos lados por K , debería ser conmutativa para la convolución en G.
En general, la definición del par de Gelfand es aproximadamente que la restricción a K de cualquier representación irreducible de G contiene la representación trivial de K con multiplicidad no mayor que 1. En cada caso, se debe especificar la clase de representaciones consideradas y el significado de "contiene".
En cada área, la clase de representaciones y la definición de contención de las representaciones es ligeramente diferente. Aquí se dan definiciones explícitas en varios de estos casos.
Cuando G es un grupo finito, los siguientes son equivalentes
Cuando G es un grupo topológico compacto, los siguientes son equivalentes:
Cuando G es un grupo de Lie y K es un subgrupo compacto, lo siguiente es equivalente:
Para obtener una clasificación de estos pares de Gelfand, consulte. [1]
Ejemplos clásicos de tales pares de Gelfand son ( G , K ), donde G es un grupo de Lie reductivo y K es un subgrupo compacto máximo .
Cuando G es un grupo topológico localmente compacto y K es un subgrupo compacto, lo siguiente es equivalente:
En ese contexto, G tiene una descomposición de Iwasawa - Monod , es decir, G = KP para algún subgrupo P de G susceptible . [2] Este es el análogo abstracto de la descomposición de Iwasawa de grupos de Lie semisimples .
Cuando G es un grupo de Lie y K es un subgrupo cerrado , el par ( G , K ) se llama par de Gelfand generalizado si para cualquier representación unitaria irreducible π de G en un espacio de Hilbert la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual a 1, donde π ∞ denota la subrepresentación de vectores suaves .
Cuando G es un grupo reductor sobre un campo local y K es un subgrupo cerrado, existen tres nociones (posiblemente no equivalentes) del par de Gelfand que aparecen en la literatura. Los llamaremos aquí GP1, GP2 y GP3.
GP1) Para cualquier representación admisible irreducible π de G la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual a 1.
GP2) Para cualquier representación admisible irreducible π de G tenemos , donde denota el dual suave .
GP3) Para cualquier representación unitaria irreducible π de G en un espacio de Hilbert la dimensión de Hom K ( π , C ) es menor o igual a 1.
Aquí, representación admisible es la noción habitual de representación admisible cuando el campo local no es de Arquímedes. Cuando el campo local es de Arquímedes, la representación admisible significa una representación suave de Fréchet de crecimiento moderado, de modo que el correspondiente módulo de Harish-Chandra sea admisible .
Si el campo local es de Arquímedes, entonces GP3 es igual a la propiedad de Gelfand generalizada definida en el caso anterior.
Claramente, GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3.
Un par ( G , K ) se llama par de Gelfand fuerte si el par ( G × K , Δ K ) es un par de Gelfand, donde Δ K ≤ G × K es el subgrupo diagonal: {( k , k ) en G × K : k en K }. A veces, esta propiedad también se denomina propiedad de la multiplicidad uno .
Cada uno de los casos anteriores se puede adaptar a pares Gelfand fuertes. Por ejemplo, sea G un grupo finito. Entonces los siguientes son equivalentes.
En este caso, existe un criterio clásico debido a Gelfand para que el par ( G , K ) sea Gelfand: supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G st cualquier doble clase lateral ( K , K ) es σ invariante. Entonces el par ( G , K ) es un par de Gelfand.
Este criterio es equivalente al siguiente: Supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier función en G que sea invariante con respecto a las traslaciones derecha e izquierda de K es σ invariante. Entonces el par ( G , K ) es un par de Gelfand.
En este caso, existe un criterio debido a Gelfand y Kazhdan para que la pareja ( G , K ) satisfaga GP2. Supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier distribución ( K , K )-doble invariante en G es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) satisface GP2; ver. [3] [4] [5]
Si la afirmación anterior es válida sólo para distribuciones definidas positivas, entonces el par satisface GP3 (consulte el siguiente caso).
La propiedad GP1 a menudo se deriva de GP2. Por ejemplo, esto es válido si existe un antiautomorfismo involutivo de G que preserva K y preserva cada clase de conjugación cerrada. Para G = GL( n ) la transposición puede servir como tal involución.
En este caso, existe el siguiente criterio para que el par ( G , K ) sea un par de Gelfand generalizado. Supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G st. Cualquier distribución definida positiva invariante K × K en G es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) es un par de Gelfand generalizado; ver. [6]
Todos los criterios anteriores se pueden convertir en criterios para pares de Gelfand fuertes reemplazando la acción bilateral de K × K por la acción de conjugación de K.
Una generalización de la noción de par de Gelfand es la noción de par de Gelfand retorcido. Es decir, un par ( G , K ) se llama par trenzado de Gelfand con respecto al carácter χ del grupo K , si la propiedad de Gelfand se cumple cuando la representación trivial se reemplaza con el carácter χ. Por ejemplo, en el caso de que K sea compacto significa que la dimensión de Hom K (π, χ)) es menor o igual a 1. Se puede adaptar el criterio para pares de Gelfand al caso de pares de Gelfand trenzados.
La propiedad de Gelfand suele satisfacerse mediante pares simétricos . Un par ( G , K ) se llama par simétrico si existe un automorfismo involutivo θ de G tal que K es una unión de componentes conectados del grupo de θ -elementos invariantes: G θ .
Si G es un grupo reductor conectado sobre R y K = G θ es un subgrupo compacto, entonces ( G , K ) es un par de Gelfand. Ejemplo: G = GL( n , R ) y K = O( n , R ), el subgrupo de matrices ortogonales .
En general, es interesante saber cuándo un par simétrico de un grupo reductor sobre un campo local tiene la propiedad de Gelfand. Para pares simétricos de rango uno, esta cuestión se investigó en [7] y [8]
Un ejemplo de par simétrico de Gelfand de alto rango es (GL( n+k ), GL( n ) × GL( k )). Esto se demostró en [9] sobre campos locales no arquímedes y posteriormente en [10] para todos los campos locales de característica cero.
Para obtener más detalles sobre esta pregunta para pares simétricos de alto rango, consulte. [11]
En el contexto de los grupos algebraicos, los análogos de los pares de Gelfand se denominan pares esféricos . Es decir, un par ( G , K ) de grupos algebraicos se denomina par esférico si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes.
En este caso, el espacio G / H se denomina espacio esférico .
Se conjetura que cualquier par esférico ( G , K ) sobre un campo local satisface la siguiente versión débil de la propiedad de Gelfand: Para cualquier representación admisible π de G , el espacio Hom K ( π , C ) es de dimensión finita. Además, el límite de esta dimensión no depende de π . Esta conjetura se demuestra para una gran clase de pares esféricos, incluidos todos los pares simétricos. [12]
Los pares de Gelfand se utilizan a menudo para clasificar representaciones irreducibles de la siguiente manera: Sea ( G , K ) un par de Gelfand. Una representación irreducible de G llamada K -distinguida si Hom K ( π , C ) es unidimensional. La representación indiaG
k( C ) es un modelo para todas las K -representaciones distinguidas, es decir, cualquier K -representaciones distinguidas aparece allí con una multiplicidad exactamente 1. Existe una noción similar para los pares trenzados de Gelfand.
Ejemplo: si G es un grupo reductor sobre un campo local y K es su subgrupo compacto máximo, entonces K representaciones distinguidas se denominan esféricas; dichas representaciones se pueden clasificar mediante la correspondencia de Satake. La noción de representación esférica está en la base de la noción de módulo Harish-Chandra .
Ejemplo: si G es un grupo reductor dividido sobre un campo local y K es su subgrupo unipotente máximo, entonces el par ( G , K ) está retorcido por el par Gelfand con cualquier carácter no degenerado ψ (ver [3] [13] ). En este caso, las representaciones K distinguidas se denominan genéricas (o no degeneradas) y son fáciles de clasificar. Casi cualquier representación irreductible es genérica. La incorporación única (hasta escalar) de una representación genérica a IndG
k(ψ) se llama modelo de Whittaker .
En el caso de G = GL( n ) hay una versión más fina del resultado anterior, es decir, existe una secuencia finita de subgrupos Ki y caracteres st ( G , Ki ) es un par de Gelfand retorcido wrt y cualquier representación unitaria irreducible es K i distinguió exactamente una i (ver [14] [15] ).
También se pueden usar pares de Gelfand para construir bases para representaciones irreducibles: supongamos que tenemos una secuencia {1} ⊂ G 1 ⊂ ... ⊂ G n st ( G i , G i −1 ) es un par de Gelfand fuerte. Por simplicidad supongamos que G n es compacto. Entonces esto da una descomposición canónica de cualquier representación irreducible de G n en subrepresentaciones unidimensionales. Cuando G n = U( n ) (el grupo unitario), esta construcción se denomina base de Gelfand Zeitlin. Dado que las representaciones de U( n ) son las mismas que las representaciones algebraicas de GL( n ), también obtenemos una base de cualquier representación algebraica irreducible de GL( n ). Sin embargo, hay que tener en cuenta que la base construida no es canónica ya que depende de la elección de las incrustaciones U( i ) ⊂ U( i +1).
Un uso más reciente de los pares de Gelfand es para dividir períodos de formas automórficas.
Sea G un grupo reductivo definido sobre un campo global F y sea K un subgrupo algebraico de G . Supongamos que para cualquier lugar de F el par ( G , K ) es un par de Gelfand sobre la terminación . Sea m una forma automórfica sobre G , entonces su período H se divide como producto de factores locales (es decir, factores que dependen sólo del comportamiento de m en cada lugar ).
Ahora supongamos que se nos da una familia de formas automórficas con un parámetro complejo s . Entonces el período de esas formas es una función analítica que se descompone en un producto de factores locales. A menudo esto significa que esta función es una determinada función L y esto proporciona una continuación analítica y una ecuación funcional para esta función L.
Observación: normalmente esos períodos no convergen y conviene regularizarlos.
Un posible enfoque a la teoría de la representación es considerar la teoría de la representación de un grupo G como un análisis armónico del grupo G frente a la acción bilateral de G × G. De hecho, conocer todas las representaciones irreducibles de G equivale a conocer la descomposición del espacio de funciones en G como una representación G × G. En este enfoque, la teoría de la representación se puede generalizar reemplazando el par ( G × G , G ) por cualquier par esférico ( G , K ). Luego nos llevaremos a la cuestión del análisis armónico en el espacio G / K frente a la acción de G .
Ahora bien, la propiedad de Gelfand para el par ( G , K ) es análoga al lema de Schur .
Utilizando este enfoque se pueden tomar cualquier concepto de la teoría de la representación y generalizarlo al caso de un par esférico. Por ejemplo, la fórmula de traza relativa se obtiene a partir de la fórmula de traza mediante este procedimiento.
Algunos ejemplos comunes de pares Gelfand son:
Si ( G , K ) es un par de Gelfand, entonces ( G / N , K / N ) es un par de Gelfand para cada G - subgrupo normal N de K . Para muchos propósitos, es suficiente considerar K sin ningún subgrupo normal sin identidad. La acción de G sobre las clases laterales de K es , por tanto, fiel, por lo que entonces se consideran grupos de permutación G con estabilizadores puntuales K. Ser un par de Gelfand equivale a por cada χ en Irr( G ). Dado que según Frobenius la reciprocidad y es el carácter de la acción de permutación, un grupo de permutación define un par de Gelfand si y sólo si el carácter de permutación es el llamado carácter de permutación libre de multiplicidad . Estos caracteres de permutación libres de multiplicidad se determinaron para los grupos esporádicos en (Breuer y Lux 1996).
Esto da lugar a una clase de ejemplos de grupos finitos con pares de Gelfand: los grupos 2-transitivos . Un grupo de permutación G es 2-transitivo si el estabilizador K de un punto actúa transitivamente sobre los puntos restantes. En particular, G el grupo simétrico en n +1 puntos y K el grupo simétrico en n puntos forman un par de Gelfand para cada n ≥ 1. Esto se deduce porque el carácter de una acción de permutación transitiva 2 es de la forma 1+ χ para algún carácter irreductible χ y el carácter trivial 1, (Isaacs 1994, p. 69).
De hecho, si G es un grupo de permutación transitivo cuyo estabilizador puntual K tiene como máximo cuatro órbitas (incluida la órbita trivial que contiene sólo el punto estabilizado), entonces su anillo de Schur es conmutativo y ( G , K ) es un par de Gelfand (Wielandt 1964). , pág.86). Si G es un grupo primitivo de grado dos veces primo con estabilizador puntual K , entonces nuevamente ( G , K ) es un par de Gelfand (Wielandt 1964, p. 97).
Los pares Gelfand (Sym( n ), K ) se clasificaron en (Saxl 1981). En términos generales, K debe estar contenido como un subgrupo de índice pequeño en uno de los siguientes grupos a menos que n sea menor que 18: Sym( n − k )× Sym( k ), Sym( n /2) wr Sym(2), Sym(2) wr Sym( n /2) para n par , Sym( n − 5) × AGL(1,5), Sym( n − 6) × PGL(2,5), o Sym( n − 9) × PΓL(2,8). También se han investigado los pares de Gelfand para grupos clásicos.
Sea F un campo local de característica cero.
Sea F un campo local de característica cero. Sea G un grupo reductivo sobre F . Los siguientes son ejemplos de pares Gelfand simétricos de alto rango:
Los siguientes pares son pares Gelfand fuertes:
Esos cuatro ejemplos se pueden reformular como la afirmación de que los siguientes son pares de Gelfand:
![{\displaystyle [1_ {K},\chi \downarrow _ {K}^{G}]\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3360c36f6d8e0f7f5b312cbc46d6caa8e14764c)
![{\displaystyle [1_ {K},\chi \downarrow _ {K}^{G}]=[1\uparrow _ {K}^{G},\chi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05efb2d7098b56139503d959b867ce38a21db26e)
