Argumento de Eckmann-Hilton

En matemáticas , el argumento de Eckmann-Hilton (o principio de Eckmann-Hilton o teorema de Eckmann-Hilton ) es un argumento sobre dos estructuras de magma unitarias en un conjunto donde una es un homomorfismo de la otra. Dado esto, las estructuras son las mismas y el magma resultante es un monoide conmutativo . Esto puede usarse para demostrar la conmutatividad de los grupos de homotopía superiores . El principio recibe su nombre de Beno Eckmann y Peter Hilton , quienes lo usaron en un artículo de 1962.

El resultado de Eckmann-Hilton

Sea un conjunto dotado de dos operaciones binarias , que escribiremos y , y supongamos: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \otimes }$

1. ${\displaystyle \circ }$y son ambos unitales , lo que significa que hay elementos de identidad y de tal manera que y , para todos . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle 1_{\circ }}$ ${\displaystyle 1_{\otimes }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1_{\circ }\circ a=a=a\circ 1_{\circ }}$ ${\displaystyle 1_{\otimes }\otimes a=a=a\otimes 1_{\otimes }}$ ${\displaystyle a\in X}$
   
2. ${\displaystyle (a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)}$Para todos . ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$

Entonces y son lo mismo y de hecho son conmutativos y asociativos. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \otimes }$

Observaciones

Las operaciones y se denominan a menudo estructuras monoides o multiplicaciones, pero esto sugiere que se supone que son asociativas, una propiedad que no se requiere para la demostración. De hecho, se sigue la asociatividad. Del mismo modo, no tenemos que exigir que las dos operaciones tengan el mismo elemento neutro; esto es una consecuencia. ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

Prueba

Primero, observe que las unidades de las dos operaciones coinciden: . ${\displaystyle 1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }}$

Ahora, sea . Entonces . Esto establece que las dos operaciones coinciden y son conmutativas. ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a}$

Para la asociatividad, . ${\displaystyle (a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)}$

Prueba bidimensional

La prueba anterior también tiene una presentación "bidimensional" que ilustra mejor la aplicación a grupos de homotopía superiores . Para esta versión de la prueba, escribimos las dos operaciones como yuxtaposición vertical y horizontal, es decir, y . La propiedad de intercambio puede entonces expresarse de la siguiente manera: ${\displaystyle {\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}}$ ${\displaystyle a\ b}$

Para todos , , para que podamos escribir sin ambigüedad. ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt](c\ d)\end{matrix}}={\begin{pmatrix}a\\[-60pt]c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\[-60pt]d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}a\ b\\[-60pt]c\ d\end{matrix}}}$

Sean y las unidades para la composición vertical y horizontal respectivamente. Entonces , por lo que ambas unidades son iguales. ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \bullet ={\begin{matrix}\bullet \\[-60pt]\bullet \end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ \circ \\[-60pt]\circ \ \ \bullet \end{matrix}}=\circ \ \circ =\circ }$

Ahora, para todos , , entonces la composición horizontal es la misma que la composición vertical y ambas operaciones son conmutativas. ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\ b={\begin{matrix}a\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ b\end{matrix}}={\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ a\\[-60pt]b\ \ \bullet \end{matrix}}=b\ a={\begin{matrix}b\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ a\end{matrix}}={\begin{matrix}b\\[-60pt]a\end{matrix}}}$

Finalmente, para todos , , por lo que la composición es asociativa. ${\displaystyle a,b,c\in X}$ ${\displaystyle a\ (b\ c)=a\ {\begin{pmatrix}b\\[-60pt]c\end{pmatrix}}={\begin{matrix}a\ \ b\\[-60pt]\bullet \ \ c\end{matrix}}={\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt]c\end{matrix}}=(a\ b)\ c}$

Observaciones

Si las operaciones son asociativas, cada una define la estructura de un monoide en , y las condiciones anteriores son equivalentes a la condición más abstracta que es un homomorfismo de monoide (o viceversa). Una forma aún más abstracta de enunciar el teorema es: Si es un objeto monoide en la categoría de monoides , entonces es de hecho un monoide conmutativo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle (X,\circ )\times (X,\circ )\to (X,\circ )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Es importante que un argumento similar NO dé un resultado tan trivial en el caso de objetos monoides en las categorías de categorías pequeñas o de grupoides. En cambio, la noción de objeto grupo en la categoría de grupoides resulta ser equivalente a la noción de módulo cruzado . Esto conduce a la idea de utilizar múltiples objetos grupoides en la teoría de la homotopía.

En términos más generales, el argumento de Eckmann-Hilton es un caso especial del uso de la ley de intercambio en la teoría de categorías dobles y múltiples (estrictas). Una categoría doble (estricta) es un conjunto, o clase, equipado con dos estructuras de categorías, cada una de las cuales es un morfismo para la otra estructura. Si las composiciones en las dos estructuras de categorías están escritas, entonces la ley de intercambio se lee ${\displaystyle \circ ,\otimes }$

${\displaystyle (a\circ b)\otimes (c\circ d)=(a\otimes c)\circ (b\otimes d)}$

siempre que ambos lados estén definidos. Para un ejemplo de su uso y algún análisis, véase el artículo de Higgins al que se hace referencia a continuación. La ley de intercambio implica que una categoría doble contiene una familia de monoides abelianos.

La historia en relación con los grupos de homotopía es interesante. Los investigadores de la topología de principios del siglo XX sabían que el grupo fundamental no abeliano era útil en geometría y análisis; que los grupos de homología abelianos podían definirse en todas las dimensiones; y que para un espacio conexo, el primer grupo de homología era el grupo fundamental convertido en abeliano . Por lo tanto, existía el deseo de generalizar el grupo fundamental no abeliano a todas las dimensiones.

En 1932, Eduard Čech presentó un artículo sobre grupos de homotopía superiores en el Congreso Internacional de Matemáticas de Zúrich. Sin embargo, Pavel Alexandroff y Heinz Hopf demostraron rápidamente que estos grupos eran abelianos para , y sobre esta base persuadieron a Čech para que retirara su artículo, de modo que solo apareció un pequeño párrafo en las Actas . Se dice que Witold Hurewicz asistió a esta conferencia, y su primer trabajo sobre grupos de homotopía superiores apareció en 1935. ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, los sueños de los primeros topólogos han sido considerados durante mucho tiempo como un espejismo. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle n>1}$

Los grupoides de homotopía superior cúbica se construyen para espacios filtrados en el libro Topología algebraica no abeliana citado a continuación, que desarrolla la topología algebraica básica, incluidos análogos superiores al teorema de Seifert-Van Kampen , sin utilizar homología singular o aproximación simplicial.

Referencias

• John Baez: Principio de Eckmann-Hilton (semana 89)
• John Baez: Principio de Eckmann-Hilton (semana 100)
• Eckmann, B.; Hilton, PJ (1962), "Estructuras de tipo grupo en categorías generales. I. Multiplicaciones y comultiplicaciones", Mathematische Annalen , 145 (3): 227–255, doi :10.1007/bf01451367, MR  0136642.
• Hurewicz , W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen , Nederl. Akád. Wetensch. Proc. Ser. Una, vol. 38, págs. 112–119, 521–528.
• Brown , R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011), Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, vol. 15, pág. 703, arXiv : math/0407275 , MR  2841564.
• Higgins, PJ (2005), "Elementos delgados y capas conmutativas en categorías $\omega$ cúbicas", Teoría y aplicación de categorías , 14 : 60–74, MR  2122826.
• James, IM (1999), Historia de la topología , Holanda Septentrional
• Murray Bremner y Sara Madariaga. (2014) Permutación de elementos en semigrupos dobles

Enlaces externos

• Eugenia Cheng, del equipo de vídeo 'The Catsters', explica el argumento Eckmann-Hilton.
• Teoría de grupos de dimensiones superiores