En topología , una rama de las matemáticas , el espacio de bucle Ω X de un espacio topológico puntiagudo X es el espacio de bucles (basados) en X , es decir, mapas puntiagudos continuos desde el círculo puntiagudo S 1 a X , equipados con la topología compacta-abierta. . Se pueden multiplicar dos bucles mediante concatenación . Con esta operación, el espacio del bucle es un espacio A ∞ . Es decir, la multiplicación es homotópica-coherentemente asociativa .
El conjunto de componentes de ruta de Ω X , es decir, el conjunto de clases de equivalencia de homotopía basada en bucles basados en X , es un grupo , el grupo fundamental π 1 ( X ).
Los espacios de bucle iterados de X se forman aplicando Ω varias veces.
Existe una construcción análoga para espacios topológicos sin punto de base. El espacio de bucle libre de un espacio topológico X es el espacio de aplicaciones del círculo S 1 a X con la topología compacta-abierta. El espacio de bucle libre de X a menudo se denota por .
Como functor , la construcción del espacio del bucle libre está adjunta a la derecha del producto cartesiano con el círculo, mientras que la construcción del espacio del bucle está adjunta a la derecha de la suspensión reducida . Esta adición explica gran parte de la importancia de los espacios de bucle en la teoría de la homotopía estable . (Un fenómeno relacionado en informática es el curry , donde el producto cartesiano es adjunto al functor hom .) Informalmente, esto se conoce como dualidad de Eckmann-Hilton .
El espacio del bucle es dual a la suspensión del mismo espacio; esta dualidad a veces se llama dualidad de Eckmann-Hilton . La observación básica es que
donde es el conjunto de clases de homotopía de mapas , y es la suspensión de A, y denota el homeomorfismo natural . Este homeomorfismo es esencialmente el del curry , módulo de los cocientes necesarios para convertir los productos en productos reducidos.
En general, no tiene una estructura de grupo para espacios arbitrarios y . Sin embargo, se puede demostrar que y tienen estructuras de grupo naturales cuando y son puntiagudos , y el isomorfismo antes mencionado es de esos grupos. [1] Así, el establecimiento (la esfera) da la relación
Esto se deduce ya que el grupo de homotopía se define como y las esferas se pueden obtener mediante suspensiones entre sí, es decir . [2]