Teorema de Blakers-Massey

Resultados en grupos de homotopía de tríadas.

En matemáticas, el primer teorema de Blakers-Massey , que lleva el nombre de Albert Blakers y William S. Massey , ^{[1] [2] [3]} dio condiciones de desaparición para ciertos grupos de espacios de homotopía de tríada .

Descripción del resultado

Este resultado de conectividad se puede expresar con mayor precisión, como sigue. Supongamos que X es un espacio topológico que es la salida del diagrama.

${\displaystyle A{\xleftarrow {\ f\ }}C{\xrightarrow {\ g\ }}B}$,

donde f es un m -map conexo y g es n -conexo. Entonces el mapa de pares

${\displaystyle (A,C)\rightarrow (X,B)}$

induce un isomorfismo en grupos de homotopía relativa en grados y una sobreyección en el siguiente grado. ${\displaystyle k\leq (m+n-1)}$

Sin embargo, el tercer artículo de Blakers y Massey en esta área ^[4] determina el grupo de homotopía de tríada crítico, es decir, el primero distinto de cero, como un producto tensorial , bajo una serie de supuestos, incluida alguna conectividad simple. Esta condición y algunas condiciones de dimensión se relajaron en la obra de Ronald Brown y Jean-Louis Loday . ^[5] El resultado algebraico implica el resultado de conectividad, ya que un producto tensorial es cero si uno de los factores es cero. En el caso no simplemente conexo , hay que utilizar el producto tensorial no abeliano de Brown y Loday. ^[5]

El resultado de la conectividad de la tríada se puede expresar de otras maneras, por ejemplo, dice que el cuadrado de expulsión de arriba se comporta como un retroceso de homotopía hasta la dimensión . ${\displaystyle m+n}$

Generalización a topos superiores.

Charles Rezk dio la generalización de la parte de conectividad del teorema de la teoría tradicional de la homotopía a cualquier otro topos infinito con un sitio de definición infinito en 2010. ^[6]

Prueba totalmente formal

En 2013 , Peter LeFanu Lumsdaine anunció una prueba bastante breve y completamente formal que utilizaba la teoría de tipos de homotopía como base matemática y una variante de Agda como asistente de prueba ; ^[7] esto se convirtió en el Teorema 8.10.2 de la teoría de tipos de homotopía – Fundamentos univalentes de las matemáticas . ^[8] Esto induce una prueba interna para cualquier topos infinito (es decir, sin referencia a un sitio de definición); en particular, da una nueva prueba del resultado original.

Referencias

1. Blakers, Albert L.; Massey, William S. (1949). "Los grupos de homotopía de una tríada". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 35 (6): 322–328. Código bibliográfico : 1949PNAS...35..322B. doi : 10.1073/pnas.35.6.322 . SEÑOR  0030757. PMC  1063027 . PMID  16588898.
2. Blakers, Albert L.; Massey, William S. (1951), "Los grupos de homotopía de una tríada. I", Annals of Mathematics , (2), 53 (1): 161–204, doi :10.2307/1969346, JSTOR  1969346, SEÑOR  0038654
3. Hatcher, Allen , Topología algebraica, teorema 4.23
4. Blakers, Albert L.; Massey, William S. (1953). "Los grupos de homotopía de una tríada. III". Anales de Matemáticas . (2). 58 (3): 409–417. doi :10.2307/1969744. JSTOR  1969744. SEÑOR  0058971.
5. Brown, Ronald ; Loday, Jean-Louis (1987). "Escisión homotópica y teoremas de Hurewicz, para n -cubos de espacios". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . (3). 54 (1): 176-192. doi :10.1112/plms/s3-54.1.176. SEÑOR  0872255.
6. Rezk, Charles (2010). «Topos y topos de homotopía» (PDF) . Proposición 8.16.
7. "El teorema de Blakers-Massey en la teoría de tipos de homotopía (charla en la Conferencia sobre teoría de tipos, teoría de homotopía y fundamentos univalentes)". 2013.
8. El Programa de Fundaciones Univalentes (2013). Teoría del tipo de homotopía: fundamentos univalentes de las matemáticas. Instituto de Estudios Avanzados .

enlaces externos

• Teorema de Blakers-Massey en el laboratorio n
• Tom Dieck, Tammo (2008). Topología algebraica . Libros de texto de EMS en Matemáticas. Sociedad Matemática Europea .Teorema 6.4.1