Álgebra de Lie simétrica ortogonal

En matemáticas , un álgebra de Lie simétrica ortogonal es un par que consta de un álgebra de Lie real y un automorfismo de orden tal que el espacio propio de s correspondiente a 1 (es decir, el conjunto de puntos fijos ) es una subálgebra compacta . Si se omite la "compacidad", se denomina álgebra de Lie simétrica . Se dice que un álgebra de Lie simétrica ortogonal es efectiva si cruza trivialmente el centro de . En la práctica, a menudo se da por sentado la eficacia; También hacemos esto en este artículo. ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El ejemplo canónico es el álgebra de Lie de un espacio simétrico , siendo el diferencial de una simetría. ${\displaystyle s}$

Sea álgebra de Lie simétrica ortogonal efectiva y denote el espacio propio -1 de . Decimos que es de tipo compacto si es compacto y semisimple . Si en cambio es no compacta, semisimple, y si es una descomposición de Cartan, entonces es de tipo no compacta . Si es un ideal abeliano , entonces se dice que es de tipo euclidiano . ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {u}}+{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},s)}$

Cada álgebra de Lie simétrica ortogonal efectiva se descompone en una suma directa de ideales , y , cada invariante bajo y ortogonal con respecto a la forma Killing de , y tal que si , y denotan la restricción de a , y , respectivamente, entonces , y son Álgebras de Lie simétricas ortogonales efectivas de tipo euclidiano, tipo compacto y tipo no compacto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle s_{-}}$ ${\displaystyle s_{+}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{0},s_{0})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{-},s_{-})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+},s_{+})}$

Referencias

• Helgason, Sigurdur (2001). Geometría diferencial, grupos de mentiras y espacios simétricos. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-2848-9.