holonomía

Concepto en geometría diferencial

Transporte paralelo sobre una esfera a lo largo de una trayectoria suave por tramos. El vector inicial se etiqueta como , se transporta paralelo a lo largo de la curva y el vector resultante se etiqueta como . El resultado del transporte paralelo será diferente si se varía el camino. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\gamma }(V)}$

En geometría diferencial , la holonomía de una conexión en una variedad suave es una consecuencia geométrica general de la curvatura de la conexión que mide hasta qué punto el transporte paralelo alrededor de bucles cerrados no logra preservar los datos geométricos que se transportan. Para las conexiones planas, la holonomía asociada es un tipo de monodromía y es una noción inherentemente global. Para las conexiones curvas, la holonomía tiene características locales y globales no triviales.

Cualquier tipo de conexión en una variedad da lugar, a través de sus mapas de transporte paralelo, a alguna noción de holonomía. Las formas más comunes de holonomía son las conexiones que poseen algún tipo de simetría . Ejemplos importantes incluyen: holonomía de la conexión Levi-Civita en la geometría de Riemann (llamada holonomía de Riemann ), holonomía de conexiones en haces de vectores , holonomía de conexiones de Cartan y holonomía de conexiones en haces principales . En cada uno de estos casos, la holonomía de la conexión puede identificarse con un grupo de Lie , el grupo de holonomía . La holonomía de una conexión está estrechamente relacionada con la curvatura de la conexión, mediante el teorema de Ambrose-Singer .

El estudio de la holonomía de Riemann ha dado lugar a una serie de avances importantes. La holonomía fue introducida por Élie Cartan  (1926) con el fin de estudiar y clasificar espacios simétricos . No fue hasta mucho más tarde que los grupos de holonomía se utilizarían para estudiar la geometría de Riemann en un entorno más general. En 1952, Georges de Rham demostró el teorema de descomposición de De Rham , un principio para dividir una variedad de Riemann en un producto cartesiano de variedades de Riemann dividiendo el paquete tangente en espacios irreducibles bajo la acción de los grupos de holonomía locales. Posteriormente, en 1953, Marcel Berger clasificó las posibles holonomías irreductibles. La descomposición y clasificación de la holonomía de Riemann tiene aplicaciones a la física y a la teoría de cuerdas .

Definiciones

Holonomía de una conexión en un paquete de vectores.

Sea E un paquete de vectores de rango k sobre una variedad suave M y sea ∇ una conexión en E. Dado un bucle suave por partes γ  : [0,1] → M basado en x en M , la conexión define un mapa de transporte paralelo P _γ  : E _x → E _x en la fibra de E en x . Este mapa es a la vez lineal e invertible, por lo que define un elemento del grupo lineal general GL( E _x ). El grupo de holonomía de ∇ basado en x se define como

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.}$

El grupo de holonomía restringida basado en x es el subgrupo que proviene de bucles  contráctiles γ . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}$

Si M es conexo , entonces el grupo de holonomía depende del punto base x solo hasta la conjugación en GL( k , R ). Explícitamente, si γ es un camino de x a y en M , entonces

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}$

La elección de diferentes identificaciones de E _x con R ^k también da como resultado subgrupos conjugados. A veces, particularmente en discusiones generales o informales (como las que aparecen a continuación), se puede omitir la referencia al punto base, entendiendo que la definición es buena hasta la conjugación.

Algunas propiedades importantes del grupo de holonomía incluyen:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$es un subgrupo de Lie conectado de GL( k , R ).
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$es el componente identitario de ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla ).}$
• Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo natural donde está el grupo fundamental de M , que envía la clase de homotopía a la clase lateral ${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle [\gamma ]}$ ${\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• Si M es simplemente conexo , entonces ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• ∇ es plano (es decir, tiene curvatura evanescente) si y sólo si es trivial. ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$

Holonomía de una conexión en un paquete principal

La definición de holonomía de conexiones en haces principales procede de forma paralela. Sea G un grupo de Lie y P un paquete G principal sobre una variedad suave M que es paracompacta . Sea ω una conexión en P . Dado un bucle suave por tramos γ  : [0,1] → M basado en x en M y un punto p en la fibra sobre x , la conexión define una elevación horizontal única tal que El punto final de la elevación horizontal, , generalmente no ser p sino algún otro punto p · g en la fibra sobre x . Defina una relación de equivalencia ~ en P diciendo que p ~ q si pueden unirse mediante una trayectoria horizontal suave por tramos en P . ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

El grupo de holonomía de ω basado en p se define entonces como

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

El grupo de holonomía restringida basado en p es el subgrupo que proviene de elevaciones horizontales de bucles  contráctiles γ . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Si M y P están conectados , entonces el grupo de holonomía depende del punto base p solo hasta la conjugación en G. Explícitamente, si q es cualquier otro punto base elegido para la holonomía, entonces existe un único g ∈ G tal que q ~ p · g . Con este valor de g ,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}$

En particular,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}$

Además, si p ~ q entonces Como anteriormente, a veces se elimina la referencia al punto base del grupo de holonomía, en el entendido de que la definición es buena hasta la conjugación. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}$

Algunas propiedades importantes de la holonomía y los grupos de holonomía restringida incluyen:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$es un subgrupo de Lie conectado de G .
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$es el componente identitario de ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$
• Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo natural. ${\displaystyle \pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• Si M es simplemente conexo entonces ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• ω es plano (es decir, tiene curvatura evanescente) si y sólo si es trivial. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Paquetes de holonomía

Sea M una variedad suave paracompacta conectada y P un haz G principal con conexión ω, como arriba. Sea p ∈ P un punto arbitrario del fibrado principal. Sea H ( p ) el conjunto de puntos en P que pueden unirse a p mediante una curva horizontal. Entonces se puede demostrar que H ( p ), con el mapa de proyección evidente, es un paquete principal sobre M con grupo de estructura. Este paquete principal se llama paquete de holonomía (a través de p ) de la conexión. La conexión ω se restringe a una conexión en H ( p ), ya que sus mapas de transporte paralelo preservan H ( p ). Por tanto, H ( p ) es un paquete reducido para la conexión. Además, dado que no se conserva ningún subhaz de H ( p ) mediante transporte paralelo, dicha reducción es mínima. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

Al igual que con los grupos de holonomía, el paquete de holonomía también se transforma de manera equivariante dentro del paquete principal ambiental P. En detalle, si q ∈ P es otro punto base elegido para la holonomía, entonces existe un único g ∈ G tal que q ~ p g (ya que, por supuesto, M está conectado por camino). Por lo tanto H ( q ) = H ( p ) g . Como consecuencia, las conexiones inducidas en paquetes de holonomía correspondientes a diferentes elecciones de punto base son compatibles entre sí: sus mapas de transporte paralelo diferirán precisamente en el mismo elemento g .

Monodromía

El paquete de holonomía H ( p ) es un paquete principal y, por lo tanto, también admite una acción del grupo de holonomía restringido (que es un subgrupo normal del grupo de holonomía completo). El grupo discreto se llama grupo monodromía de la conexión; actúa sobre el paquete cociente. Hay un homomorfismo sobreyectivo de modo que actúa sobre Esta acción del grupo fundamental es una representación monodromía del grupo fundamental. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$ ${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$ ${\displaystyle \varphi \left(\pi _{1}(M)\right)}$ ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Holonomía local e infinitesimal

Si π: P → M es un paquete principal y ω es una conexión en P , entonces la holonomía de ω puede restringirse a la fibra sobre un subconjunto abierto de M. De hecho, si U es un subconjunto abierto conexo de M , entonces ω se restringe para dar una conexión en el paquete π ⁻¹ U sobre U. La holonomía (resp. holonomía restringida) de este paquete se denotará por (resp. ) para cada p con π( p ) ∈ U . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)}$

Si U ⊂ V son dos conjuntos abiertos que contienen π( p ), entonces hay una inclusión evidente

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$

El grupo de holonomía local en un punto p está definido por

${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})}$

para cualquier familia de conjuntos abiertos conectados anidados U _k con . ${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$

El grupo de holonomía local tiene las siguientes propiedades:

1. Es un subgrupo de Lie conectado del grupo de holonomía restringida. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
2. Cada punto p tiene una vecindad V tal que , en particular, el grupo de holonomía local depende sólo del punto p , y no de la elección de la secuencia U _k utilizada para definirlo. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$
3. La holonomía local es equivariante con respecto a la traducción por elementos del grupo estructural G de P ; es decir, para todo g ∈ G . (Tenga en cuenta que, según la propiedad 1, el grupo de holonomía local es un subgrupo de Lie conectado de G , por lo que el adjunto está bien definido). ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} \left(g^{-1}\right)\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )}$

El grupo de holonomía local no se comporta bien como objeto global. En particular, su dimensión puede no ser constante. Sin embargo, se cumple el siguiente teorema:

Si la dimensión del grupo de holonomía local es constante, entonces la holonomía local y restringida concuerdan: ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Teorema de Ambrose-Singer

El teorema de Ambrose-Singer (debido a Warren Ambrose e Isadore M. Singer  (1953)) relaciona la holonomía de una conexión en un paquete principal con la forma de curvatura de la conexión. Para hacer plausible este teorema, consideremos el caso familiar de una conexión afín (o una conexión en el haz tangente, la conexión Levi-Civita, por ejemplo). La curvatura surge cuando uno viaja alrededor de un paralelogramo infinitesimal.

En detalle, si σ: [0, 1] × [0, 1] → M es una superficie en M parametrizada por un par de variables x e y , entonces un vector V puede transportarse alrededor del límite de σ: primero a lo largo de ( x , 0), luego a lo largo de (1, y ), seguido de ( x , 1) en la dirección negativa, y luego (0, y ) de regreso al punto de origen. Este es un caso especial de bucle de holonomía: el elemento del grupo de holonomía actúa sobre el vector V correspondiente a la elevación del límite de σ. La curvatura entra explícitamente cuando el paralelogramo se reduce a cero, atravesando el límite de paralelogramos más pequeños sobre [0, x ] × [0, y ]. Esto corresponde a tomar una derivada de los mapas de transporte paralelo en x = y = 0:

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}$

donde R es el tensor de curvatura . ^[3] Entonces, hablando en términos generales, la curvatura da la holonomía infinitesimal sobre un bucle cerrado (el paralelogramo infinitesimal). Más formalmente, la curvatura es el diferencial de la acción de la holonomía en la identidad del grupo de holonomía. En otras palabras, R ( X , Y ) es un elemento del álgebra de Lie de ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

En general, considere la holonomía de una conexión en un paquete principal P → M sobre P con grupo de estructura G. Sea g el álgebra de Lie de G , la forma de curvatura de la conexión es un Ω de 2 formas con valor g en P. El teorema de Ambrose-Singer establece: ^[4]

El álgebra de Lie está abarcada por todos los elementos de g de la forma como q abarca todos los puntos que pueden unirse a p mediante una curva horizontal ( q ~ p ), y X e Y son vectores tangentes horizontales en q . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

Alternativamente, el teorema se puede reformular en términos del paquete de holonomía: ^[5]

El álgebra de Lie de es el subespacio de g abarcado por elementos de la forma donde q ∈ H ( p ) y X e Y son vectores horizontales en q . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

Holonomía riemanniana

La holonomía de una variedad de Riemann ( M , g ) es el grupo de holonomía de la conexión de Levi-Civita en el paquete tangente a M . Una variedad de Riemann n - dimensional 'genérica' tiene una holonomía O( n ) , o SO( n ) si es orientable . Las variedades cuyos grupos de holonomía son subgrupos propios de O ( n ) o SO ( n ) tienen propiedades especiales.

Uno de los primeros resultados fundamentales sobre la holonomía de Riemann es el teorema de Borel y Lichnerowicz (1952), que afirma que el grupo de holonomía restringida es un subgrupo de Lie cerrado de O ( n ). En particular, es compacto .

Holonomía reducible y descomposición de De Rham

Sea x ∈ M un punto arbitrario. Entonces el grupo de holonomía Hol( M ) actúa sobre el espacio tangente T _x M . Esta acción puede ser irreducible como representación de grupo o reducible en el sentido de que hay una división de T _x M en subespacios ortogonales T _x M = T′ _x M ⊕ T″ _x M , cada uno de los cuales es invariante bajo la acción. de Hol( METRO ). En este último caso, se dice que M es reducible .

Supongamos que M es una variedad reducible. Permitiendo que el punto x varíe, los paquetes T′ M y T″ M formados por la reducción del espacio tangente en cada punto son distribuciones suaves que son integrables en el sentido de Frobenius . Las variedades integrales de estas distribuciones son subvariedades totalmente geodésicas. Entonces M es localmente un producto cartesiano M′ × M″ . El isomorfismo (local) de Rham sigue al continuar este proceso hasta que se logra una reducción completa del espacio tangente: ^[6]

Sea M una variedad de Riemann simplemente conexa , ^[7] y T M = T ⁽⁰⁾ M ⊕ T ⁽¹⁾ M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )} M sea la reducción completa del paquete tangente bajo la acción del grupo de holonomía . Supongamos que T ⁽⁰⁾ M consta de vectores invariantes bajo el grupo de holonomía (es decir, tales que la representación de holonomía es trivial). Entonces localmente M es isométrica a un producto

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$

donde V ₀ es un conjunto abierto en un espacio euclidiano , y cada V _i es una variedad integral para T ^{( i )} M. Además, Hol( M ) se divide como producto directo de los grupos de holonomía de cada M _i , la variedad integral máxima de T ^{( i )} a través de un punto.

Si, además, se supone que M es geodésicamente completo , entonces el teorema se cumple globalmente y cada M _i es una variedad geodésicamente completa. ^[8]

La clasificación de Berger

En 1955, M. Berger dio una clasificación completa de posibles grupos de holonomía para variedades de Riemann simplemente conexas que son irreducibles (no localmente un espacio producto) y asimétricas (no localmente un espacio simétrico de Riemann ). La lista de Berger es la siguiente:

Las variedades con holonomía Sp( n )·Sp(1) fueron estudiadas simultáneamente en 1965 por Edmond Bonan y Vivian Yoh Kraines y construyeron la forma 4 paralela.

Las variedades con holonomía G ₂ o Spin(7) fueron introducidas por primera vez por Edmond Bonan en 1966, quien construyó todas las formas paralelas y demostró que esas variedades eran Ricci-planas.

La lista original de Berger también incluía la posibilidad de Spin(9) como subgrupo de SO(16). Más tarde, D. Alekseevski y Brown-Gray demostraron de forma independiente que las variedades de Riemann con tal holonomía eran necesariamente localmente simétricas, es decir, localmente isométricas al plano de Cayley F ₄ /Spin(9) o localmente planas. Ver más abajo.) Ahora se sabe que todas estas posibilidades ocurren como grupos holonómicos de variedades de Riemann. Los dos últimos casos excepcionales fueron los más difíciles de encontrar. Consulte el colector G 2 y el colector Spin(7) .

Tenga en cuenta que Sp( n ) ⊂ SU(2 n ) ⊂ U(2 n ) ⊂ SO(4 n ), por lo que cada variedad Hyperkähler es una variedad Calabi-Yau , cada variedad Calabi-Yau es una variedad Kähler y cada variedad Kähler es orientable .

La extraña lista anterior fue explicada por la prueba de Simons del teorema de Berger. Carlos E. Olmos dio una prueba simple y geométrica del teorema de Berger en 2005. Primero se muestra que si una variedad de Riemann no es un espacio localmente simétrico y la holonomía reducida actúa irreduciblemente sobre el espacio tangente, entonces actúa transitivamente sobre la unidad. esfera. Los grupos de Lie que actúan transitivamente sobre esferas son conocidos: constan de la lista anterior, junto con 2 casos adicionales: el grupo Spin(9) que actúa sobre R ¹⁶ y el grupo T · Sp( m ) que actúa sobre R ^{4 m} . Finalmente se comprueba que el primero de estos dos casos adicionales sólo ocurre como un grupo de holonomía para espacios localmente simétricos (que son localmente isomorfos al plano proyectivo de Cayley ), y el segundo no ocurre en absoluto como un grupo de holonomía.

La clasificación original de Berger también incluía una holonomía métrica pseudo-riemanniana no simétrica no localmente definida positiva. Esa lista constaba de SO( p , q ) de firma ( p , q ), U( p , q ) y SU( p , q ) de firma (2 p , 2 q ), Sp( p , q ) y Sp( p , q )·Sp(1) de firma (4 p , 4 q ), SO( n , C ) de firma ( n , n ), SO( n , H ) de firma (2 n , 2 n ), dividir G ₂ de firma (4, 3), G ₂ ( C ) de firma (7, 7), Spin(4, 3) de firma (4, 4), Spin(7, C ) de firma (7,7) , Spin(5,4) de la firma (8,8) y, por último, Spin(9, C ) de la firma (16,16). Los Spin(9) divididos y complejizados son necesariamente localmente simétricos como se indicó anteriormente y no deberían haber estado en la lista. Las holonomías complejas SO( n , C ), G ₂ ( C ) y Spin(7, C ) pueden realizarse a partir de variedades riemannianas analíticas reales complejas. R. McLean demostró que el último caso, variedades con holonomía contenida en SO ( n , H ), son localmente planas. ^[9]

Los espacios simétricos de Riemann, que son localmente isométricos a espacios homogéneos G / H, tienen holonomía local isomorfa a H. Estos también han sido completamente clasificados .

Finalmente, el artículo de Berger enumera posibles grupos holonómicos de variedades con sólo una conexión afín sin torsión ; esto se analiza a continuación.

Holonomía especial y espinores.

Las variedades con holonomía especial se caracterizan por la presencia de espinores paralelos , es decir, campos de espinores con derivada covariante evanescente. ^[10] En particular, se sostienen los siguientes hechos:

• Hol(ω) ⊂ U (n) si y sólo si M admite un campo de espinor puro proyectivo covariantemente constante (o paralelo ).
• Si M es una variedad de espín , entonces Hol(ω) ⊂ SU (n) si y sólo si M admite al menos dos campos de espinor puro paralelos linealmente independientes. De hecho, un campo de espinor puro paralelo determina una reducción canónica del grupo estructural a SU ( n ).
• Si M es una variedad de espín de siete dimensiones, entonces M lleva un campo de espín paralelo no trivial si y sólo si la holonomía está contenida en G ₂ .
• Si M es una variedad de espín de ocho dimensiones, entonces M lleva un campo de espín paralelo no trivial si y sólo si la holonomía está contenida en Spin(7).

Las holonomías unitarias y unitarias especiales se estudian a menudo en relación con la teoría de los twistores , ^[11] así como en el estudio de estructuras casi complejas . ^[10]

Aplicaciones

Teoria de las cuerdas

Las variedades de Riemann con holonomía especial juegan un papel importante en las compactaciones de la teoría de cuerdas . ^[12] Esto se debe a que las variedades especiales de holonomía admiten espinores covariantemente constantes (paralelos) y, por lo tanto, preservan alguna fracción de la supersimetría original . Las más importantes son las compactaciones en variedades Calabi-Yau con holonomía SU (2) o SU (3). También son importantes las compactaciones en los colectores G 2 .

Aprendizaje automático

Se ha sugerido calcular la holonomía de variedades de Riemann como una forma de aprender la estructura de variedades de datos en el aprendizaje automático , en particular en el contexto del aprendizaje múltiple . Como el grupo de holonomía contiene información sobre la estructura global de la variedad de datos, se puede utilizar para identificar cómo la variedad de datos podría descomponerse en un producto de subvariedades. La holonomía no se puede calcular exactamente debido a efectos de muestreo finitos, pero es posible construir una aproximación numérica utilizando ideas de la teoría de gráficos espectrales similares a los mapas de difusión vectorial. El algoritmo resultante, el Estimador de componentes múltiples geométricos ( GeoManCEr ), proporciona una aproximación numérica a la descomposición de De Rham que se puede aplicar a datos del mundo real. ^[13]

Holonomía afín

Los grupos de holonomías afines son los grupos que surgen como holonomías de conexiones afines libres de torsión ; aquellos que no son grupos de holonomía riemannianos o pseudoriemannianos también se conocen como grupos de holonomía no métricos. El teorema de descomposición de DeRham no se aplica a grupos de holonomía afines, por lo que una clasificación completa está fuera de alcance. Sin embargo, todavía es natural clasificar las holonomías afines irreductibles.

En el camino hacia su clasificación de los grupos de holonomía de Riemann, Berger desarrolló dos criterios que debe satisfacer el álgebra de Lie del grupo de holonomía de una conexión afín libre de torsión que no es localmente simétrica : uno de ellos, conocido como primer criterio de Berger , es una consecuencia del teorema de Ambrose-Singer, que la curvatura genera el álgebra de holonomía; el otro, conocido como segundo criterio de Berger , proviene del requisito de que la conexión no sea localmente simétrica. Berger presentó una lista de grupos que actúan irreductiblemente y que satisfacen estos dos criterios; esto puede interpretarse como una lista de posibilidades para holonomías afines irreductibles.

Más tarde se demostró que la lista de Berger estaba incompleta: R. Bryant (1991) y Q. Chi, S. Merkulov y L. Schwachhöfer (1996) encontraron más ejemplos . A veces se les conoce como holonomías exóticas . La búsqueda de ejemplos condujo finalmente a una clasificación completa de holonomías afines irreductibles realizada por Merkulov y Schwachhöfer (1999), y Bryant (2000) demostró que cada grupo de su lista se presenta como un grupo de holonomía afín.

La clasificación de Merkulov-Schwachhöfer se ha aclarado considerablemente mediante una conexión entre los grupos de la lista y ciertos espacios simétricos, a saber, los espacios simétricos hermitianos y los espacios simétricos del cuaternión-Kähler . La relación es particularmente clara en el caso de holonomías afines complejas, como lo demuestra Schwachhöfer (2001).

Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita, sea H ⊂ Aut( V ) un subgrupo de Lie conectado complejo semisimple irreducible y sea K ⊂ H un subgrupo compacto máximo.

1. Si hay un espacio simétrico hermitiano irreducible de la forma G /(U(1) · K ), entonces tanto H como C *· H son grupos de holonomía afines irreducibles y no simétricos, donde V es la representación tangente de K.
2. Si hay un espacio simétrico de cuaternión-Kähler irreducible de la forma G /(Sp(1) · K ), entonces H es un grupo de holonomía afín irreducible no simétrico, como lo es C * · H si dim V = 4. Aquí el La representación tangente complejada de Sp(1) · K es C ² ⊗ V , y H conserva una forma simpléctica compleja en V .

Estas dos familias producen todos los grupos de holonomía afines complejos irreducibles y no simétricos, aparte de los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\right)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{7}\right)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}$

Utilizando la clasificación de espacios simétricos hermitianos, la primera familia proporciona los siguientes grupos complejos de holonomías afines:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{16}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{27}\right)\end{aligned}}}$

donde Z _C es trivial o el grupo C *.

Utilizando la clasificación de espacios simétricos de Quaternion-Kähler, la segunda familia proporciona los siguientes grupos complejos de holonomía simpléctica:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14}\right)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\\\mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\right)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end{aligned}}}$

(En la segunda fila, Z _C debe ser trivial a menos que n = 2.)

A partir de estas listas, se puede observar una analogía del resultado de Simons de que los grupos de holonomía de Riemann actúan transitivamente sobre esferas: las representaciones de holonomía complejas son todas espacios vectoriales prehomogéneos . No se conoce una prueba conceptual de este hecho.

La clasificación de holonomías afines reales irreductibles se puede obtener mediante un análisis cuidadoso, utilizando las listas anteriores y el hecho de que las holonomías afines reales se complejizan hasta convertirse en complejas.

Etimología

Hay una palabra similar, " holomórfica ", que fue introducida por dos de los estudiantes de Cauchy , Briot (1817-1882) y Bouquet (1819-1895), y deriva del griego ὅλος ( holos ), que significa "entero", y μορφή ( morphē ) que significa "forma" o "apariencia". ^[14] La etimología de "holonomía" comparte la primera parte con "holomórfico" ( holos ). Sobre la segunda parte:

"Es notablemente difícil encontrar la etimología de holonómico (u holonomía) en la web. Encontré lo siguiente (gracias a John Conway de Princeton): 'Creo que Poinsot lo utilizó por primera vez en su análisis del movimiento de un cuerpo rígido. En esta teoría, un sistema se llama "holonómico" si, en cierto sentido, uno puede recuperar información global a partir de información local, por lo que el significado de "ley completa" es bastante apropiado. no holonómico, porque uno que recorre diferentes caminos hacia el mismo punto puede ponerlo en diferentes orientaciones. Sin embargo, quizás sea demasiado simplista decir que "holonomía" significa "ley completa". significados entrelazados en griego, y quizás se refiere más a menudo a "contar". Proviene de la misma raíz indoeuropea que nuestra palabra "número" .

-  S. Golwala, ^[15]

Véase νόμος ( nomos ) y -nomy.

Ver también

• precesión de tomás

Notas

1. Kobayashi y Nomizu 1963, §II.7
2. Sharpe 1997, §3.7
3. Spivak 1999, pág. 241
4. Sternberg 1964, Teorema VII.1.2
5. Kobayashi y Nomizu 1963, Volumen I, §II.8
6. Kobayashi y Nomizu 1963, §IV.5
7. Este teorema se generaliza a variedades no simplemente conexas, pero el enunciado es más complicado.
8. Kobayashi y Nomizu 1963, §IV.6
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Otras lecturas

• Literatura sobre variedades de holonomía especial, una bibliografía de Frederik Witt.