Fibración de Hopf

Haz de fibras de 3 esferas sobre 2 esferas, con 1 esfera como fibras

La fibración de Hopf se puede visualizar utilizando una proyección estereográfica de S ³ a R ³ y luego comprimiendo R ³ en una bola. Esta imagen muestra puntos en S ² y sus fibras correspondientes con el mismo color.

Los llaveros vinculados por pares imitan parte de la fibración Hopf.

En el campo matemático de la topología diferencial , la fibración de Hopf (también conocida como paquete de Hopf o mapa de Hopf ) describe una 3 esferas (una hiperesfera en un espacio de cuatro dimensiones ) en términos de círculos y una esfera ordinaria . Descubierto por Heinz Hopf en 1931, es un ejemplo temprano e influyente de haz de fibras . Técnicamente, Hopf encontró una función continua de muchos a uno (o "mapa") desde la 3 -esfera a la 2 -esfera, de manera que cada punto distinto de la 2 -esfera se mapea desde un gran círculo distinto de la 3 -esfera . (Hopf 1931). ^[1] Así, la 3 -esfera está compuesta de fibras, donde cada fibra es un círculo, uno para cada punto de la 2 -esfera.

Esta estructura de haz de fibras se denota

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},}$

lo que significa que el espacio de fibra S ¹ (un círculo) está incrustado en el espacio total S ³ (las 3 esferas), y p  :  S ³ → S ² (el mapa de Hopf) proyecta S ³ en el espacio base S ² (el espacio ordinario 2 -esfera). La fibración de Hopf, como cualquier haz de fibras, tiene la importante propiedad de ser localmente un espacio de producto . Sin embargo, no es un haz de fibras trivial , es decir, S ³ no es globalmente un producto de S ² y S ¹ aunque localmente es indistinguible de él.

Esto tiene muchas implicaciones: por ejemplo, la existencia de este paquete muestra que los grupos de esferas de mayor homotopía no son triviales en general. También proporciona un ejemplo básico de un haz principal , identificando la fibra con el grupo circular .

La proyección estereográfica de la fibración de Hopf induce una estructura notable en R ³ , en la que todo el espacio tridimensional, excepto el eje z, está lleno de toros anidados hechos de círculos de Villarceau enlazados . Aquí cada fibra se proyecta a un círculo en el espacio (uno de los cuales es una línea, considerada como un "círculo que atraviesa el infinito"). Cada toro es la proyección estereográfica de la imagen inversa de un círculo de latitud de la 2 -esfera. (Topológicamente, un toro es el producto de dos círculos). Estos toros se ilustran en las imágenes de la derecha. Cuando R ³ se comprime hasta el límite de una bola, se pierde parte de la estructura geométrica, aunque se conserva la estructura topológica (ver Topología y geometría ). Los bucles son homeomorfos a los círculos, aunque no son círculos geométricos .

Existen numerosas generalizaciones de la fibración de Hopf. La esfera unitaria en el espacio de coordenadas complejo C ^{n +1} fibras naturalmente sobre el espacio proyectivo complejo CP ⁿ con círculos como fibras, y también hay versiones reales , cuaterniónicas , ^[2] y octoniónicas de estas fibraciones. En particular, la fibración de Hopf pertenece a una familia de cuatro haces de fibras en los que el espacio total, el espacio de base y el espacio de fibras son todos esferas:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.}$

Según el teorema de Adams, tales fibraciones sólo pueden ocurrir en estas dimensiones.

La fibración de Hopf es importante en la teoría de los twistores . ^{[ se necesita aclaración ]}

Definición y construcción

Para cualquier número natural n , una esfera de n dimensiones, o n-esfera , se puede definir como el conjunto de puntos en un espacio de dimensiones que están a una distancia fija de un punto central . Para ser más concretos, se puede tomar el punto central como el origen , y se puede suponer que la distancia de los puntos en la esfera desde este origen es una unidad de longitud. Con esta convención, la n -esfera, , consta de los puntos con x 1 ₂ ⁺  x  2 ₂ ⁺  ⋯+  x _{n + 1} ²  = 1. Por ejemplo, la 3 -esfera consta de los puntos ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) en R ⁴ con x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ²  = 1. ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

La fibración de Hopf p : S ³ → S ² de las 3 esferas sobre las 2 esferas se puede definir de varias maneras.

Construcción directa

Identifique R ⁴ con C ² y R ³ con C × R (donde C denota los números complejos ) escribiendo:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4})}$

y

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})}$.

Así S ³ se identifica con el subconjunto de todos ( z ₀ , z ₁ ) en C ² tal que | z ₀ | ² + | z ₁ | ²  = 1 , y S ² se identifica con el subconjunto de todos ( z , x ) en C × R tal que | z | ²  +  x ² = 1 . (Aquí, para un número complejo z  = x  + i y , | z | ²  = z  z ^∗  = x ²  +  y ² , donde la estrella denota el conjugado complejo .) Entonces la fibración de Hopf p se define por

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

El primer componente es un número complejo, mientras que el segundo componente es real. Cualquier punto de las 3 esferas debe tener la propiedad de que | z ₀ | ²  + | z ₁ | ²  = 1 . Si es así, entonces p ( z ₀ , z ₁ ) se encuentra en la unidad 2 -esfera en C × R , como se puede demostrar sumando los cuadrados de los valores absolutos de los componentes complejo y real de p.

${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1}$

Además, si dos puntos en las 3 esferas se asignan al mismo punto en la 2 esferas, es decir, si p ( z ₀ , z ₁ ) = p ( w ₀ , w ₁ ) , entonces ( w ₀ , w ₁ ) debe ser igual a ( λ  z ₀ , λ  z ₁ ) para algún número complejo λ con | λ | ²  = 1 . Lo contrario también es cierto; dos puntos cualesquiera en la 3 -esfera que difieren por un factor complejo común λ se asignan al mismo punto en la 2 -esfera. Estas conclusiones se siguen, porque el factor complejo λ se cancela con su conjugado complejo λ ^∗ en ambas partes de p : en el componente complejo 2 z ₀ z ₁ ^∗ y en el componente real | z ₀ | ²  - | z ₁ | ² .

Dado que el conjunto de números complejos λ con | λ | ²  = 1 forman el círculo unitario en el plano complejo, se deduce que para cada punto m en S ² , la imagen inversa p ⁻¹ ( m ) es un círculo, es decir, p ⁻¹ m  ≅  S ¹ . Así, las 3 esferas se realizan como una unión desunida de estas fibras circulares.

Una parametrización directa de las 3 esferas empleando el mapa de Hopf es la siguiente. ^[3]

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

o en euclidiano R ⁴

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

Donde η recorre el rango de 0 a π /2 y ξ ₁ , ξ ₂ puede tomar cualquier valor de 0 a 4 π . Cada valor de η , excepto 0 y π /2 que especifican círculos, especifica un toro plano separado en las 3 esferas, y un viaje de ida y vuelta ( 0 a 4 π ) de ξ ₁ o ξ ₂ hace que se haga un círculo completo. de ambos miembros del toroide.

Un mapeo de la parametrización anterior a la 2 -esfera es el siguiente, con puntos en los círculos parametrizados por ξ ₂ .

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

Interpretación geométrica utilizando la línea proyectiva compleja.

Se puede obtener una interpretación geométrica de la fibración utilizando la línea proyectiva compleja , CP ¹ , que se define como el conjunto de todos los subespacios complejos unidimensionales de C ² . De manera equivalente, CP ¹ es el cociente de C ² \{0} por la relación de equivalencia que identifica ( z ₀ , z ₁ ) con ( λ z ₀ , λ z ₁ ) para cualquier número complejo λ distinto de cero . En cualquier recta compleja en C ² hay un círculo de norma unitaria, por lo que la restricción del mapa del cociente a los puntos de norma unitaria es una fibración de S ³ sobre CP ¹ .

CP ¹ es difeomorfo a una 2 -esfera: de hecho, se puede identificar con la esfera de Riemann C _∞ = C ∪ {∞} , que es lade un punto de C (obtenida sumando un punto en el infinito ). La fórmula dada para p arriba define un difeomorfismo explícito entre la línea proyectiva compleja y la 2 esfera ordinaria en un espacio tridimensional . Alternativamente, el punto ( z ₀ , z ₁ ) se puede asignar a la relación z ₁ / z ₀ en la esfera de Riemann C _∞ .

Estructura del haz de fibras

La fibración de Hopf define un haz de fibras , con proyección del haz p . Esto significa que tiene una "estructura de producto local", en el sentido de que cada punto de la 2 -esfera tiene alguna vecindad U cuya imagen inversa en la 3 -esfera se puede identificar con el producto de U y un círculo: p ⁻¹ ( U ) ≅  U × S ¹ . Se dice que tal fibración es localmente trivial .

Para la fibración de Hopf, basta con eliminar un solo punto m de S ² y el círculo correspondiente p ⁻¹ ( m ) de S ³ ; por tanto, se puede tomar U = S ² \{ m } , y cualquier punto en S ² tiene una vecindad de esta forma.

Interpretación geométrica mediante rotaciones.

Se puede obtener otra interpretación geométrica de la fibración de Hopf considerando las rotaciones de las 2 esferas en un espacio tridimensional ordinario . El grupo de rotación SO(3) tiene una doble cubierta , el grupo de espín Spin(3) , difeomorfo a las 3 esferas. El grupo de espín actúa transitivamente sobre S ² mediante rotaciones. El estabilizador de un punto es isomorfo al grupo circular ; sus elementos son ángulos de rotación que dejan inmóvil el punto dado, y todos comparten el eje que conecta ese punto con el centro de la esfera. Se deduce fácilmente que las 3 esferas son un haz circular principal sobre las 2 esferas, y esta es la fibración de Hopf.

Para hacer esto más explícito, hay dos enfoques: el grupo Spin(3) puede identificarse con el grupo Sp(1) de cuaterniones unitarios o con el grupo unitario especial SU(2) .

En el primer enfoque, un vector ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) en R ⁴ se interpreta como un cuaternión q ∈ H escribiendo

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

La 3 -esfera se identifica entonces con los versores , los cuaterniones de norma unitaria, aquellos q ∈ H para los cuales | q | ² = 1 , donde | q | ² = qq ^∗ , que es igual a x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² para q como arriba.

Por otro lado, un vector ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) en R ³ puede interpretarse como un cuaternión puro.

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Entonces, como es bien sabido desde Cayley (1845), el mapeo

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

es una rotación en R ³ : de hecho es claramente una isometría , ya que | qpq ^∗ | ² = qpq ^∗ qp ^∗ q ^∗ = qpp ^∗ q ^∗ = | pag | ² , y no es difícil comprobar que conserva la orientación.

De hecho, esto identifica el grupo de versores con el grupo de rotaciones de R ³ , módulo el hecho de que los versores q y − q determinan la misma rotación. Como se señaló anteriormente, las rotaciones actúan transitivamente sobre S ² , y el conjunto de versores q que fijan un versor derecho p dado tienen la forma q = u + v p , donde u y v son números reales con u ² + v ² = 1 . Este es un subgrupo circular. Para ser más concretos, se puede tomar p = k , y luego la fibración de Hopf se puede definir como el mapa que envía un versor ω a ω k ω ^∗ . Todos los cuaterniones ωq , donde q es uno de los círculos de versores que fijan k , se asignan a lo mismo (que resulta ser una de las dos rotaciones de 180° que giran k al mismo lugar que lo hace ω ).

Otra forma de ver esta fibración es que cada versor ω mueve el plano abarcado por {1, k } a un nuevo plano abarcado por { ω , ωk } . Cualquier cuaternión ωq , donde q es uno de los círculos de versores que fijan k , tendrá el mismo efecto. Ponemos todo esto en una fibra, y las fibras se pueden asignar uno a uno a las 2 esferas de rotaciones de 180° , que es el rango de ωkω ^* .

Este enfoque está relacionado con la construcción directa identificando un cuaternión q = x ₁ + i x ₂ + j x ₃ + k x ₄ con la matriz de 2×2 :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Esto identifica el grupo de versores con SU(2) y los cuaterniones imaginarios con las matrices sesgadas-hermitianas de 2 × 2 (isomorfas a C × R ).

Fórmulas explícitas

La rotación inducida por un cuaternión unitario q = w + i x + j y + k z viene dada explícitamente por la matriz ortogonal

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.}$

Aquí encontramos una fórmula real explícita para la proyección del paquete al observar que el vector unitario fijo a lo largo del eje z , (0,0,1) , gira hacia otro vector unitario,

${\displaystyle {\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!}$

que es una función continua de ( w , x , y , z ) . Es decir, la imagen de q es el punto de la 2 -esfera donde envía el vector unitario a lo largo del eje z . La fibra para un punto dado en S ² consta de todos aquellos cuaterniones unitarios que envían el vector unitario allí.

También podemos escribir una fórmula explícita para la fibra sobre un punto ( a , b , c ) en S ² . La multiplicación de cuaterniones unitarios produce la composición de rotaciones y

${\displaystyle q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta }$

es una rotación de 2 θ alrededor del eje z . A medida que θ varía, esto barre un gran círculo de S ³ , nuestra fibra prototípica. Siempre que el punto base, ( a , b , c ) , no sea la antípoda, (0, 0, −1) , el cuaternión

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)}$

enviará (0, 0, 1) a ( a , b , c ) . Así la fibra de ( a , b , c ) está dada por cuaterniones de la forma q _{( a , b , c )} q _θ , que son los S ³ puntos

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!}$

Dado que la multiplicación por q _{( a , b , c )} actúa como una rotación del espacio de los cuaterniones, la fibra no es simplemente un círculo topológico, es un círculo geométrico.

La fibra final, para (0, 0, −1) , se puede dar definiendo q _(0,0,−1) para que sea igual a i , produciendo

${\displaystyle {\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},}$

que completa el paquete. Pero tenga en cuenta que este mapeo uno a uno entre S ³ y S ² × S ¹ no es continuo en este círculo, lo que refleja el hecho de que S ³ no es topológicamente equivalente a S ² × S ¹ .

Así, una forma sencilla de visualizar la fibración de Hopf es la siguiente. Cualquier punto de las 3 esferas es equivalente a un cuaternión , que a su vez equivale a una rotación particular de un sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones. El conjunto de todos los cuaterniones posibles produce el conjunto de todas las rotaciones posibles, que mueve la punta de un vector unitario de dicho marco de coordenadas (digamos, el vector z ) a todos los puntos posibles en una unidad de 2 esferas. Sin embargo, fijar la punta del vector z no especifica la rotación completamente; es posible una rotación adicional alrededor del eje z . Por lo tanto, las 3 esferas se asignan a las 2 esferas, más una sola rotación.

La rotación se puede representar utilizando los ángulos de Euler θ, φ y ψ. El mapeo de Hopf asigna la rotación al punto de la 2 esfera dado por θ y φ, y el círculo asociado está parametrizado por ψ. Tenga en cuenta que cuando θ = π los ángulos de Euler φ y ψ no están bien definidos individualmente, por lo que no tenemos un mapeo uno a uno (o uno a dos) entre los 3 toros de (θ, φ , ψ) y S ³ .

Mecánica de fluidos

Si la fibración de Hopf se trata como un campo vectorial en un espacio tridimensional, entonces hay una solución a las ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes (compresibles y no viscosas) en las que el fluido fluye a lo largo de los círculos de la proyección de la fibración de Hopf. en un espacio tridimensional. El tamaño de las velocidades, la densidad y la presión se pueden elegir en cada punto para satisfacer las ecuaciones. Todas estas cantidades caen a cero alejándose del centro. Si a es la distancia al anillo interior, los campos de velocidades, presión y densidad vienen dados por:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

para constantes arbitrarias A y B . Se encuentran patrones de campos similares como soluciones de solitones de magnetohidrodinámica : ^[4]

Generalizaciones

La construcción de Hopf, vista como un haz de fibras p : S ³ → CP ¹ , admite varias generalizaciones, que a menudo también se conocen como fibraciones de Hopf. Primero, se puede reemplazar la línea proyectiva por un espacio proyectivo de n dimensiones . En segundo lugar, se pueden reemplazar los números complejos por cualquier álgebra de división (real) , incluidos (para n = 1) los octoniones .

Fibraciones de Hopf reales

Se obtiene una versión real de la fibración de Hopf considerando el círculo S ¹ como un subconjunto de R ² de la forma habitual e identificando puntos antípodas. Esto da un haz de fibras S ¹ → RP ¹ sobre la línea proyectiva real con fibra S ⁰ = {1, −1}. Así como CP ¹ es difeomorfo a una esfera, RP ¹ es difeomorfo a un círculo.

De manera más general, la n -esfera S ⁿ fibras sobre el espacio proyectivo real RP ⁿ con fibra S ⁰ .

Fibraciones complejas de Hopf

La construcción de Hopf da paquetes circulares p  : S ^{2 n +1} → CP ⁿ sobre espacio proyectivo complejo . Esta es en realidad la restricción del paquete de líneas tautológicas sobre CP ⁿ a la esfera unitaria en C ^{n +1} .

Fibraciones cuaterniónicas de Hopf

De manera similar, se puede considerar que S ^{4 n+3} se encuentra en H ⁿ⁺¹ ( espacio n cuaterniónico ) y factorizarlo mediante la multiplicación del cuaternión unitario (= S ³ ) para obtener el espacio proyectivo cuaterniónico HP ⁿ . En particular, dado que S ⁴ = HP ¹ , existe un paquete S ⁷ → S ⁴ con fibra S ³ .

Fibraciones octonionicas de Hopf

Una construcción similar con los octoniones produce un haz S ¹⁵ → S ⁸ con fibra S ⁷ . Pero la esfera S ³¹ no se conecta sobre S ¹⁶ con la fibra S ¹⁵ . Se puede considerar a S ⁸ como la línea proyectiva octoniónica OP ¹ . Aunque también se puede definir un plano proyectivo octoniónico OP ² , la esfera S ²³ no forma fibras sobre OP ² con la fibra S ⁷ . ^{[5] [6]}

Fibraciones entre esferas

A veces el término "fibración de Hopf" se restringe a las fibraciones entre esferas obtenidas anteriormente, que son

• S ¹ → S ¹ con fibra S ⁰
• S ³ → S ² con fibra S ¹
• S ⁷ → S ⁴ con fibra S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ con fibra S ⁷

Como consecuencia del teorema de Adams , los haces de fibras con esferas como espacio total, espacio de base y fibra sólo pueden aparecer en estas dimensiones. John Milnor utilizó haces de fibras con propiedades similares, pero diferentes de las fibraciones de Hopf, para construir esferas exóticas .

Geometría y aplicaciones

Las fibras de la fibración de Hopf se proyectan estereográficamente a una familia de círculos de Villarceau en R ³ .

La fibración de Hopf tiene muchas implicaciones, algunas puramente atractivas, otras más profundas. Por ejemplo, la proyección estereográfica S ³ → R ³ induce una estructura notable en R ³ , que a su vez ilumina la topología del paquete (Lyons 2003). La proyección estereográfica conserva los círculos y asigna las fibras de Hopf a círculos geométricamente perfectos en R ³ que llenan el espacio. Aquí hay una excepción: el círculo de Hopf que contiene el punto de proyección se corresponde con una línea recta en R ³ : un "círculo que pasa por el infinito".

Las fibras sobre un círculo de latitud en S ² forman un toro en S ³ (topológicamente, un toro es el producto de dos círculos) y se proyectan a toros anidados en R ³ que también llenan el espacio. Las fibras individuales se asignan a los círculos de Villarceau de enlace en estos toros, con la excepción del círculo que pasa por el punto de proyección y el que pasa por su punto opuesto : el primero se asigna a una línea recta, el segundo a un círculo unitario perpendicular y centrado en , esta línea, que puede verse como un toro degenerado cuyo radio menor se ha reducido a cero. Cada otra imagen de fibra también rodea la línea y, por lo tanto, por simetría, cada círculo está unido a través de cada círculo, tanto en R ³ como en S ³ . Dos de estos círculos de enlace forman un enlace de Hopf en R ³

Hopf demostró que el mapa de Hopf tiene el invariante 1 de Hopf y, por lo tanto, no es homotópico nulo . De hecho, genera el grupo de homotopía π ₃ ( S ² ) y tiene orden infinito.

En mecánica cuántica , la esfera de Riemann se conoce como esfera de Bloch , y la fibración de Hopf describe la estructura topológica de un sistema de mecánica cuántica de dos niveles o qubit . De manera similar, la topología de un par de sistemas entrelazados de dos niveles viene dada por la fibración de Hopf.

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.}$

(Mosseri y Dandoloff 2001). Además, la fibración de Hopf es equivalente a la estructura del haz de fibras del monopolo de Dirac . ^[7]

La fibración de Hopf también encontró aplicaciones en robótica , donde se utilizó para generar muestras uniformes en SO(3) para el algoritmo de hoja de ruta probabilística en la planificación del movimiento. ^[8] También encontró aplicación en el control automático de cuadrotores . ^{[9] [10]}

Notas

1. Esta partición de las 3 esferas en círculos máximos separados es posible porque, a diferencia de las 2 esferas, los círculos máximos distintos de las 3 esferas no necesitan cruzarse.
2. Fibración de Hopf cuaterniónica, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibración
3. Smith, Benjamín. "Notas de fibración de Hopf de Benjamin H. Smith" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de septiembre de 2016.
4. Kamchatnov, AM (1982), Solitones topológicos en magnetohidrodinámica (PDF)
5. Besse, Arturo (1978). Colectores todas cuyas geodésicas están cerradas . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08158-6.(§0.26 en la página 6)
6. sci.math.research 1993 hilo "Esferas formadas por esferas"
7. Friedman, John L. (junio de 2015). "Nota histórica sobre haces de fibras". Física hoy . 68 (6): 11. Bibcode : 2015PhT....68f..11F. doi : 10.1063/PT.3.2799 .
8. Yershova, Anna; jainista, suati; LaValle, Steven M.; Mitchell, Julie C. (2010). "Generación de cuadrículas incrementales uniformes en SO (3) utilizando la fibración de Hopf". La Revista Internacional de Investigación en Robótica . 29 (7): 801–812. doi :10.1177/0278364909352700. ISSN  0278-3649. PMC 2896220 . PMID  20607113. 
9. Watterson, Michael; Kumar, Vijay (2020). Amato, Nancy M.; Hager, Greg; Thomas, Shawna; Torres-Torriti, Miguel (eds.). "Control de cuadrotores mediante fibración de Hopf en SO (3)" . Investigación en Robótica . Actas de Springer en Robótica Avanzada. Cham: Editorial Internacional Springer. 10 : 199–215. doi :10.1007/978-3-030-28619-4_20. ISBN 978-3-030-28619-4. S2CID  195852176.
10. Jia, Jindou; Guo, Kexin; Yu, Xiang; Zhao, Weihua; Guo, Lei (2022). "Seguimiento preciso de trayectorias de alta maniobra para cuadrotores: un método de utilización de arrastre" . Cartas de robótica y automatización IEEE . 7 (3): 6966–6973. doi :10.1109/LRA.2022.3176449. ISSN  2377-3766. S2CID  249550496.

Referencias

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• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche" , Mathematische Annalen , Berlín: Springer , 104 (1): 637–665, doi :10.1007/BF01457962, ISSN  0025-5831, S2CID  123533891
• Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae , Varsovia: Acad polaco. Sci., 25 : 427–440, doi : 10.4064/fm-25-1-427-440 , ISSN  0016-2736
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• Steenrod, Norman (1951), La topología de los haces de fibras, PMS 14, Princeton University Press (publicado en 1999), ISBN 978-0-691-00548-5
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• Banchoff, Thomas (1988). "Geometría del mapeo de Hopf y Tori de Pinkall de un tipo conforme dado". En Tangora, Martín (ed.). Computadoras en Álgebra . Nueva York y Basilea: Marcel Dekker. págs. 57–62.

enlaces externos

• "Fibración de Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Rowland, Todd. "Fibración de Hopf". MundoMatemático .
• Los capítulos 7 y 8 de Dimensions Math ilustran la fibración de Hopf con gráficos animados por computadora.
• Una introducción elemental a la fibración de Hopf por David W. Lyons ( PDF )
• Animación de YouTube que muestra un mapeo dinámico de puntos de la 2 esfera a círculos de la 3 esfera, realizada por el profesor Niles Johnson.
• La animación de YouTube de la construcción del 120 celdas de Gian Marco Todesco muestra la fibración Hopf del 120 celdas.
• Vídeo de un anillo de 30 celdas del de 600 celdas de http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
• Visualización interactiva del mapeo de puntos en la 2 esferas a círculos en la 3 esferas