Extensión de Alexandroff

Manera de extender un espacio topológico no compacto

En el campo matemático de la topología , la extensión de Alexandroff es una forma de extender un espacio topológico no compacto mediante la unión de un único punto de tal manera que el espacio resultante sea compacto . Recibe su nombre del matemático ruso Pavel Alexandroff . Más precisamente, sea X un espacio topológico. Entonces, la extensión de Alexandroff de X es un cierto espacio compacto X * junto con una incrustación abierta c  :  X  →  X * tal que el complemento de X en X * consiste en un único punto, típicamente denotado ∞. La función c es una compactificación de Hausdorff si y solo si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto y no compacto . Para tales espacios, la extensión de Alexandroff se denomina compactificación de un punto o compactificación de Alexandroff . Las ventajas de la compactificación de Alexandroff residen en su estructura simple, a menudo geométricamente significativa y en el hecho de que es, en un sentido preciso, mínima entre todas las compactificaciones; La desventaja radica en el hecho de que sólo da una compactificación de Hausdorff en la clase de espacios de Hausdorff localmente compactos, no compactos, a diferencia de la compactificación de Stone-Čech que existe para cualquier espacio topológico (pero proporciona una incrustación exactamente para los espacios de Tychonoff ).

Ejemplo: proyección estereográfica inversa

Un ejemplo geométricamente atractivo de compactificación de un punto lo da la proyección estereográfica inversa . Recordemos que la proyección estereográfica S da un homeomorfismo explícito desde la esfera unitaria menos el polo norte (0,0,1) hasta el plano euclidiano. La proyección estereográfica inversa es una incrustación densa y abierta en un espacio de Hausdorff compacto obtenido mediante la unión del punto adicional . Bajo la proyección estereográfica, los círculos latitudinales se mapean a círculos planares . De ello se deduce que la base de vecindad eliminada de dada por los casquetes esféricos perforados corresponde a los complementos de los discos planares cerrados . Más cualitativamente, una base de vecindad en la proporcionan los conjuntos a medida que K pasa por los subconjuntos compactos de . Este ejemplo ya contiene los conceptos clave del caso general. ${\displaystyle S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}}$ ${\displaystyle \infty =(0,0,1)}$ ${\displaystyle z=c}$ ${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle c\leq z<1}$ ${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Motivación

Sea una incrustación de un espacio topológico X a un espacio topológico compacto de Hausdorff Y , con imagen densa y resto de un punto . Entonces c ( X ) es abierto en un espacio compacto de Hausdorff, por lo que es Hausdorff localmente compacto, por lo tanto, su preimagen homeomorfa X también es Hausdorff localmente compacto. Además, si X fuera compacto, entonces c ( X ) estaría cerrado en Y y, por lo tanto, no sería denso. Por lo tanto, un espacio solo puede admitir una compactificación de un punto de Hausdorff si es localmente compacto, no compacto y de Hausdorff. Además, en tal compactificación de un punto, la imagen de una base de vecindad para x en X da una base de vecindad para c ( x ) en c ( X ), y, dado que un subconjunto de un espacio compacto de Hausdorff es compacto si y solo si es cerrado, las vecindades abiertas de deben ser todos los conjuntos obtenidos mediante la adición a la imagen bajo c de un subconjunto de X con complemento compacto. ${\displaystyle c:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle \{\infty \}=Y\setminus c(X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

La ampliación de Alexandroff

Sea un espacio topológico. Plantéese y topologice tomando como conjuntos abiertos todos los conjuntos abiertos en X junto con todos los conjuntos de la forma donde C es cerrado y compacto en X . Aquí, denota el complemento de en Nótese que es un entorno abierto de y por lo tanto cualquier recubrimiento abierto de contendrá todos excepto un subconjunto compacto de lo que implica que es compacto (Kelley 1975, p. 150). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle \{\infty \}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle X^{*}}$

El espacio se denomina extensión de Alexandroff de X (Willard, 19A). A veces se utiliza el mismo nombre para la función de inclusión. ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle c:X\to X^{*}.}$

Las propiedades que se indican a continuación se desprenden de la discusión anterior:

• El mapa c es continuo y abierto: incorpora X como un subconjunto abierto de . ${\displaystyle X^{*}}$
• El espacio es compacto. ${\displaystyle X^{*}}$
• La imagen c ( X ) es densa en , si X no es compacta. ${\displaystyle X^{*}}$
• El espacio es de Hausdorff si y sólo si X es de Hausdorff y localmente compacto . ${\displaystyle X^{*}}$
• El espacio es T 1 si y sólo si X es T ₁ . ${\displaystyle X^{*}}$

La compactificación de un punto

En particular, la extensión de Alexandroff es una compactificación de Hausdorff de X si y solo si X es de Hausdorff, no compacta y localmente compacta. En este caso se denomina compactificación de un punto o compactificación de Alexandroff de X. ${\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}$

Recordemos de la discusión anterior que cualquier compactificación de Hausdorff con un punto restante es necesariamente (isomorfa a) la compactificación de Alexandroff. En particular, si es un espacio de Hausdorff compacto y es un punto límite de (es decir, no un punto aislado de ), es la compactificación de Alexandroff de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$

Sea X cualquier espacio de Tichonoff no compacto . Bajo el ordenamiento parcial natural sobre el conjunto de clases de equivalencia de compactificaciones, cualquier elemento mínimo es equivalente a la extensión de Alexandroff (Engelking, Teorema 3.5.12). De ello se deduce que un espacio de Tichonoff no compacto admite una compactificación mínima si y solo si es localmente compacto. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

Compactificaciones de un punto no Hausdorff

Sea un espacio topológico no compacto arbitrario. Se puede querer determinar todas las compactificaciones (no necesariamente Hausdorff) de obtenidas añadiendo un único punto, que también podrían llamarse compactificaciones de un punto en este contexto. Por lo tanto, se quieren determinar todas las formas posibles de dar una topología compacta tal que sea densa en ella y la topología del subespacio en inducida desde sea la misma que la topología original. La última condición de compatibilidad en la topología implica automáticamente que es densa en , porque no es compacta, por lo que no puede cerrarse en un espacio compacto. Además, es un hecho que la función de inclusión es necesariamente una incrustación abierta , es decir, debe ser abierta en y la topología en debe contener cada miembro de . ^[1] Por lo tanto, la topología en está determinada por los vecindarios de . Cualquier vecindario de es necesariamente el complemento en de un subconjunto compacto cerrado de , como se discutió previamente. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c:X\to X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

Las topologías que lo convierten en una compactificación son las siguientes: ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

• La extensión de Alexandroff de definida anteriormente. Aquí tomamos los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de como vecindades de . Esta es la topología más grande que realiza una compactificación de un punto de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$
• La topología de extensión abierta . Aquí agregamos un único entorno de , es decir, todo el espacio . Esta es la topología más pequeña que realiza una compactificación de un punto de . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$
• Cualquier topología intermedia entre las dos topologías anteriores. Para los vecindarios de , se debe elegir una subfamilia adecuada de los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de ; por ejemplo, los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados finitos, o los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados numerables. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X}$

Más ejemplos

Compactificaciones de espacios discretos

• La compactificación de un punto del conjunto de números enteros positivos es homeomorfa al espacio que consiste en K = {0} U {1/ n | n es un número entero positivo} con la topología de orden.
• Una secuencia en un espacio topológico converge a un punto en , si y solo si la función dada por para en y es continua. Aquí tenemos la topología discreta . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(\infty )=a}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Los espacios poliádicos se definen como espacios topológicos que son la imagen continua de la potencia de una compactificación de un punto de un espacio de Hausdorff discreto y localmente compacto.

Compactaciones de espacios continuos

• La compactificación de un punto del espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ es homeomorfa a la n -esfera S ⁿ . Como se indicó anteriormente, la función se puede dar explícitamente como una proyección estereográfica inversa n -dimensional.
• La compactificación de un punto del producto de copias del intervalo semicerrado [0,1), es decir, de , es (homeomorfa a) . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle [0,1)^{\kappa }}$ ${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$
• Dado que el cierre de un subconjunto conexo es conexo, la extensión de Alexandroff de un espacio conexo no compacto es conexa. Sin embargo, una compactificación de un punto puede "conectar" un espacio desconectado: por ejemplo, la compactificación de un punto de la unión disjunta de un número finito de copias del intervalo (0,1) es una cuña de círculos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• La compactificación de un punto de la unión disjunta de un número contable de copias del intervalo (0,1) es el pendiente hawaiano . Esto es diferente de la cuña de un número contable de círculos, que no es compacta.
• Dado un Hausdorff compacto y cualquier subconjunto cerrado de , la compactificación de un punto de es , donde la barra inclinada denota el espacio cociente . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle X/C}$
• Si y son Hausdorff localmente compactos, entonces donde es el producto de aplastamiento . Recordemos que la definición del producto de aplastamiento: donde es la suma de cuña , y nuevamente, / denota el espacio cociente. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)}$ ${\displaystyle A\vee B}$

Como funtor

La extensión de Alexandroff puede verse como un funtor de la categoría de espacios topológicos con aplicaciones continuas propias como morfismos a la categoría cuyos objetos son aplicaciones continuas y para la cual los morfismos de a son pares de aplicaciones continuas tales que . En particular, los espacios homeomorfos tienen extensiones de Alexandroff isomorfas. ${\displaystyle c\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}}$ ${\displaystyle f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}}$ ${\displaystyle f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}}$

Véase también

• Compactificación de Bohr  : grupo compacto de Hausdorff asociado a un grupo topológicoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Compactificación (matemáticas)  : Incorporación de un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso
• Fin (topología)  : en topología, los componentes conectados del “límite ideal” de un espacio.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Recta de números reales extendida  – Números reales con +∞ y −∞ añadidos
• Espacio normal  – Tipo de espacio topológico
• Conjunto puntiagudo  : concepto básico de la teoría de conjuntos
• Esfera de Riemann  – Modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito
• Proyección estereográfica  : proyección particular que proyecta una esfera sobre un plano.
• Compactificación de Stone-Čech  : término de la topología matemática
• Compactificación de Wallman  : compactificación de espacios topológicos T ₁

Notas

1. "Topología general – Compactificaciones de un punto no Hausdorff".
2. Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Ver el Capítulo 11 para la prueba). 

Referencias

• Alexandroff, Pavel S. (1924), "Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume", Mathematische Annalen , 92 (3–4): 294–301, doi :10.1007/BF01448011, JFM  50.0128.04, S2CID  121699713
• Brown, Ronald (1973), "Mapas secuencialmente propios y compactificación secuencial", Journal of the London Mathematical Society , Serie 2, 7 (3): 515–522, doi :10.1112/jlms/s2-7.3.515, Zbl  0269.54015

• Engelking, Ryszard (1989), Topología general , Helderman Verlag Berlin, ISBN 978-0-201-08707-9, Sr.  1039321
• Fedorchuk, VV (2001) [1994], "Compactificación de Aleksandrov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kelley, John L. (1975), Topología general , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, Sr.  0370454
• Munkres, James (1999), Topología (2.ª ed.), Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2, Zbl0951.54001 ​
• Willard, Stephen (1970), Topología general , Addison-Wesley , ISBN 3-88538-006-4, MR  0264581, Zbl  0205.26601