Octonión dividido

En matemáticas , los octoniones divididos son un álgebra no asociativa de ocho dimensiones sobre los números reales . A diferencia de los octoniones estándar , contienen elementos distintos de cero que no son invertibles. También difieren las firmas de sus formas cuadráticas : los octoniones divididos tienen una firma dividida (4,4) mientras que los octoniones tienen una firma definida positiva (8,0).

Hasta el isomorfismo, los octoniones y los octoniones divididos son las únicas dos álgebras de composición de ocho dimensiones sobre los números reales. También son las únicas dos álgebras de octoniones sobre los números reales. Las álgebras de octoniones divididos análogas a las octoniones divididas se pueden definir sobre cualquier cuerpo .

Definición

Construcción Cayley-Dickson

Los octoniones y los octoniones divididos se pueden obtener a partir de la construcción de Cayley-Dickson definiendo una multiplicación de pares de cuaterniones . Introducimos una nueva unidad imaginaria ℓ y escribimos un par de cuaterniones ( a , b ) en la forma a + ℓ b . El producto se define por la regla: ^[1]

${\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})}$

dónde

${\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}$

Si se elige λ como −1, obtenemos los octoniones. Si, en cambio, se toma como +1, obtenemos los octoniones divididos. También se pueden obtener los octoniones divididos mediante una duplicación de Cayley-Dickson de los cuaterniones divididos . En este caso, cualquiera de las dos opciones de λ (±1) da como resultado los octoniones divididos.

Tabla de multiplicación

Un mnemónico para los productos de los octoniones divididos.

Una base para los octoniones divididos está dada por el conjunto . ${\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}$

Cada octonión dividido puede escribirse como una combinación lineal de los elementos base, ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}$

con coeficientes reales . ${\displaystyle x_{a}}$

Por linealidad, la multiplicación de octoniones divididos está completamente determinada por la siguiente tabla de multiplicación :

El diagrama de la derecha ofrece una regla mnemotécnica muy útil, que representa la tabla de multiplicación de los octoniones divididos. Este se deriva de su octonión padre (uno de los 480 posibles), que se define de la siguiente manera:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}$

¿Dónde está el delta de Kronecker y es el símbolo de Levi-Civita con valor cuando y: ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}$

${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}$

con el elemento escalar, y ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle i,j,k=1...7.}$

Las flechas rojas indican posibles inversiones de dirección impuestas al negar el cuadrante inferior derecho del padre creando un octonión dividido con esta tabla de multiplicar.

Conjugado, norma e inversa

El conjugado de un octonión dividido x está dado por

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}$

lo mismo que para los octoniones.

La forma cuadrática en x está dada por

${\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}$

Esta forma cuadrática N ( x ) es una forma cuadrática isótropa ya que hay octoniones divididos distintos de cero x con N ( x ) = 0. Con N , los octoniones divididos forman un espacio pseudoeuclidiano de ocho dimensiones sobre R , a veces escrito R ^4,4 para denotar la firma de la forma cuadrática.

Si N ( x ) ≠ 0, entonces x tiene un inverso multiplicativo (bilateral) x ⁻¹ dado por

${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}$

Propiedades

Los octoniones escindidos, al igual que los octoniones, no son conmutativos ni asociativos. También, al igual que los octoniones, forman un álgebra de composición , ya que la forma cuadrática N es multiplicativa. Es decir,

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}$

Los octoniones divididos satisfacen las identidades de Moufang y forman así un álgebra alternativa . Por lo tanto, según el teorema de Artin , la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa. El conjunto de todos los elementos invertibles (es decir, aquellos elementos para los que N ( x ) ≠ 0) forman un bucle de Moufang .

El grupo de automorfismo de los octoniones divididos es un grupo de Lie de 14 dimensiones , la forma real dividida del excepcional grupo de Lie simple G 2 .

Álgebra vectorial-matricial de Zorn

Dado que los octoniones divididos no son asociativos, no se los puede representar con matrices ordinarias (la multiplicación de matrices siempre es asociativa). Zorn encontró una forma de representarlos como "matrices" que contienen tanto escalares como vectores utilizando una versión modificada de la multiplicación de matrices. ^[2] En concreto, defina una matriz vectorial como una matriz 2×2 de la forma ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}$

donde a y b son números reales y v y w son vectores en R ³ . Defina la multiplicación de estas matrices por la regla

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}}$

donde · y × son el producto escalar y el producto vectorial ordinarios de 3 vectores. Con la suma y la multiplicación escalar definidas como de costumbre, el conjunto de todas esas matrices forma un álgebra unital no asociativa de 8 dimensiones sobre los números reales, llamada álgebra de vectores y matrices de Zorn .

Defina el " determinante " de una matriz vectorial mediante la regla

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$.

Este determinante es una forma cuadrática del álgebra de Zorn que satisface la regla de composición:

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}$

El álgebra de matrices vectoriales de Zorn es, de hecho, isomorfa al álgebra de octoniones divididos. Escribe un octonión en la forma ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}$

donde y son números reales y v y w son cuaterniones imaginarios puros considerados como vectores en R ³ . El isomorfismo de los octoniones divididos al álgebra de Zorn está dado por ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.}$

Este isomorfismo preserva la norma ya que . ${\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}$

Aplicaciones

Los octoniones escindidos se utilizan en la descripción de leyes físicas. Por ejemplo:

• La ecuación de Dirac en física (la ecuación de movimiento de una partícula de espín libre 1/2, como por ejemplo un electrón o un protón) se puede expresar mediante aritmética nativa de octoniones divididos. ^[7]
• La mecánica cuántica supersimétrica tiene una extensión octoniónica. ^[8]
• El álgebra de octoniones divididos basada en Zorn se puede utilizar para modelar la cromodinámica cuántica SU(3) simétrica de calibre local. ^[9]
• El problema de una bola que rueda sin resbalar sobre una bola de radio 3 veces más grande tiene la forma real dividida del grupo excepcional G 2 como su grupo de simetría, porque este problema puede describirse utilizando octoniones divididos. ^[10]

Referencias

1. Kevin McCrimmon (2004) Una muestra de las álgebras de Jordan , página 158, Universitext, Springer ISBN  0-387-95447-3 MR 2014924
2. Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402
3. Nathan Jacobson (1962) Álgebras de Lie , página 142, Interscience Publishers.
4. Schafer, Richard D. (1966). Introducción a las álgebras no asociativas. Academic Press . Págs. 52-6. ISBN. 0-486-68813-5.
5. Lowell J. Page (1963) "Jordan Algebras", páginas 144-186 en Studies in Modern Algebra editado por AA Albert, Mathematics Association of America  : Álgebra vectorial-matricial de Zorn en la página 180
6. Arthur A. Sagle y Ralph E. Walde (1973) Introducción a los grupos de Lie y las álgebras de Lie , página 199, Academic Press
7. M. Gogberashvili (2006) "Electrodinámica octoniónica", Journal of Physics A 39: 7099-7104. doi :10.1088/0305-4470/39/22/020
8. V. Dzhunushaliev (2008) "No asociatividad, supersimetría y variables ocultas", Journal of Mathematical Physics 49: 042108 doi :10.1063/1.2907868; arXiv :0712.1647
9. B. Wolk, Abogado. Solicitud. Álgebras de Clifford 27(4), 3225 (2017).
10. J. Baez y J. Huerta, G ₂ y la bola rodante, Trans. Amer. Math. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv :1205.2447.

Lectura adicional

• R. Foot y GC Joshi (1990) "Firma no estándar del espacio-tiempo, las supercuerdas y las álgebras de composición divididas", Letters in Mathematical Physics 19: 65–71
• Harvey, F. Reese (1990). Espinores y calibraciones . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1.
• Nash, Patrick L (1990) "Sobre la estructura del álgebra de octoniones escindidos", Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi :10.1007/BF02723550
• Springer, TA; FD Veldkamp (2000). Octonions, Álgebras de Jordan y Grupos Excepcionales . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1.