Grupos de homotopía de esferas.

En el campo matemático de la topología algebraica , los grupos de esferas de homotopía describen cómo esferas de varias dimensiones pueden rodearse entre sí. Son ejemplos de invariantes topológicas , que reflejan, en términos algebraicos , la estructura de esferas vistas como espacios topológicos , olvidándose de su geometría precisa. A diferencia de los grupos de homología , que también son invariantes topológicos, los grupos de homotopía son sorprendentemente complejos y difíciles de calcular.

Esta imagen imita parte de la fibración de Hopf, un interesante mapeo de la esfera tridimensional a la esfera bidimensional. Este mapeo es el generador del tercer grupo de homotopía de las 2 esferas.

La esfera unitaria $de n$ dimensiones , denominada $n$ -esfera por brevedad y denotada como $S$ $n$ , generaliza el círculo familiar ( $S$ $1$ ) y la esfera ordinaria ( $S$ $2$ ). La $n$ -esfera se puede definir geométricamente como el conjunto de puntos en un espacio euclidiano de dimensión $n$ $+ 1$ ubicados a una unidad de distancia del origen. El $i$ -ésimo grupo de homotopía $π$ $i$ $($ $S$ $n$ $)$ resume las diferentes formas en que la esfera $i -dimensional$ $Si$ $se$ puede mapear continuamente en la esfera $n$ -dimensional $S$ $n$ . Este resumen no distingue entre dos mapeos si uno puede deformarse continuamente respecto del otro; por lo tanto, sólo se resumen las clases de equivalencia de asignaciones. Una operación de "suma" definida en estas clases de equivalencia convierte el conjunto de clases de equivalencia en un grupo abeliano .

El problema de determinar $π i (S n)$ se divide en tres regímenes, dependiendo de si $i$ es menor, igual o mayor que $n$ :

Para $0 < i < n$ , cualquier mapeo de $Si$ $a$ S $n es homotópico (es decir, continuamente deformable) a un mapeo constante, es decir, un mapeo que$ $mapea$ todo $Si$ a un solo punto de $S n$ . Por tanto, el grupo de homotopía es el grupo trivial .
Cuando $i = n$ , cada aplicación desde $S n$ hacia sí misma tiene un grado que mide cuántas veces la esfera se enrolla sobre sí misma. Este grado identifica el grupo de homotopía $π n (S n)$ con el grupo de números enteros bajo suma. Por ejemplo, cada punto de un círculo se puede asignar continuamente a un punto de otro círculo; A medida que el primer punto se mueve alrededor del primer círculo, el segundo punto puede recorrer varias veces alrededor del segundo círculo, dependiendo del mapeo particular.
Los resultados más interesantes y sorprendentes ocurren cuando $i > n$ . La primera de estas sorpresas fue el descubrimiento de un mapeo llamado fibración de Hopf , que envuelve las 3 esferas $S 3$ alrededor de la esfera habitual $S 2$ de una manera no trivial y, por lo tanto, no es equivalente a un mapeo de un punto.

La cuestión de calcular el grupo de homotopía $π n + k (S n) para$ $k$ positivo resultó ser una cuestión central en la topología algebraica que ha contribuido al desarrollo de muchas de sus técnicas fundamentales y ha servido como un foco estimulante de investigación. Uno de los principales descubrimientos es que los grupos de homotopía $π n + k (S n)$ son independientes de $n$ para $n \geq k + 2$ . Estos se denominan grupos de esferas de homotopía estable y se han calculado para valores de $k$ hasta 90. ^[1] Los grupos de homotopía estable forman el anillo de coeficientes de una teoría de cohomología extraordinaria , llamada teoría de cohomotopía estable . Los grupos de homotopía inestables (para $n < k + 2$ ) son más erráticos; sin embargo, se han tabulado para $k < 20$ . La mayoría de los cálculos modernos utilizan secuencias espectrales , una técnica que Jean-Pierre Serre aplicó por primera vez a grupos de esferas homotópicas . Se han establecido varios patrones importantes, pero aún queda mucho por conocer e inexplicar.

Fondo

El estudio de los grupos homotópicos de esferas se basa en una gran cantidad de material de antecedentes, que aquí se revisa brevemente. La topología algebraica proporciona un contexto más amplio, construido a su vez sobre topología y álgebra abstracta , con grupos de homotopía como ejemplo básico.

n -esfera

Una esfera ordinaria en un espacio tridimensional (la superficie, no la bola sólida) es sólo un ejemplo de lo que significa una esfera en topología. La geometría define una esfera rígidamente, como una forma. Aquí hay algunas alternativas.

Superficie implícita : $x 20 + x 21 + x 22 = 1$

Este es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano tridimensional que se encuentran exactamente a una unidad del origen. Se llama 2 esferas,

S 2

, por las razones que se exponen a continuación. La misma idea se aplica para cualquier dimensión

n

; la ecuación

x 20 + x 21 + \dots + x 2 norte = 1

produce la

n

-esfera como un objeto geométrico en (

n + 1

) espacio dimensional. Por ejemplo, la 1-esfera

S 1

es un círculo . ^[2]

Disco con borde colapsado : escrito en topología como $D 2 / S 1$

Esta construcción pasa de la geometría a la topología pura. El disco

D 2

es la región contenida por un círculo, descrita por la desigualdad

x 20 + x 21 \leq 1

, y su borde (o " límite ") es el círculo

S 1

, descrito por la igualdad

x 20 + x 21 = 1

. Si se perfora un globo y se extiende, se produce un disco; esta construcción repara el pinchazo, como tirar de un cordón. La barra oblicua , que se pronuncia "módulo", significa tomar el espacio topológico de la izquierda (el disco) y en él unir como uno solo todos los puntos de la derecha (el círculo). La región es bidimensional, razón por la cual la topología llama al espacio topológico resultante biesfera. Generalizado,

D n / S n -1

produce

S n

. Por ejemplo,

D 1

es un segmento de línea y la construcción une sus extremos para formar un círculo. Una descripción equivalente es que el límite de un disco de

n

dimensiones está pegado a un punto, produciendo un complejo CW . ^[3]

Suspensión del ecuador : escrita en topología como $Σ S 1$

Esta construcción, aunque simple, es de gran importancia teórica. Tome el círculo

S 1

como el ecuador y barra cada punto de él hacia un punto arriba (el Polo Norte), lo que produce el hemisferio norte, y hacia un punto debajo (el Polo Sur), lo que produce el hemisferio sur. Para cada entero positivo

n

, la

n

-esfera

x 20 + x 21 + \dots + x 2 norte = 1

tiene como ecuador la (

n - 1

)-esfera

x 20 + x 21 + \dots + x 2 norte -1 = 1

, y la suspensión

Σ S n -1

produce

S n

. ^[4]

Alguna teoría requiere seleccionar un punto fijo en la esfera, llamando al par $(esfera, punto)$ esfera puntiaguda . Para algunos espacios la elección es importante, pero para una esfera todos los puntos son equivalentes, por lo que la elección es una cuestión de conveniencia. ^[5] Para esferas construidas como una suspensión repetida, el punto $(1, 0, 0, ..., 0)$ , que está en el ecuador de todos los niveles de suspensión, funciona bien; para el disco con llanta plegada, el punto resultante del plegado de la llanta es otra elección obvia.

Grupo de homotopía

La característica distintiva de un espacio topológico es su estructura de continuidad, formalizada en términos de conjuntos abiertos o vecindades . Un mapa continuo es una función entre espacios que preserva la continuidad. Una homotopía es un camino continuo entre mapas continuos; Se dice que dos mapas conectados por una homotopía son homotópicos. ^[6] La idea común a todos estos conceptos es descartar variaciones que no afecten los resultados de interés. Un ejemplo práctico importante es el teorema del residuo del análisis complejo , donde las "curvas cerradas" son aplicaciones continuas desde el círculo al plano complejo, y donde dos curvas cerradas producen el mismo resultado integral si son homotópicas en el espacio topológico que consiste en el plano. menos los puntos de singularidad. ^[7]

El primer grupo de homotopía, o grupo fundamental , $π 1 (X)$ de un espacio topológico ( conectado por un camino ) $X$ comienza así con mapas continuos desde un círculo puntiagudo $(S 1, s)$ hasta el espacio puntiagudo $(X, x)$ , donde los mapas de un par a otro mapea $s$ en $x$ . Estos mapas (o equivalentemente, curvas cerradas ) se agrupan en clases de equivalencia basadas en la homotopía (manteniendo fijo el "punto base" $x$ ), de modo que dos mapas están en la misma clase si son homotópicos. Así como se distingue un punto, también se distingue una clase: todas las aplicaciones (o curvas) homotópicas a la aplicación constante $S 1 \mapsto x$ se denominan homotópicas nulas. Las clases se convierten en un grupo algebraico abstracto con la introducción de la suma, definida mediante un "pellizco del ecuador". Este pellizco mapea el ecuador de una esfera puntiaguda (aquí un círculo) hasta el punto distinguido, produciendo un " ramo de esferas ": dos esferas puntiagudas unidas en su punto distinguido. Los dos mapas que se agregarán mapean las esferas superior e inferior por separado, coincidiendo en el punto distinguido, y la composición con el pellizco da el mapa suma. ^[8]

De manera más general, el $i$ -ésimo grupo de homotopía, $π i (X)$ comienza con la $i$ -esfera puntiaguda $(S i, s)$ y, por lo demás, sigue el mismo procedimiento. La clase homotópica nula actúa como la identidad de la suma del grupo, y para $X$ igual a $S n$ $(para n$ positivo ) - los grupos de esferas de homotopía - los grupos son abelianos y finitamente generados . Si para algunos $i$ todos los mapas son homotópicos nulos, entonces el grupo $π i$ consta de un elemento y se llama grupo trivial . ^{[ cita necesaria ]}

Un mapa continuo entre dos espacios topológicos induce un homomorfismo de grupo entre los grupos de homotopía asociados. En particular, si el mapa es una biyección continua (un homeomorfismo ), de modo que los dos espacios tienen la misma topología, entonces sus $i$ -ésimos grupos de homotopía son isomórficos para todo $i$ . Sin embargo, el plano real tiene exactamente los mismos grupos de homotopía que un punto solitario (al igual que un espacio euclidiano de cualquier dimensión), y el plano real sin un punto tiene los mismos grupos que un círculo, por lo que los grupos por sí solos no son suficientes para distinguir espacios. Aunque la pérdida del poder de discriminación es lamentable, también puede facilitar ciertos cálculos. ^{[ cita necesaria ]}

Ejemplos de baja dimensión

Los ejemplos de baja dimensión de grupos de esferas homotópicos proporcionan una idea del tema, porque estos casos especiales se pueden visualizar en un espacio tridimensional ordinario. ^[9] Sin embargo, tales visualizaciones no son pruebas matemáticas y no capturan la posible complejidad de los mapas entre esferas. ^{[ cita necesaria ]}

π 1 ( S 1 ) = Z

El caso más simple se refiere a las formas en que un círculo (1 esfera) puede envolverse alrededor de otro círculo. Esto se puede visualizar envolviendo una banda elástica alrededor del dedo: se puede enrollar una, dos, tres veces, etc. La envoltura puede realizarse en cualquiera de dos direcciones, y las envolturas en direcciones opuestas se cancelarán después de una deformación. El grupo de homotopía $π 1 (S 1)$ es, por lo tanto, un grupo cíclico infinito y es isomorfo al grupo $Z$ de números enteros bajo suma: una clase de homotopía se identifica con un número entero contando el número de veces que un mapeo en la clase de homotopía se envuelve alrededor el círculo. Este número entero también se puede considerar como el número de vueltas de un bucle alrededor del origen en el plano . ^[9]

La identificación (un isomorfismo de grupo ) del grupo de homotopía con los números enteros a menudo se escribe como una igualdad: así $π 1 (S 1) = Z$ . ^[10]

π 2 ( S 2 ) = Z

Los mapeos de 2 esferas a 2 esferas se pueden visualizar como envolver una bolsa de plástico alrededor de una bola y luego sellarla. La bolsa sellada es topológicamente equivalente a dos esferas, al igual que la superficie de la pelota. La bolsa se puede envolver más de una vez girándola y envolviéndola sobre la pelota. (No es necesario que el mapa continuo sea inyectivo , por lo que se permite que la bolsa pase a través de sí misma). El giro puede realizarse en una de dos direcciones y los giros opuestos pueden anularse por deformación. El número total de giros después de la cancelación es un número entero, llamado grado de mapeo. Como en el caso de las asignaciones del círculo al círculo, este grado identifica el grupo de homotopía con el grupo de números enteros , $Z.$

Estos dos resultados se generalizan: para todo $n > 0$ , $π n (S n) = Z$ (ver más abajo).

π 1 ( S 2 ) = 0

Una homotopía desde un círculo alrededor de una esfera hasta un solo punto.

Cualquier mapeo continuo de un círculo a una esfera ordinaria puede deformarse continuamente a un mapeo de un punto, por lo que su clase de homotopía es trivial. Una forma de visualizar esto es imaginar una banda elástica enrollada alrededor de una pelota sin fricción: la banda siempre se puede deslizar fuera de la pelota. El grupo de homotopía es, por tanto, un grupo trivial , con un solo elemento, el elemento identidad, por lo que puede identificarse con el subgrupo de $Z$ que consta únicamente del número cero. Este grupo a menudo se denota con 0. Sin embargo, mostrar esto rigurosamente requiere más cuidado debido a la existencia de curvas que llenan el espacio . ^[11]

Este resultado se generaliza a dimensiones superiores. Todas las asignaciones de una esfera de dimensiones inferiores a una esfera de dimensiones superiores son igualmente triviales: si $i < n$ , entonces $π i (S n) = 0$ . Esto se puede demostrar como consecuencia del teorema de aproximación celular . ^[12]

π 2 ( S 1 ) = 0

Todos los casos interesantes de grupos de esferas homotópicos implican mapeos de una esfera de dimensiones superiores a una de dimensiones inferiores. Desafortunadamente, el único ejemplo que puede visualizarse fácilmente no es interesante: no hay correspondencias no triviales entre la esfera ordinaria y el círculo. Por tanto, $π 2 (S 1) = 0$ . Esto se debe a que $S 1$ tiene como cobertura universal la línea real que es contráctil (tiene el tipo de homotopía de un punto). Además, debido a que $S 2$ está simplemente conectado, por el criterio de elevación , ^[13] cualquier mapa de $S 2$ a $S 1$ puede elevarse a un mapa en la línea real y la homotopía nula desciende al espacio inferior (a través de la composición).

π 3 ( S 2 ) = Z

El primer ejemplo no trivial con $i > n$ se refiere a asignaciones de la 3 esfera a la 2 esfera ordinaria, y fue descubierto por Heinz Hopf , quien construyó un mapa no trivial de $S 3$ a $S 2$ , ahora conocido como fibración de Hopf . ^[14] Este mapa genera el grupo de homotopía $π 3 (S 2) = Z$ . ^[15]

Historia

A finales del siglo XIX, Camille Jordan introdujo la noción de homotopía y utilizó la noción de grupo de homotopía, sin utilizar el lenguaje de la teoría de grupos. ^[16]Henri Poincaré adoptó un enfoque más riguroso en su conjunto de artículos de 1895 Analysis situs , donde también se introdujeron los conceptos relacionados de homología y grupo fundamental . ^[17]

Los grupos de homotopía superior fueron definidos por primera vez por Eduard Čech en 1932. ^[18] (Su primer artículo fue retirado por consejo de Pavel Sergeyevich Alexandrov y Heinz Hopf, con el argumento de que los grupos eran conmutativos, por lo que no podían ser las generalizaciones correctas de la homotopía fundamental). grupo.) A Witold Hurewicz también se le atribuye la introducción de grupos de homotopía en su artículo de 1935 y también el teorema de Hurewicz que puede usarse para calcular algunos de los grupos. ^[19] Un método importante para calcular los distintos grupos es el concepto de topología algebraica estable, que encuentra propiedades que son independientes de las dimensiones. Normalmente, estos sólo son válidos para dimensiones más grandes. El primer resultado de este tipo fue el teorema de suspensión de Hans Freudenthal , publicado en 1937. La topología algebraica estable floreció entre 1945 y 1966 con muchos resultados importantes. ^[19] En 1953, George W. Whitehead demostró que existe un rango metaestable para los grupos de esferas homotópicos. Jean-Pierre Serre utilizó secuencias espectrales para mostrar que la mayoría de estos grupos son finitos, siendo las excepciones $π$ $n$ $($ $S$ $n$ $)$ y $π$ $4$ $n$ $-1$ $($ $S$ $2$ $n$ $)$ . Otros que trabajaron en esta área fueron José Adem , Hiroshi Toda , Frank Adams , J. Peter May , Mark Mahowald , Daniel Isaksen, Guozhen Wang y Zhouli Xu . Los grupos de homotopía estable $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ son conocidos para $k$ hasta 90 y, a partir de 2023, desconocidos para $k$ mayores . ^[1]

teoría general

Como ya se señaló, cuando $i$ es menor que $n$ , $π i (S n) = 0$ , el grupo trivial . La razón es que un mapeo continuo de una $i$ -esfera a una $n$ -esfera con $i < n$ siempre puede deformarse para que no sea sobreyectivo . En consecuencia, su imagen está contenida en $S n$ con un punto eliminado; este es un espacio contráctil , y cualquier mapeo de dicho espacio puede deformarse en un mapeo de un punto. ^[12]

El caso $i = n$ también se ha señalado ya, y es una consecuencia fácil del teorema de Hurewicz : este teorema vincula grupos de homotopía con grupos de homología , que generalmente son más fáciles de calcular; en particular, muestra que para un espacio X simplemente conexo , el primer grupo de homotopía distinto de cero $π$ $k$ $($ $X$ $)$ , con $k$ $> 0$ , es isomorfo al primer grupo de homología distinto de cero $H$ $k$ $($ $X$ $)$ . Para la $n$ -esfera, esto implica inmediatamente que para $n$ $\geq 2$ , $π$ $n$ $($ $S$ $n$ $) =$ $H$ $n$ $($ $S$ $n$ $) = Z$ . ^[^{cita necesaria}^]

Los grupos de homología $H i (S n)$ , con $i > n$ , son todos triviales. Por lo tanto, históricamente fue una gran sorpresa que los grupos de homotopía correspondientes no sean triviales en general. Este es el caso que es de verdadera importancia: los grupos de homotopía superior $π i (S n)$ , para $i > n$ , son sorprendentemente complejos y difíciles de calcular, y el esfuerzo para calcularlos ha generado una cantidad significativa de nuevas matemáticas. ^{[ cita necesaria ]}

Mesa

La siguiente tabla da una idea de la complejidad de los grupos de homotopía superior incluso para esferas de dimensión 8 o menos. En esta tabla, las entradas son el grupo trivial 0, el grupo cíclico infinito $Z$ , grupos cíclicos finitos de orden $n$ (escritos como $Z n$ ), o productos directos de dichos grupos (escritos, por ejemplo, como $Z 24 \timesZ 3$ o $Z 22 = Z2 \times Z2)$ . Al final del artículo se proporcionan tablas ampliadas de grupos de esferas de homotopía.

La primera fila de esta tabla es sencilla. Los grupos de homotopía $π i (S 1)$ de la 1-esfera son triviales para $i > 1$ , porque el espacio de cobertura universal , que tiene los mismos grupos de homotopía superiores, es contráctil. ^[^{cita necesaria}^] $\mathbb {R}$

Más allá de la primera fila, los grupos de homotopía superior ( $i > n$ ) parecen ser caóticos, pero en realidad hay muchos patrones, algunos obvios y otros muy sutiles.

Los grupos debajo de la línea negra irregular son constantes a lo largo de las diagonales (como lo indican los colores rojo, verde y azul).
La mayoría de los grupos son finitos. Los únicos grupos infinitos están en la diagonal principal o inmediatamente encima de la línea dentada (resaltada en amarillo).
La segunda y tercera fila de la tabla son iguales comenzando en la tercera columna (es decir, $π i (S 2) = π i (S 3)$ para $i$ $\geq 3$ ). Este isomorfismo es inducido por la fibración de Hopf $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ .
Para $n = 2, 3, 4, 5$ e $i \geq n,$ los grupos de homotopía $π i (S n)$ no desaparecen. Sin embargo, $π n +4 (S n) = 0$ para $n \geq 6$ .

Estos patrones se derivan de muchos resultados teóricos diferentes. ^{[ cita necesaria ]}

Grupos estables e inestables

El hecho de que los grupos debajo de la línea dentada en la tabla anterior sean constantes a lo largo de las diagonales se explica por el teorema de suspensión de Hans Freudenthal , que implica que el homomorfismo de suspensión de $π n + k (S n)$ a $π n + k +1 (S n +1)$ es un isomorfismo para $n > k + 1$ . Los grupos $π n + k (S n)$ con $n > k + 1$ se denominan grupos de esferas de homotopía estable y se denotan por $π S k$ : son grupos abelianos finitos para $k \neq 0$ y se han calculado en numerosos casos, aunque el patrón general aún es difícil de alcanzar. ^[20] Para $n \leq k +1$ , los grupos se denominan grupos de esferas de homotopía inestable . ^{[ cita necesaria ]}

Fibraciones de hopf

La fibración de Hopf clásica es un haz de fibras :

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}.

La teoría general de los haces de fibras $F \to E \to B$ muestra que existe una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía.

\cdots \to \pi _{i}(F)\to \pi _{i}(E)\to \pi _{i}(B)\to \pi _{i-1}(F )\a \cdots .

Para este paquete específico, cada homomorfismo de grupo $π i (S 1) \to π i (S 3)$ , inducido por la inclusión $S 1 \to S 3$ , asigna todos $π i (S 1)$ a cero, ya que la esfera de dimensiones inferiores $S 1 se puede deformar hasta un punto dentro del$ $S 3$ de dimensiones superiores . Esto corresponde a la desaparición de $π 1 (S 3)$ . Así, la secuencia exacta larga se divide en secuencias exactas cortas ,

0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1} )\flecha derecha 0.

Dado que $S n +1$ es una suspensión de $S n$ , estas secuencias se dividen por el homomorfismo de suspensión $π i -1 (S 1) \to π i (S 2)$ , dando isomorfismos

\pi _{i}(S^{2})=\pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).

Dado que $π i -1 (S 1)$ desaparece para $i$ al menos 3, la primera fila muestra que $π i (S 2)$ y $π i (S 3)$ son isomorfos siempre que $i$ sea al menos 3, como se observó anteriormente.

La fibración de Hopf se puede construir de la siguiente manera: pares de números complejos $(z 0, z 1)$ con $| z 0 | 2 + | z 1 | 2 = 1$ forman 3 esferas y sus proporciones $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}z 0/z 1$ Cubre el plano complejo más el infinito , una 2 esferas. El mapa de Hopf $S 3 \to S 2$ envía cualquier par a su relación. ^{[ cita necesaria ]}

De manera similar (además de la fibración de Hopf , donde la proyección del haz es una doble cobertura), existen fibraciones de Hopf generalizadas. $S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}$

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

construido utilizando pares de cuaterniones u octoniones en lugar de números complejos. ^[21] Aquí también, $π 3 (S 7)$ y $π 7 (S 15)$ son cero. Así, las secuencias exactas largas se dividen nuevamente en familias de secuencias exactas cortas divididas, lo que implica dos familias de relaciones.

\pi _{i}(S^{4})=\pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3}),

\pi _{i}(S^{8})=\pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).

Las tres fibraciones tienen un espacio base $S n$ con $n = 2 m$ , para $m = 1, 2, 3$ . Existe una fibración para $S 1$ ( $m = 0$ ) como se mencionó anteriormente, pero no para $S 16$ ( $m = 4$ ) y más allá. Aunque las generalizaciones de las relaciones con $S 16$ son a menudo ciertas, a veces fallan; Por ejemplo,

\pi _{30}(S^{16})\neq \pi _{30}(S^{31})\oplus \pi _{29}(S^{15}).

Por lo tanto no puede haber fibración.

S^{15}\hookrightarrow S^{31}\rightarrow S^{16},

el primer caso no trivial del problema del invariante uno de Hopf, porque tal fibración implicaría que la relación fallida es verdadera. ^{[ cita necesaria ]}

Cobordismo enmarcado

Los grupos de homotopía de esferas están estrechamente relacionados con las clases de variedades de cobordismo . En 1938 Lev Pontryagin estableció un isomorfismo entre el grupo de homotopía $π n + k (S n)$ y el grupo $Ω enmarcado k (S n + k)$ de clases de cobordismo de $k$ -subvariedades diferenciables de $S$ $n$ $+$ $k$ que están "enmarcadas", es decir, tienen un paquete normal trivializado . Cada mapa $f$ $:$ $S$ $n$ $+$ $k$ $\to$ $S$ $n$ es homotópico a un mapa diferenciable con $M$ $k$ $=$ $f$ $-1$ $(1, 0, ..., 0) \subset$ $S$ $n$ $+$ $k$ $una subvariedad k$ -dimensional enmarcada . Por ejemplo, $π$ $n$ $($ $S$ $n$ $) = Z$ es el grupo de cobordismo de subvariedades de dimensión 0 enmarcadas de $S$ $n$ , calculadas por la suma algebraica de sus puntos, correspondiente al grado de aplicaciones $f$ $:$ $S$ $n$ $\to$ $S$ $n$ . La proyección de la fibración de Hopf $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ representa un generador de $π$ $3$ $($ $S$ $2$ $) = Ω$ $enmarcado 1 (S 3) = Z$ que corresponde a la subvariedad unidimensional enmarcada de $S 3$ definida por la incrustación estándar $S 1 \subset S 3$ con una trivialización no estándar del paquete normal de 2 planos. Hasta la llegada de métodos algebraicos más sofisticados a principios de la década de 1950 (Serre), el isomorfismo de Pontrjagin era la principal herramienta para calcular los grupos homotópicos de esferas. En 1954, René Thom generalizó el isomorfismo de Pontrjagin a un isomorfismo que expresaba otros grupos de clases de cobordismo (por ejemplo, de todas las variedades) como grupos homotópicos de espacios y espectros . En trabajos más recientes, el argumento suele ser inverso: los grupos de cobordismo se calculan en términos de grupos de homotopía. ^[22]

Finitud y torsión

En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos homotópicos de esferas son todos finitos excepto aquellos de la forma $π n (S n)$ o $π 4 n -1 (S 2 n) (para$ $n$ positivo ), cuando el grupo es el producto del grupo cíclico infinito con un grupo abeliano finito. ^[23] En particular, los grupos de homotopía están determinados por sus $p$ -componentes para todos los números primos $p$ . Los 2 componentes son los más difíciles de calcular y, en varios sentidos, se comportan de manera diferente a los $p$ componentes para los primos impares. ^{[ cita necesaria ]}

En el mismo artículo, Serre encontró el primer lugar donde ocurre $p$ -torsión en los grupos de homotopía de $n$ esferas dimensionales, al mostrar que $π n + k (S n)$ no tiene $p$ - torsión si $k < 2 p - 3$ , y tiene un subgrupo único de orden $p$ si $n \geq 3$ y $k = 2 p - 3$ . El caso de esferas bidimensionales es ligeramente diferente: la primera $p$ -torsión ocurre para $k = 2 p - 3 + 1$ . En el caso de torsión impar hay resultados más precisos; en este caso hay una gran diferencia entre esferas de dimensiones pares e impares. Si $p$ es un primo impar y $n = 2 i + 1 , entonces los$ elementos de la componente $p$ de $π$ $n$ $+$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ tienen orden como máximo $p$ $i$ . ^[24] Este es, en cierto sentido, el mejor resultado posible, ya que se sabe que estos grupos tienen elementos de este orden para algunos valores de $k$ . ^[25] Además, el rango estable se puede ampliar en este caso: si $n$ es impar, entonces la doble suspensión de $π$ $k$ $($ $S$ $n$ $)$ a $π$ $k$ $+2$ $($ $S$ $n$ $+2$ $)$ es un isomorfismo de $p$ -componentes si $k$ $<$ $p$ $($ $n$ $+ 1) - 3$ , y un epimorfismo si se cumple la igualdad. ^[26] La $p$ -torsión del grupo intermedio $π$ $k$ $+1$ $($ $S$ $n$ $+1$ $)$ puede ser estrictamente mayor. ^[^{cita necesaria}^]

Los resultados anteriores sobre la torsión impar solo son válidos para esferas de dimensiones impares: para esferas de dimensiones pares, la fibración de James da la torsión en los primos impares $p$ en términos de la de las esferas de dimensiones impares,

\pi _{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi _{2m+k-1}(S^{2m-1})(p)\oplus \pi _{ 2m+k}(S^{4m-1})(p)

(donde $(p)$ significa tomar el componente $p$ ). ^[27] Esta secuencia exacta es similar a las que provienen de la fibración de Hopf; la diferencia es que funciona para todas las esferas de dimensiones pares, aunque a costa de ignorar la torsión 2. La combinación de los resultados para esferas de dimensiones pares e impares muestra que gran parte de la torsión impar de los grupos de homotopía inestables está determinada por la torsión impar de los grupos de homotopía estable. ^{[ cita necesaria ]}

Para grupos de homotopía estables hay resultados más precisos sobre $p$ -torsión. Por ejemplo, si $k < 2 p (p - 1) - 2$ para un $p$ primo , entonces el $p$ -componente primario del grupo de homotopía estable $π S k$ desaparece a menos que $k + 1$ sea divisible por $2(p - 1)$ , en cuyo caso es cíclico de orden $p$ . ^[28]

El homomorfismo J

Un subgrupo importante de $π n + k (S n)$ , para $k \geq 2$ , es la imagen del J-homomorfismo $J : π k (SO(n)) \to π n + k (S n)$ , donde $SO(n)$ denota el grupo ortogonal especial . ^[29] En el rango estable $n \geq k + 2$ , los grupos de homotopía $π k (SO (n))$ solo dependen de $k (mod 8)$ . Este patrón del período 8 se conoce como periodicidad de Bott y se refleja en los grupos de esferas de homotopía estable a través de la imagen del homomorfismo $J$ que es:

un grupo cíclico de orden 2 si $k$ es congruente con 0 o 1 módulo 8;
trivial si $k$ es congruente con 2, 4, 5 o 6 módulo 8; y
un grupo cíclico de orden igual al denominador de $B 2 metros / 4 metros$ , donde $B 2 m$ es un número de Bernoulli , si $k = 4 m - 1 \equiv 3 (mod 4)$ .

Este último caso explica los elementos de orden finito inusualmente grande en $π n + k (S n)$ para tales valores de $k$ . Por ejemplo, los grupos estables $π n +11 (S n)$ tienen un subgrupo cíclico de orden 504, el denominador de $B 6 / 12 = 1 / 504$ . ^{[ cita necesaria ]}

Los grupos de esferas de homotopía estable son la suma directa de la imagen del homomorfismo $J$ y el núcleo del invariante $e$ de Adams , un homomorfismo de estos grupos a . En términos generales, la imagen del homomorfismo $J$ es el subgrupo de elementos "bien comprendidos" o "fáciles" de los grupos de homotopía estable. Estos elementos bien entendidos representan la mayoría de los elementos de los grupos de esferas de homotopía estable en pequeñas dimensiones. El cociente de $π$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ $sn $ por la imagen del $J$ -homomorfismo se considera la parte "dura" de los grupos de esferas de homotopía estable (Adams 1966). (Adams también introdujo ciertos elementos de orden 2 $μ n$ de $π sn $ para $n \equiv 1 o 2 (mod 8)$ , y estos también se consideran "bien entendidos".) Las tablas de grupos de esferas de homotopía a veces omiten la parte "fácil" $im(J)$ para ahorrar espacio. ^{[ cita necesaria ]}

Estructura de anillo

la suma directa

\pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}

de los grupos de esferas de homotopía estable es un anillo graduado supercommutativo , donde la multiplicación viene dada por la composición de mapas representativos, y cualquier elemento de grado distinto de cero es nilpotente ; ^[30] el teorema de la nilpotencia sobre el cobordismo complejo implica el teorema de Nishida. ^[^{cita necesaria}^]

Ejemplo: Si $η$ es el generador de $π S 1$ (de orden 2), entonces $η 2$ es distinto de cero y genera $π S 2$ , y $η 3$ es distinto de cero y 12 veces un generador de $π S 3$ , mientras que $η 4$ es cero porque el grupo $π S 4$ es trivial. ^{[ cita necesaria ]}

Si $f$ , $g$ y $h$ son elementos de $π S *$ con $f g = 0$ y $g \cdot h = 0$ , hay un paréntesis Toda $⟨ f, g, h ⟩$ de estos elementos. ^[31] El grupo de Toda no es del todo un elemento de un grupo de homotopía estable, porque sólo se define hasta la adición de productos de otros elementos determinados. Hiroshi Toda utilizó el producto de composición y los corchetes de Toda para etiquetar muchos de los elementos de los grupos de homotopía. También hay corchetes Toda superiores de varios elementos, definidos cuando desaparecen los corchetes Toda inferiores adecuados. Esto es paralelo a la teoría de los productos de Massey en cohomología . ^{[ cita necesaria ]} Cada elemento de los grupos de esferas de homotopía estable se puede expresar utilizando productos de composición y corchetes de Toda superiores en términos de ciertos elementos bien conocidos, llamados elementos de Hopf. ^[32]

Métodos computacionales

Si $X$ es cualquier complejo simplicial finito con un grupo fundamental finito, en particular si $X$ es una esfera de dimensión al menos 2, entonces sus grupos de homotopía son todos grupos abelianos generados finitamente . Para calcular estos grupos, a menudo se factorizan en sus $p$ -componentes para cada $p$ primo y se calcula cada uno de estos p -grupos por separado. Los primeros grupos de esferas de homotopía se pueden calcular utilizando variaciones ad hoc de las ideas anteriores; Más allá de este punto, la mayoría de los métodos para calcular grupos de esferas homotópicos se basan en secuencias espectrales . ^[33] Esto generalmente se hace mediante la construcción de fibraciones adecuadas y tomando las secuencias largas y exactas asociadas de grupos de homotopía; Las secuencias espectrales son una forma sistemática de organizar la complicada información que genera este proceso. ^[^{cita necesaria}^]

"El método de matar grupos de homotopía", debido a Cartan y Serre (1952a, 1952b) implica el uso repetido del teorema de Hurewicz para calcular el primer grupo de homotopía no trivial y luego matarlo (eliminarlo) con una fibración que involucra un espacio de Eilenberg-MacLane. . En principio, esto proporciona un algoritmo eficaz para calcular todos los grupos de homotopía de cualquier complejo simplicial finito simplemente conexo, pero en la práctica es demasiado engorroso usarlo para calcular algo más que los primeros pocos grupos de homotopía no triviales, ya que el complejo simplicial se vuelve mucho más complicado cada vez. uno mata a un grupo de homotopía.
Serre utilizó la secuencia espectral de Serre para probar algunos de los resultados mencionados anteriormente. Usó el hecho de que tomar el espacio de bucle de un espacio que se comporta bien desplaza todos los grupos de homotopía hacia abajo en 1, por lo que el $n.ésimo$ grupo de homotopía de un espacio $X$ es el primer grupo de homotopía de su espacio de bucle repetido ( $n -1$ ) veces. , que es igual al primer grupo de homología del espacio de bucle ( $n -1$ ) según el teorema de Hurewicz. Esto reduce el cálculo de grupos de homotopía de $X$ al cálculo de grupos de homología de sus espacios de bucle repetidos. La secuencia espectral de Serre relaciona la homología de un espacio con la de su espacio de bucle, por lo que a veces puede usarse para calcular la homología de espacios de bucle. La secuencia espectral de Serre tiende a tener muchos diferenciales distintos de cero, que son difíciles de controlar, y aparecen demasiadas ambigüedades para grupos de mayor homotopía. En consecuencia, ha sido reemplazada por secuencias espectrales más poderosas y con menos diferenciales distintos de cero, que brindan más información. ^{[ cita necesaria ]}
La secuencia espectral EHP se puede utilizar para calcular muchos grupos de esferas de homotopía; se basa en algunas fibraciones utilizadas por Toda en sus cálculos de grupos de homotopía. ^[34]^[31]
La secuencia espectral clásica de Adams tiene el término $E 2$ dado por los grupos Ext $Ext *,* A (p) (Z p, Z p)$ sobre el mod $p$ Álgebra de Steenrod $A (p)$ , y converge a algo estrechamente relacionado con el componente $p$ de los grupos de homotopía estable. Los términos iniciales de la secuencia espectral de Adams son bastante difíciles de calcular: esto a veces se hace usando una secuencia espectral auxiliar llamada secuencia espectral de May . ^[35]
En los primos impares, la secuencia espectral de Adams-Novikov es una versión más poderosa de la secuencia espectral de Adams que reemplaza la cohomología ordinaria mod $p$ con una teoría de cohomología generalizada, como el cobordismo complejo o, más generalmente, una parte de ella llamada cohomología de Brown-Peterson. . El término inicial vuelve a ser bastante difícil de calcular; para ello se puede utilizar la secuencia espectral cromática . ^[36]

Una variación de este último enfoque utiliza una versión invertida de la secuencia espectral de Adams-Novikov para la cohomología de Brown-Peterson: el límite es conocido y los términos iniciales involucran grupos de esferas de homotopía estable desconocidos que uno está tratando de encontrar. ^[37]

La secuencia espectral motívica de Adams converge a los grupos de esferas de homotopía estable motívica. Al comparar el motívico de los números complejos con el clásico, Isaksen ofrece una prueba rigurosa de los cálculos hasta el tallo 59. En particular, Isaksen calcula que el Coker J del vástago 56 es 0 y, por lo tanto, según el trabajo de Kervaire-Milnor, la esfera $S 56$ tiene una estructura suave única. ^[38]

El mapa de Kahn-Priddy induce un mapa de secuencias espectrales de Adams desde el espectro de suspensión del espacio proyectivo real infinito hasta el espectro de la esfera. Es sobreyectivo en la página de Adams $E 2$ sobre raíces positivas. Wang y Xu desarrollan un método utilizando el mapa de Kahn-Priddy para deducir inductivamente diferenciales de Adams para el espectro de esferas. Proporcionan argumentos detallados para varios diferenciales de Adams y calculan los tallos 60 y 61. Un corolario geométrico de su resultado es que la esfera $S 61$ tiene una estructura suave única y es la última de dimensiones impares; las únicas son $S 1$ , $S 3$ , $S 5$ y $S 61$ . ^[39]

La fibra motívica del método $τ$ es hasta ahora el método más eficiente en el número primo 2. La clase $τ$ es un mapa entre esferas motívicas. El teorema de Gheorghe-Wang-Xu identifica la secuencia espectral motívica de Adams para la cofibra de $τ$ como la secuencia espectral algebraica de Novikov para $BP *$ , lo que permite deducir diferenciales motívicos de Adams para la cofibra de $τ$ a partir de datos puramente algebraicos. Luego, se pueden retirar estos diferenciales motívicos de Adams a la esfera motívica y luego usar el funtor de realización de Betti para impulsarlos a la esfera clásica. ^[40] Utilizando este método, Isaksen, Wang y Xu (2023) calculan hasta el tallo 90. ^[1]

El cálculo de los grupos de homotopía de $S 2$ se ha reducido a una cuestión de teoría combinatoria de grupos . Berrick et al. (2006) identifican estos grupos de homotopía como ciertos cocientes de los grupos trenzados $de$ Brunn de $S2$ . Según esta correspondencia, cada elemento no trivial en $π$ $n$ $($ $S$ $2$ $)$ para $n$ $> 2$ puede representarse mediante una trenza brunniana sobre $S$ $2$ que no es brunniana sobre el disco $D$ $2$ . Por ejemplo, el mapa de Hopf $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ corresponde a los anillos borromeos . ^[41]

Aplicaciones

El número de devanado (correspondiente a un número entero de $π 1 (S 1) = Z)$ se puede utilizar para demostrar el teorema fundamental del álgebra , que establece que todo polinomio complejo no constante tiene un cero. ^[42]
El hecho de que $π n -1 (S n -1) = Z$ implica el teorema del punto fijo de Brouwer de que cada aplicación continua desde la bola $de n$ dimensiones hasta sí misma tiene un punto fijo. ^[43]
Los grupos de esferas de homotopía estable son importantes en la teoría de la singularidad , que estudia la estructura de puntos singulares de mapas suaves o variedades algebraicas . Tales singularidades surgen como puntos críticos de mapas suaves de $m$ an $.$ La geometría cerca de un punto crítico de dicho mapa se puede describir mediante un elemento de $π$ $m$ $-1$ $($ $S$ $n$ $-1$ $)$ , considerando la forma en que una pequeña esfera $m$ $- 1$ alrededor del punto crítico se asigna a un topológico $n$ $- 1$ esfera alrededor del valor crítico . ^[^{cita necesaria}^] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
El hecho de que el tercer grupo de esferas de homotopía estable sea cíclico de orden 24, demostrado por primera vez por Vladimir Rokhlin , implica el teorema de Rokhlin de que la firma de una variedad 4 compacta de espín suave es divisible por 16. ^[22]
Los grupos de esferas de homotopía estable se utilizan para describir el grupo $Θ n$ de clases de h-cobordismo de $n$ -esferas de homotopía orientada (para $n \neq 4$ , este es el grupo de estructuras suaves en $n$ -esferas, hasta el difeomorfismo que preserva la orientación; el Los elementos no triviales de este grupo están representados por esferas exóticas ). Más precisamente, hay un mapa inyectivo.

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,

donde

bP n +1

es el subgrupo cíclico representado por esferas de homotopía que unen una variedad paralelizable ,

π sn ​

es el

n-

ésimo grupo de esferas de homotopía estable, y

J

es la imagen del

J

-homomorfismo . Este es un isomorfismo a menos que

n

sea de la forma

2 k - 2

, en cuyo caso la imagen tiene índice 1 o 2. ^[44]

Los grupos $Θ n$ anteriores, y por lo tanto los grupos de esferas de homotopía estable, se utilizan en la clasificación de posibles estructuras suaves en una variedad lineal topológica o por partes . ^[22]
El problema del invariante de Kervaire , sobre la existencia de variedades del invariante 1 de Kervaire en dimensiones $2 k - 2,$ puede reducirse a una cuestión sobre grupos de esferas de homotopía estable. Por ejemplo, el conocimiento de grupos de homotopía estables de grado hasta 48 se ha utilizado para resolver el problema del invariante de Kervaire en la dimensión $26 - 2 = 62$ . (Este era el valor más pequeño de $k$ para el cual la pregunta estaba abierta en ese momento). ^[45]
El teorema de Barratt-Priddy dice que los grupos de homotopía estable de las esferas se pueden expresar en términos de la construcción más aplicada al espacio de clasificación del grupo simétrico , lo que lleva a una identificación de la teoría K del campo con un elemento con homotopía estable. grupos. ^[46]

Tabla de grupos de homotopía.

Las tablas de grupos homotópicos de esferas se organizan más convenientemente mostrando $π n + k (S n)$ .

La siguiente tabla muestra muchos de los grupos $π n + k (S n)$ . Los grupos de homotopía estables están resaltados en azul y los inestables en rojo. Cada grupo de homotopía es el producto de los grupos cíclicos de los órdenes dados en la tabla, utilizando las siguientes convenciones: ^[47]

La entrada "⋅" denota el grupo trivial.
Cuando la entrada es un número entero , $m$ , el grupo de homotopía es el grupo cíclico de ese orden (generalmente escrito $Z m$ ).
Donde la entrada es ∞, el grupo de homotopía es el grupo cíclico infinito , $Z.$
Cuando la entrada es un producto, el grupo de homotopía es el producto cartesiano (equivalentemente, suma directa ) de los grupos cíclicos de esos órdenes. Las potencias indican productos repetidos. (Tenga en cuenta que cuando $a$ y $b$ no tienen factor común , $Z a \timesZ b$ es isomorfo a $Z ab$ ).

Ejemplo : $π 19 (S 10) = π 9+10 (S 10) = Z\timesZ 2 \timesZ 2 \timesZ 2$ , que se denota por $\infty\cdot2 3$ en la tabla.

Tabla de grupos de homotopía estable.

Los grupos de homotopía estable $π S k$ son los productos de grupos cíclicos de los órdenes de potencia infinito o primo que se muestran en la tabla. (Por razones en gran medida históricas, los grupos de homotopía estables generalmente se dan como productos de grupos cíclicos de orden de potencia prima, mientras que las tablas de grupos de homotopía inestables a menudo los dan como productos del menor número de grupos cíclicos). Para $p > 5$ , la parte de el $p$ -componente que se explica por el $J$ -homomorfismo es cíclico de orden $p$ si $2(p - 1)$ divide $k + 1$ y 0 en caso contrario. ^[48] El comportamiento mod 8 de la tabla proviene de la periodicidad de Bott a través del homomorfismo J , cuya imagen está subrayada.

Referencias

Notas

^ abc Isaksen, Wang y Xu 2023.
^ Hatcher 2002, pag. xii.
^ Hatcher 2002, Ejemplo 0.3, p. 6.
^ Hatcher 2002, pag. 129.
^ Hatcher 2002, pag. 28.
^ Hatcher 2002, pag. 3.
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^ Hu 1959, pag. 107.
^ ab Hatcher 2002, pág. 29.
^ Véase, por ejemplo, Teoría de tipos de homotopía 2013, Sección 8.1, " ". ${\estilo de texto \pi _ {1}(S^{1})}$
^ Hatcher 2002, pag. 348.
^ ab Hatcher 2002, pág. 349.
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^ Barratt, Jones y Mahowald 1984.
^ Deitmar 2006.
^ Estas tablas se basan en la tabla de grupos de esferas de homotopía de Toda (1962).
^ Fuks 2001. Los componentes de 2 componentes se pueden encontrar en Isaksen, Wang & Xu (2023) y los componentes de 3 y 5 en Ravenel (2003).

Fuentes

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enlaces externos

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