Mecánica cuántica supersimétrica

Mecánica cuántica con supersimetría

En física teórica , la mecánica cuántica supersimétrica es un área de investigación en la que la supersimetría se aplica al contexto más simple de la mecánica cuántica simple , en lugar de la teoría cuántica de campos . La mecánica cuántica supersimétrica ha encontrado aplicaciones fuera de la física de alta energía , como proporcionar nuevos métodos para resolver problemas mecánicos cuánticos, proporcionar extensiones útiles a la aproximación WKB y la mecánica estadística .

Introducción

Comprender las consecuencias de la supersimetría (SUSY) ha resultado matemáticamente desalentador, y también ha sido difícil desarrollar teorías que pudieran explicar la ruptura de la simetría, es decir , la falta de partículas asociadas observadas con la misma masa. Para avanzar en estos problemas, los físicos desarrollaron la mecánica cuántica supersimétrica , una aplicación de la superálgebra de supersimetría a la mecánica cuántica en oposición a la teoría cuántica de campos. Se esperaba que el estudio de las consecuencias de la SUSY en este entorno más simple condujera a una nueva comprensión; notablemente, el esfuerzo creó nuevas áreas de investigación en la propia mecánica cuántica.

Por ejemplo, a los estudiantes se les suele enseñar a "resolver" el átomo de hidrógeno mediante un laborioso proceso que comienza insertando el potencial de Coulomb en la ecuación de Schrödinger . Después de una considerable cantidad de trabajo utilizando muchas ecuaciones diferenciales, el análisis produce una relación de recursión para los polinomios de Laguerre . El resultado es el espectro de estados de energía del átomo de hidrógeno (etiquetados por los números cuánticos n y l ). Utilizando ideas extraídas de SUSY, el resultado final se puede derivar con mucha mayor facilidad, de la misma manera que se utilizan los métodos de operadores para resolver el oscilador armónico . ^[1] También se puede utilizar un enfoque supersimétrico similar para encontrar con mayor precisión el espectro del hidrógeno utilizando la ecuación de Dirac. ^[2] Curiosamente, este enfoque es análogo a la forma en que Erwin Schrödinger resolvió por primera vez el átomo de hidrógeno. ^{[3] [4]} No llamó a su solución supersimétrica, ya que SUSY estaba treinta años en el futuro.

La solución SUSY del átomo de hidrógeno es sólo un ejemplo de la clase muy general de soluciones que SUSY proporciona a los potenciales invariantes de forma , una categoría que incluye la mayoría de los potenciales que se enseñan en los cursos introductorios de mecánica cuántica.

La mecánica cuántica SUSY implica pares de hamiltonianos que comparten una relación matemática particular, que se denominan hamiltonianos asociados . (Los términos de energía potencial que aparecen en los hamiltonianos se denominan entonces potenciales asociados ). Un teorema introductorio muestra que para cada estado propio de un hamiltoniano, su hamiltoniano asociado tiene un estado propio correspondiente con la misma energía (excepto posiblemente para los estados propios de energía cero). Este hecho se puede explotar para deducir muchas propiedades del espectro de estados propios. Es análogo a la descripción original de SUSY, que se refería a bosones y fermiones. Podemos imaginar un "hamiltoniano bosónico", cuyos estados propios son los diversos bosones de nuestra teoría. El socio SUSY de este hamiltoniano sería "fermiónico", y sus estados propios serían los fermiones de la teoría. Cada bosón tendría un socio fermiónico de igual energía, pero, en el mundo relativista, la energía y la masa son intercambiables, por lo que podemos decir con la misma facilidad que las partículas asociadas tienen la misma masa.

Los conceptos de SUSY han proporcionado extensiones útiles a la aproximación WKB en forma de una versión modificada de la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld . Además, SUSY se ha aplicado a la mecánica estadística no cuántica a través de la ecuación de Fokker-Planck , lo que demuestra que incluso si la inspiración original en la física de partículas de alta energía resulta ser un callejón sin salida, su investigación ha traído consigo muchos beneficios útiles.

Ejemplo: el oscilador armónico

La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico toma la forma

${\displaystyle H^{\rm {HO}}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{\rm {HO}}\psi _{n}(x),}$

donde es el estado propio de energía n de con energía . Queremos encontrar una expresión para en términos de . Definimos los operadores ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{\text{HO}}}$ ${\displaystyle E_{n}^{\text{HO}}}$ ${\displaystyle E_{n}^{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)}$

y

${\displaystyle A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x),}$

donde , que debemos elegir, se llama superpotencial de . También definimos los hamiltonianos asociados antes mencionados y como ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle H^{(1)}}$ ${\displaystyle H^{(2)}}$

${\displaystyle H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)}$

${\displaystyle H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).}$

Un estado fundamental de energía cero satisfaría la ecuación ${\displaystyle \psi _{0}^{(1)}(x)}$ ${\displaystyle H^{(1)}}$

${\displaystyle H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x){\bigg )}\psi _{0}^{(1)}(x)=0.}$

Suponiendo que conocemos el estado fundamental del oscilador armónico , podemos resolver como ${\displaystyle \psi _{0}(x)}$ ${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m}}}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}}$

Entonces encontramos que

${\displaystyle H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}}$

${\displaystyle H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.}$

Ahora podemos ver que

${\displaystyle H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{\rm {HO}}-{\frac {\hbar \omega }{2}}.}$

Este es un caso especial de invariancia de forma, que se analiza a continuación. Si tomamos sin prueba el teorema introductorio mencionado anteriormente, es evidente que el espectro de comenzará con y continuará hacia arriba en pasos de Los espectros de y tendrán el mismo espaciamiento uniforme, pero se desplazarán hacia arriba en cantidades y , respectivamente. De ello se deduce que el espectro de es, por tanto, el conocido . ${\displaystyle H^{(1)}}$ ${\displaystyle E_{0}=0}$ ${\displaystyle \hbar \omega .}$ ${\displaystyle H^{(2)}}$ ${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle \hbar \omega /2}$ ${\displaystyle H^{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle E_{n}^{\rm {HO}}=\hbar \omega (n+1/2)}$

Superálgebra de la SUSY QM

En mecánica cuántica fundamental, aprendemos que un álgebra de operadores se define por relaciones de conmutación entre esos operadores. Por ejemplo, los operadores canónicos de posición y momento tienen el conmutador . (Aquí, usamos " unidades naturales " donde la constante de Planck se establece igual a 1). Un caso más complejo es el álgebra de operadores de momento angular ; estas cantidades están estrechamente relacionadas con las simetrías rotacionales del espacio tridimensional. Para generalizar este concepto, definimos un anticonmutador , que relaciona a los operadores de la misma manera que un conmutador ordinario , pero con el signo opuesto: ${\displaystyle [x,p]=i}$

${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA.}$

Si los operadores están relacionados por anticonmutadores además de por conmutadores, decimos que son parte de una superálgebra de Lie . Supongamos que tenemos un sistema cuántico descrito por un hamiltoniano y un conjunto de operadores . Llamaremos a este sistema supersimétrico si la siguiente relación de anticonmutación es válida para todos los : ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$

${\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}^{\dagger }\}={\mathcal {H}}\delta _{ij}.}$

Si este es el caso, entonces llamamos supercargas del sistema . ${\displaystyle Q_{i}}$

Ejemplo

Veamos el ejemplo de una partícula no relativista unidimensional con un grado de libertad interno 2D ( es decir, dos estados) llamado "espín" (en realidad no es espín porque el espín "real" es una propiedad de las partículas 3D). Sea un operador que transforma una partícula de "espín hacia arriba" en una partícula de "espín hacia abajo". Su adjunto transforma entonces una partícula de espín hacia abajo en una partícula de espín hacia arriba; los operadores están normalizados de modo que el anticonmutador . Y . Sea el momento de la partícula y su posición con . Sea (el " superpotencial ") una función analítica compleja arbitraria de y defina los operadores supersimétricos. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{\dagger }}$ ${\displaystyle \{b,b^{\dagger }\}=1}$ ${\displaystyle b^{2}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x,p]=i}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]}$

${\displaystyle Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]}$

Nótese que y son autoadjuntos. Sea el hamiltoniano ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$

${\displaystyle H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2}}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

donde W ′ es la derivada de W . Nótese también que { Q ₁ , Q ₂ } = 0. Esto no es otra cosa que la supersimetría N = 2. Nótese que actúa como un potencial vectorial electromagnético . ${\displaystyle \Im \{W\}}$

También llamaremos al estado de espín hacia abajo "bosónico" y al estado de espín hacia arriba "fermiónico". Esto es solo una analogía con la teoría cuántica de campos y no debe tomarse literalmente. Entonces, Q ₁ y Q ₂ mapean los estados "bosónicos" en estados "fermiónicos" y viceversa.

Reformulando esto un poco:

Definir

${\displaystyle Q=(p-iW)b}$

y,

${\displaystyle Q^{\dagger }=(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }}$

${\displaystyle \{Q,Q\}=\{Q^{\dagger },Q^{\dagger }\}=0}$

y

${\displaystyle \{Q^{\dagger },Q\}=2H}$

Un operador es "bosónico" si asigna estados "bosónicos" a estados "bosónicos" y estados "fermiónicos" a estados "fermiónicos". Un operador es "fermiónico" si asigna estados "bosónicos" a estados "fermiónicos" y viceversa. Cualquier operador puede expresarse de forma única como la suma de un operador bosónico y un operador fermiónico. Defina el superconmutador [,} de la siguiente manera: Entre dos operadores bosónicos o un operador bosónico y uno fermiónico, no es otro que el conmutador, pero entre dos operadores fermiónicos, es un anticonmutador .

Entonces, x y p son operadores bosónicos y b , , Q y son operadores fermiónicos. ${\displaystyle b^{\dagger }}$ ${\displaystyle Q^{\dagger }}$

Trabajemos en la imagen de Heisenberg donde x , b y son funciones del tiempo. ${\displaystyle b^{\dagger }}$

Entonces,

${\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

Esto es no lineal en general: es decir , x(t), b(t) y no forman una representación SUSY lineal porque no es necesariamente lineal en x . Para evitar este problema, defina el operador autoadjunto . Luego, ${\displaystyle b^{\dagger }(t)}$ ${\displaystyle \Re \{W\}}$ ${\displaystyle F=\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-iF}$

${\displaystyle [Q,F\}=-{\frac {db}{dt}}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },F\}={\frac {db^{\dagger }}{dt}}}$

y vemos que tenemos una representación SUSY lineal.

Introduzcamos ahora dos cantidades "formales", ; y siendo la última la adjunta de la primera, de modo que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$

${\displaystyle \{\theta ,\theta \}=\{{\bar {\theta }},{\bar {\theta }}\}=\{{\bar {\theta }},\theta \}=0}$

y ambos conmutan con operadores bosónicos pero anticonmutan con fermiónicos.

A continuación, definimos un constructo llamado supercampo :

${\displaystyle f(t,{\bar {\theta }},\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t)+{\bar {\theta }}\theta F(t)}$

f es autoadjunta. Entonces,

${\displaystyle [Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}f-i{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}f-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}f.}$

Por cierto, también hay una simetría U(1) _{R , con} p , x y W teniendo cargas R cero y teniendo una carga R de 1 y b teniendo una carga R de −1. ${\displaystyle b^{\dagger }}$

Invariancia de forma

Supongamos que es real para todos los reales . Entonces podemos simplificar la expresión para el hamiltoniano a ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

Existen ciertas clases de superpotenciales en las que tanto los hamiltonianos bosónicos como los fermiónicos tienen formas similares.

${\displaystyle V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})}$

donde las ' son parámetros. Por ejemplo, el potencial del átomo de hidrógeno con momento angular se puede escribir de esta manera. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle {\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+1)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}}$

Esto corresponde al superpotencial ${\displaystyle V_{-}}$

${\displaystyle W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)}}-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}}$

${\displaystyle V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2}h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}}$

Este es el potencial del momento angular desplazado por una constante. Después de resolver el estado fundamental, los operadores supersimétricos se pueden utilizar para construir el resto del espectro del estado ligado. ${\displaystyle l+1}$ ${\displaystyle l=0}$

En general, dado que y son potenciales asociados, comparten el mismo espectro de energía, excepto por la energía de base adicional. Podemos continuar este proceso de búsqueda de potenciales asociados con la condición de invariancia de forma, dando la siguiente fórmula para los niveles de energía en términos de los parámetros del potencial ${\displaystyle V_{-}}$ ${\displaystyle V_{+}}$

${\displaystyle E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})}$

¿Dónde están los parámetros para los potenciales múltiples asociados? ${\displaystyle a_{i}}$

Aplicaciones

En 2021, la mecánica cuántica supersimétrica se aplicó a la fijación de precios de opciones y al análisis de mercados en finanzas cuánticas , ^[5] y a las redes financieras . ^[6]

Véase también

• Álgebra de supersimetría
• Superálgebra
• Teoría de gauge supersimétrica

Referencias

1. Valance, A.; Morgan, TJ; Bergeron, H. (1990), "Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry", American Journal of Physics , 58 (5), AAPT: 487–491, Bibcode :1990AmJPh..58..487V, doi :10.1119/1.16452, archivado desde el original el 24 de febrero de 2013
2. Thaller, B. (1992). La ecuación de Dirac. Textos y monografías de física. Springer.
3. Schrödinger, Erwin (1940), "Un método para determinar valores propios y funciones propias de la mecánica cuántica", Actas de la Real Academia Irlandesa , 46 , Real Academia Irlandesa: 9–16
4. Schrödinger, Erwin (1941), "Estudios adicionales sobre la solución de problemas de valores propios mediante factorización", Actas de la Real Academia Irlandesa , 46 , Real Academia Irlandesa: 183–206
5. Halperin, Igor (14 de enero de 2021). "Asimetría de desequilibrio, crisis de mercado y fijación de precios de opciones: modelo de Langevin no lineal de mercados con supersimetría". SSRN  3724000.
6. Bardoscia, Marco; Barucca, Paolo; Battiston, Stefano; Caccioli, Fabio; Cimini, Giulio; Garlaschelli, Diego; Saracco, Fabio; Squartini, Tiziano; Caldarelli, Guido (10 de junio de 2021). "La física de las redes financieras". Naturaleza Reseñas Física . 3 (7): 490–507. arXiv : 2103.05623 . doi :10.1038/s42254-021-00322-5. S2CID  232168335.

Fuentes

• F. Cooper, A. Khare y U. Sukhatme, "Supersimetría y mecánica cuántica", Phys.Rept.251:267–385, 1995.
• DS Kulshreshtha, JQ Liang y HJW Muller-Kirsten, "Ecuaciones de fluctuación sobre configuraciones de campo clásicas y mecánica cuántica supersimétrica", Annals Phys. 225:191-211, 1993.
• G. Junker, "Métodos supersimétricos en física cuántica y estadística", Springer-Verlag, Berlín, 1996
• B. Mielnik y O. Rosas-Ortiz, "Factorización: ¿algoritmo pequeño o grande?", J. Phys. A: Math. Gen. 37: 10007–10035, 2004

Enlaces externos

• Referencias de INSPIRE-HEP