En matemáticas , el cuadrado mágico de Freudenthal (o cuadrado mágico de Freudenthal-Tits ) es una construcción que relaciona varias álgebras de Lie (y sus grupos de Lie asociados ). Lleva el nombre de Hans Freudenthal y Jacques Tags , quienes desarrollaron la idea de forma independiente. Asocia un álgebra de Lie a un par de álgebras de división A , B. Las álgebras de Lie resultantes tienen diagramas de Dynkin según la tabla de la derecha. La "magia" del cuadrado mágico de Freudenthal es que el álgebra de Lie construida es simétrica en A y B , a pesar de que la construcción original no es simétrica, aunque el método simétrico de Vinberg da una construcción simétrica.
El cuadrado mágico de Freudenthal incluye todos los grupos de Lie excepcionales , aparte de G 2 , y proporciona un posible enfoque para justificar la afirmación de que "todos los grupos de Lie excepcionales existen debido a los octoniones ": G 2 en sí es el grupo de automorfismo de los octoniones. (Además, es en muchos sentidos como un grupo de Lie clásico porque es el estabilizador de una forma genérica de 3 en un espacio vectorial de 7 dimensiones; consulte espacio vectorial prehomogéneo ).
Consulte la historia para conocer el contexto y la motivación. Estos fueron construidos originalmente alrededor de 1958 por Freudenthal y Tit, y en años posteriores siguieron formulaciones más elegantes. [1]
El enfoque de Tits, descubierto alrededor de 1958 y publicado en (Tits 1966), es el siguiente.
Asociada con cualquier álgebra de división real normada A (es decir, R, C, H u O) existe un álgebra de Jordan , J 3 ( A ), de 3 × 3 A - matrices hermitianas . Para cualquier par ( A , B ) de tales álgebras de división, se puede definir un álgebra de Lie.
donde denota el álgebra de Lie de derivaciones de un álgebra, y el subíndice 0 denota la parte libre de rastros . El álgebra de Lie L tiene como subálgebra, y ésta actúa naturalmente sobre . El corchete de Lie on (que no es una subálgebra) no es obvio, pero Tits mostró cómo podría definirse y produjo la siguiente tabla de álgebras de Lie compactas .
Por construcción, la fila de la tabla con A = R da , y viceversa.
La "magia" del cuadrado mágico de Freudenthal es que el álgebra de Lie construida es simétrica en A y B. Esto no es obvio a partir de la construcción de Tetas. Ernest Vinberg dio una construcción manifiestamente simétrica en (Vinberg 1966). En lugar de utilizar un álgebra de Jordan, utiliza un álgebra de matrices sin trazas hermitianas sesgadas con entradas en A ⊗ B , denotadas . Vinberg define una estructura de álgebra de Lie en
Cuando A y B no tienen derivaciones (es decir, R o C ), este es solo el corchete de Lie (conmutador) en . En presencia de derivaciones, éstas forman una subálgebra que actúa naturalmente como en la construcción de Tits, y el soporte del conmutador sin rastro se modifica mediante una expresión con valores en .
Una construcción más reciente, debida a Pierre Ramond (Ramond 1976) y Bruce Allison (Allison 1978) y desarrollada por Chris Barton y Anthony Sudbery, utiliza la trialidad en la forma desarrollada por John Frank Adams ; esto fue presentado en (Barton & Sudbery 2000) y de forma simplificada en (Barton & Sudbery 2003). Mientras que la construcción de Vinberg se basa en los grupos de automorfismos de un álgebra de división A (o más bien sus álgebras de derivaciones de Lie), Barton y Sudbery utilizan el grupo de automorfismos de la trialidad correspondiente. La trialidad es el mapa trilineal.
obtenido tomando tres copias del álgebra de división A y usando el producto interno de A para dualizar la multiplicación. El grupo de automorfismo es el subgrupo de SO( A 1 ) × SO( A 2 ) × SO( A 3 ) que preserva este mapa trilineal. Se denota Tri ( A ). La siguiente tabla compara su álgebra de Lie con el álgebra de Lie de derivaciones.
Barton y Sudbery luego identifican el álgebra de Lie del cuadrado mágico correspondiente a ( A , B ) con una estructura de álgebra de Lie en el espacio vectorial.
El corchete de Lie es compatible con una clasificación Z 2 × Z 2 , con tri ( A ) y tri ( B ) en grado (0,0), y las tres copias de A ⊗ B en grados (0,1), (1 ,0) y (1,1). El corchete conserva tri ( A ) y tri ( B ) y estos actúan naturalmente sobre las tres copias de A ⊗ B , como en las otras construcciones, pero los corchetes entre estas tres copias están más restringidos.
Por ejemplo, cuando A y B son los octoniones, la prueba es la de Spin(8), la doble cobertura de SO(8), y la descripción de Barton-Sudbery produce
donde V, S + y S − son las tres representaciones de 8 dimensiones de (la representación fundamental y las dos representaciones de espín ), y los objetos sombreados son una copia isomórfica.
Con respecto a una de las clasificaciones Z 2 , los primeros tres sumandos se combinan para dar y los dos últimos juntos forman una de sus representaciones de espín Δ + 128 (el superíndice denota la dimensión). Ésta es una descomposición simétrica bien conocida de E8 .
La construcción de Barton-Sudbery extiende esto a las otras álgebras de Lie en el cuadrado mágico. En particular, para las álgebras de Lie excepcionales de la última fila (o columna), las descomposiciones simétricas son:
Además de las álgebras de división normada , existen otras álgebras de composición sobre R , a saber, los números complejos divididos , los cuaterniones divididos y los octoniones divididos . Si se usan estos en lugar de los números complejos, cuaterniones y octoniones, se obtiene la siguiente variante del cuadrado mágico (donde las versiones divididas de las álgebras de división se denotan por un número primo).
Aquí todas las álgebras de Lie son la forma real dividida excepto so 3 , pero se puede usar un cambio de signo en la definición del corchete de Lie para producir la forma dividida so 2,1 . En particular, para las álgebras de Lie excepcionales, las subálgebras compactas máximas son las siguientes:
También se puede obtener una versión no simétrica del cuadrado mágico combinando las álgebras de división con las álgebras de división habituales. Según Barton y Sudbery, la tabla resultante de álgebras de Lie es la siguiente.
Las álgebras de Lie realmente excepcionales que aparecen aquí pueden describirse nuevamente mediante sus subálgebras compactas máximas.
Las formas divididas de las álgebras de composición y álgebras de Lie se pueden definir sobre cualquier campo K. Esto produce el siguiente cuadrado mágico.
Hay cierta ambigüedad aquí si K no es algebraicamente cerrado. En el caso K = C , esta es la complejización de los cuadrados mágicos freudianos para R discutidos hasta ahora.
Los cuadrados analizados hasta ahora están relacionados con las álgebras de Jordan J 3 ( A ), donde A es un álgebra de división. También existen álgebras de Jordan J n ( A ), para cualquier entero positivo n , siempre que A sea asociativo. Estos producen formas divididas (sobre cualquier campo K ) y formas compactas (sobre R ) de cuadrados mágicos generalizados.
Para n = 2, J 2 ( O ) también es un álgebra de Jordan. En el caso compacto (sobre R ), esto produce un cuadrado mágico de álgebras de Lie ortogonales.
La última fila y columna aquí son la parte del álgebra ortogonal del álgebra de isotropía en la descomposición simétrica de las álgebras de Lie excepcionales mencionadas anteriormente.
Estas construcciones están estrechamente relacionadas con los espacios simétricos hermitianos – cf. espacios vectoriales prehomogéneos .
Los espacios simétricos de Riemann , tanto compactos como no compactos, se pueden clasificar uniformemente utilizando una construcción de cuadrado mágico, en (Huang & Leung 2010). Los espacios simétricos compactos irreducibles son, hasta cubiertas finitas, un grupo de Lie simple compacto, un Grassmanniano, un Grassmanniano Lagrangiano o un Grassmanniano Lagrangiano doble de subespacios de álgebras de división normada A y B. Una construcción similar produce espacios simétricos no compactos irreducibles.
Tras el descubrimiento por Ruth Moufang en 1933 del plano proyectivo de Cayley o "plano proyectivo octoniónico" P 2 ( O ), cuyo grupo de simetría es el excepcional grupo de Lie F 4 , y sabiendo que G 2 es el grupo de automorfismo de los octoniones , Rozenfeld (1956) propuso que los grupos de Lie excepcionales restantes E 6 , E 7 y E 8 son grupos de isomorfismos de planos proyectivos sobre ciertas álgebras sobre los octoniones: [1]
Esta propuesta es atractiva, ya que existen ciertos espacios simétricos riemannianos compactos excepcionales con los grupos de simetría deseados y cuya dimensión coincide con la de los supuestos planos proyectivos (dim( P 2 ( K ⊗ K ′)) = 2 dim( K )dim( K ′)), y esto daría una construcción uniforme de los grupos de Lie excepcionales como simetrías de objetos que ocurren naturalmente (es decir, sin un conocimiento a priori de los grupos de Lie excepcionales). Los espacios simétricos de Riemann fueron clasificados por Cartan en 1926 (las etiquetas de Cartan se utilizan en la secuela); ver clasificación para más detalles, y los espacios relevantes son:
La dificultad con esta propuesta es que mientras los octoniones son un álgebra de división y, por tanto, se define un plano proyectivo sobre ellos, los bioctoniones, cuateroctoniones y octooctoniones no son álgebras de división y, por tanto, la definición habitual de plano proyectivo no funciona. Esto se puede resolver para los bioctoniones, siendo el plano proyectivo resultante el plano de Cayley complejizado, pero las construcciones no funcionan para los cuateroctoniones y octooctoniones, y los espacios en cuestión no obedecen a los axiomas habituales de los planos proyectivos, [1] por lo tanto las comillas sobre "plano proyectivo (putativo)". Sin embargo, el espacio tangente en cada punto de estos espacios se puede identificar con el plano ( H ⊗ O ) 2 o ( O ⊗ O ) 2 , lo que justifica aún más la intuición de que se trata de una forma de plano proyectivo generalizado. [2] [3] En consecuencia, los espacios resultantes a veces se denominan planos proyectivos de Rosenfeld y se anotan como si fueran planos proyectivos. En términos más generales, estas formas compactas son los planos proyectivos elípticos de Rosenfeld , mientras que las formas duales no compactas son los planos proyectivos hiperbólicos de Rosenfeld . Una presentación más moderna de las ideas de Rosenfeld se encuentra en (Rosenfeld 1997), mientras que una breve nota sobre estos "planos" se encuentra en (Besse 1987, pp. 313-316). [4]
Los espacios se pueden construir usando la teoría de edificios de Tit, que permite construir una geometría con cualquier grupo algebraico dado como simetrías, pero esto requiere comenzar con los grupos de Lie y construir una geometría a partir de ellos, en lugar de construir una geometría independientemente de una. Conocimiento de los grupos de Lie. [1]
Mientras que a nivel de variedades y grupos de Lie, la construcción del plano proyectivo P 2 ( K ⊗ K ′) de dos álgebras de división normada no funciona, la construcción correspondiente a nivel de álgebras de Lie sí funciona. Es decir, si se descompone el álgebra de Lie de isometrías infinitesimales del plano proyectivo P 2 ( K ) y se aplica el mismo análisis a P 2 ( K ⊗ K ′), se puede utilizar esta descomposición, que se cumple cuando P 2 ( K ⊗ K ′) en realidad se puede definir como un plano proyectivo, como una definición de un "álgebra de Lie del cuadrado mágico" M ( K , K ′). Esta definición es puramente algebraica y se cumple incluso sin asumir la existencia del espacio geométrico correspondiente. Esto fue hecho de forma independiente alrededor de 1958 en (Tits 1966) y por Freudenthal en una serie de 11 artículos, comenzando con (Freudenthal 1954a) y terminando con (Freudenthal 1963), aunque la construcción simplificada descrita aquí se debe a (Vinberg 1966). [1]
