Ecuaciones de Navier-Stokes

Equations describing the motion of viscous fluid substances

Las ecuaciones de Navier-Stokes ( / n æ v ˈ j eɪ s t oʊ k s / nav- YAY STOHKS ) son ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de sustancias fluidas viscosas . Recibieron su nombre en honor al ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y al físico y matemático irlandés George Gabriel Stokes . Se desarrollaron a lo largo de varias décadas de construcción progresiva de las teorías, desde 1822 (Navier) hasta 1842-1850 (Stokes).

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente el equilibrio de momento para fluidos newtonianos y hacen uso de la conservación de la masa . A veces van acompañadas de una ecuación de estado que relaciona la presión , la temperatura y la densidad . ^[1] Surgen de la aplicación de la segunda ley de Isaac Newton al movimiento de fluidos , junto con la suposición de que la tensión en el fluido es la suma de un término viscoso difuso (proporcional al gradiente de velocidad) y un término de presión , describiendo así el flujo viscoso . La diferencia entre ellas y las ecuaciones de Euler estrechamente relacionadas es que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen en cuenta la viscosidad, mientras que las ecuaciones de Euler solo modelan el flujo no viscoso . Como resultado, las ecuaciones de Navier-Stokes son una ecuación parabólica y, por lo tanto, tienen mejores propiedades analíticas, a expensas de tener una estructura matemática menor (por ejemplo, nunca son completamente integrables ).

Las ecuaciones de Navier-Stokes son útiles porque describen la física de muchos fenómenos de interés científico y de ingeniería . Pueden utilizarse para modelar el clima, las corrientes oceánicas , el flujo de agua en una tubería y el flujo de aire alrededor de un ala . Las ecuaciones de Navier-Stokes, en sus formas completas y simplificadas, ayudan en el diseño de aeronaves y automóviles, el estudio del flujo sanguíneo , el diseño de centrales eléctricas , el análisis de la contaminación y muchos otros problemas. Junto con las ecuaciones de Maxwell , pueden utilizarse para modelar y estudiar la magnetohidrodinámica .

Las ecuaciones de Navier-Stokes también son de gran interés en un sentido puramente matemático. A pesar de su amplia gama de usos prácticos, aún no se ha demostrado si las soluciones suaves siempre existen en tres dimensiones, es decir, si son infinitamente diferenciables (o incluso sólo acotadas) en todos los puntos del dominio . Esto se llama el problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes . El Instituto de Matemáticas Clay lo ha calificado como uno de los siete problemas abiertos más importantes en matemáticas y ha ofrecido un premio de un millón de dólares para una solución o un contraejemplo. ^{[2] [3]}

Velocidad de flujo

La solución de las ecuaciones es una velocidad de flujo . Es un campo vectorial : a cada punto de un fluido, en cualquier momento de un intervalo de tiempo, da un vector cuya dirección y magnitud son las de la velocidad del fluido en ese punto del espacio y en ese momento del tiempo. Por lo general, se estudia en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, aunque a menudo se utilizan como modelos casos bidimensionales (espaciales) y de estado estacionario, y se estudian análogos de dimensiones superiores tanto en matemáticas puras como aplicadas. Una vez calculado el campo de velocidad, se pueden encontrar otras cantidades de interés, como la presión o la temperatura, utilizando ecuaciones y relaciones dinámicas. Esto es diferente de lo que normalmente se ve en la mecánica clásica , donde las soluciones son típicamente trayectorias de posición de una partícula o desviación de un continuo . Estudiar la velocidad en lugar de la posición tiene más sentido para un fluido, aunque para fines de visualización se pueden calcular varias trayectorias . En particular, las líneas de corriente de un campo vectorial, interpretadas como velocidad de flujo, son los caminos por los que viajaría una partícula de fluido sin masa. Estas trayectorias son las curvas integrales cuya derivada en cada punto es igual al campo vectorial, y pueden representar visualmente el comportamiento del campo vectorial en un punto del tiempo.

Ecuaciones generales del continuo

La ecuación de momento de Navier-Stokes se puede derivar como una forma particular de la ecuación de momento de Cauchy , cuya forma convectiva general es: Al establecer el tensor de tensión de Cauchy como la suma de un término de viscosidad (la tensión desviatoria ) y un término de presión (tensión volumétrica), llegamos a: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {g} .}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle -p\mathbf {I} }$

Ecuación de momento de Cauchy (forma convectiva)

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a} }$

dónde

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$es la derivada material , definida como , ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$
• ${\textstyle \rho }$es la densidad (de masa),
• ${\textstyle \mathbf {u} }$es la velocidad del flujo,
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$es la divergencia ,
• ${\textstyle p}$es la presión ,
• ${\textstyle t}$es hora​
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$es el tensor de tensión desviatorio , que tiene orden 2,
• ${\textstyle \mathbf {a} }$representa aceleraciones corporales que actúan sobre el continuo, por ejemplo , la gravedad , las aceleraciones inerciales , las aceleraciones electrostáticas , etc.

De esta forma, es evidente que en el supuesto de un fluido no viscoso (sin tensión desviadora), las ecuaciones de Cauchy se reducen a las ecuaciones de Euler .

Suponiendo la conservación de la masa , con las propiedades conocidas de divergencia y gradiente podemos utilizar la ecuación de continuidad de masa, que representa la masa por unidad de volumen de un fluido homogéneo con respecto al espacio y al tiempo (es decir, la derivada material ) de cualquier volumen finito ( V ) para representar el cambio de velocidad en medios fluidos: donde ${\displaystyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$es la derivada material de la masa por unidad de volumen ( densidad , ), ${\displaystyle \rho }$
• ${\textstyle {\iiint \limits _{V}}(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))dV}$es la operación matemática para la integración en todo el volumen ( V ),
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$es el operador matemático de derivada parcial ,
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$es la divergencia de la velocidad del flujo ( ), que es un campo escalar , ^{Nota 1} ${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\textstyle {\nabla \rho }\,}$es el gradiente de densidad ( ), que es la derivada vectorial de un campo escalar , ^{Nota 1} ${\displaystyle \rho }$

^{Nota 1 - Consulte el operador matemático del representado por el símbolo nabla ( ) . ${\displaystyle \nabla }$}

para llegar a la forma de conservación de las ecuaciones de movimiento. Esto se escribe a menudo: ^[4]

Ecuación de momento de Cauchy (forma de conservación)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a} }$

donde es el producto externo de la velocidad del flujo ( ): ${\textstyle \otimes }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}$$

El lado izquierdo de la ecuación describe la aceleración y puede estar compuesto de componentes dependientes del tiempo y convectivos (también los efectos de coordenadas no inerciales, si están presentes). El lado derecho de la ecuación es, en efecto, una suma de los efectos hidrostáticos, la divergencia de la tensión desviadora y las fuerzas del cuerpo (como la gravedad).

Todas las ecuaciones de equilibrio no relativistas, como las ecuaciones de Navier-Stokes, se pueden derivar comenzando con las ecuaciones de Cauchy y especificando el tensor de tensión a través de una relación constitutiva . Al expresar el tensor de tensión desviatoria (de corte) en términos de viscosidad y gradiente de velocidad del fluido , y suponiendo una viscosidad constante, las ecuaciones de Cauchy anteriores conducirán a las ecuaciones de Navier-Stokes que se indican a continuación.

Aceleración convectiva

Un ejemplo de convección. Aunque el flujo puede ser constante (independiente del tiempo), el fluido se desacelera a medida que se mueve por el conducto divergente (suponiendo que el flujo es incompresible o subsónico compresible), por lo tanto, se produce una aceleración en función de la posición.

Una característica importante de la ecuación de Cauchy y, en consecuencia, de todas las demás ecuaciones del continuo (incluidas las de Euler y Navier-Stokes) es la presencia de aceleración convectiva: el efecto de la aceleración de un flujo con respecto al espacio. Si bien las partículas individuales de un fluido experimentan una aceleración dependiente del tiempo, la aceleración convectiva del campo de flujo es un efecto espacial, como por ejemplo el aumento de la velocidad del fluido en una boquilla.

Flujo compresible

Observación: aquí, el tensor de tensión desviador se denota como en las ecuaciones generales del continuo y en la sección de flujo incompresible. ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$

La ecuación de Navier-Stokes del momento compresible resulta de las siguientes suposiciones sobre el tensor de tensión de Cauchy: ^[5]

• La tensión es invariante galileana : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino solo de las derivadas espaciales de la velocidad del flujo. Por lo tanto, la variable de la tensión es el gradiente tensorial o, más simplemente, el tensor de velocidad de deformación : ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• La tensión desviadora es lineal en esta variable: , donde es independiente del tensor de velocidad de deformación, es el tensor de cuarto orden que representa la constante de proporcionalidad, llamada tensor de viscosidad o elasticidad , y : es el producto escalar doble . ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {C} }$
• Se supone que el fluido es isótropo , como los gases y los líquidos simples, y en consecuencia es un tensor isótropo; además, dado que el tensor de tensión desviatorio es simétrico, por descomposición de Helmholtz se puede expresar en términos de dos parámetros escalares de Lamé , la segunda viscosidad y la viscosidad dinámica , como es habitual en la elasticidad lineal : ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  Ecuación constitutiva de la tensión lineal (expresión similar a la del sólido elástico)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  donde es el tensor identidad y es la traza del tensor de velocidad de deformación. Por lo tanto, esta descomposición se puede definir explícitamente como: ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

Dado que la traza del tensor de velocidad de deformación en tres dimensiones es la divergencia (es decir, la velocidad de expansión) del flujo: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Dada esta relación, y dado que la traza del tensor identidad en tres dimensiones es tres: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

La traza del tensor de tensión en tres dimensiones se convierte en: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Así, al descomponer alternativamente el tensor de tensión en partes isotrópicas y desviatorias , como es habitual en dinámica de fluidos: ^[6] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Introduciendo la viscosidad a granel , ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

Llegamos a la ecuación constitutiva lineal en la forma habitualmente empleada en termohidráulica : ^[5]

Ecuación constitutiva de la tensión lineal (expresión utilizada para fluidos)

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

que también se puede organizar en la otra forma habitual: ^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Obsérvese que en el caso compresible la presión ya no es proporcional al término de tensión isótropa , ya que existe el término de viscosidad volumétrica adicional: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

y el tensor de tensión desviatoria sigue coincidiendo con el tensor de tensión cortante (es decir, la tensión desviatoria en un fluido newtoniano no tiene componentes de tensión normales), y tiene un término de compresibilidad además del caso incompresible, que es proporcional a la viscosidad cortante: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

Tanto la viscosidad volumétrica como la viscosidad dinámica no necesitan ser constantes; en general, dependen de dos variables termodinámicas si el fluido contiene una sola especie química, por ejemplo, la presión y la temperatura. Cualquier ecuación que haga explícito uno de estos coeficientes de transporte en las variables de conservación se denomina ecuación de estado . ^[8] ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \mu }$

La más general de las ecuaciones de Navier-Stokes se convierte en

Ecuación de momento de Navier-Stokes ( forma convectiva )

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {a} .}$

En notación de índice, la ecuación se puede escribir como ^[9]

Ecuación de momento de Navier-Stokes ( notación de índice )

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{k}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left[\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\zeta {\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)+\rho a_{i}.}$

La ecuación correspondiente en forma de conservación se puede obtener considerando que, dada la ecuación de continuidad de masa , el lado izquierdo es equivalente a:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

Para dar finalmente:

Ecuación de momento de Navier-Stokes (forma conservativa )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} -\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)=\rho \mathbf {a} .}$

Aparte de su dependencia de la presión y la temperatura, el segundo coeficiente de viscosidad también depende del proceso, es decir, el segundo coeficiente de viscosidad no es solo una propiedad material. Ejemplo: en el caso de una onda de sonido con una frecuencia definitiva que alternativamente comprime y expande un elemento fluido, el segundo coeficiente de viscosidad depende de la frecuencia de la onda. Esta dependencia se llama dispersión . En algunos casos, se puede suponer que la segunda viscosidad es constante, en cuyo caso, el efecto de la viscosidad volumétrica es que la presión mecánica no es equivalente a la presión termodinámica : ^[10] como se demuestra a continuación. Sin embargo, esta diferencia generalmente se descuida la mayor parte del tiempo (es decir, siempre que no estemos tratando con procesos como la absorción y atenuación del sonido de las ondas de choque, ^[11] donde el segundo coeficiente de viscosidad se vuelve importante) al suponer explícitamente . La suposición de ajuste se llama hipótesis de Stokes . ^[12] La validez de la hipótesis de Stokes se puede demostrar para el gas monoatómico tanto experimentalmente como a partir de la teoría cinética; ^[13] para otros gases y líquidos, la hipótesis de Stokes es generalmente incorrecta. Con la hipótesis de Stokes, las ecuaciones de Navier-Stokes se convierten en ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$ $${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$ ${\textstyle \zeta =0}$ ${\textstyle \zeta =0}$

Ecuación de momento de Navier-Stokes ( forma convectiva, hipótesis de Stokes )

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\rho \mathbf {a} .}$

Si se supone que las viscosidades dinámicas μ y volumétricas son uniformes en el espacio, las ecuaciones en forma convectiva se pueden simplificar aún más. Al calcular la divergencia del tensor de tensión, dado que la divergencia del tensor es y la divergencia del tensor es , finalmente se llega a la ecuación compresible del momento de Navier-Stokes: ^[14] ${\displaystyle \zeta }$ ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$ ${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }}$ ${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$

Ecuación de momento de Navier-Stokes con viscosidades volumétricas y de corte uniformes ( forma convectiva )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi )\,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {a} .}$

donde es la derivada del material . es la viscosidad cinemática de corte y es la viscosidad cinemática volumétrica. El lado izquierdo cambia en la forma de conservación de la ecuación de momento de Navier-Stokes. Al llevar el operador a la velocidad de flujo en el lado izquierdo, también tiene: ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ ${\displaystyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}$

Ecuación de momento de Navier-Stokes con viscosidades volumétricas y de corte uniformes ( forma convectiva )

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}-({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi )\,\nabla (\nabla \cdot )\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {a} .}$

El término de aceleración convectiva también se puede escribir como donde el vector se conoce como vector Lamb . $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$ ${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

Para el caso especial de un flujo incompresible , la presión restringe el flujo de modo que el volumen de los elementos del fluido es constante: flujo isocórico que resulta en un campo de velocidad solenoidal con . ^[15] ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Flujo incompresible

La ecuación de Navier-Stokes del momento incompresible resulta de las siguientes suposiciones sobre el tensor de tensión de Cauchy: ^[5]

• La tensión es invariante galileana : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino solo de las derivadas espaciales de la velocidad del flujo. Por lo tanto, la variable de la tensión es el gradiente tensorial . ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$
• Se supone que el fluido es isótropo , como los gases y los líquidos simples, y en consecuencia es un tensor isótropo; además, dado que el tensor de tensión desviador se puede expresar en términos de la viscosidad dinámica : ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu }$
  Ecuación constitutiva de la tensión de Stokes (expresión utilizada para sólidos elásticos incompresibles)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  donde es el tensor de velocidad de deformación . Por lo tanto, esta descomposición se puede hacer explícita como: ^[5] $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$

  Ecuación constitutiva de la tensión de Stokes (expresión utilizada para fluidos viscosos incompresibles)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

Esta ecuación constitutiva también se denomina ley de viscosidad de Newton . La viscosidad dinámica μ no necesita ser constante: en flujos incompresibles puede depender de la densidad y de la presión. Cualquier ecuación que haga explícito uno de estos coeficientes de transporte en las variables conservativas se denomina ecuación de estado . ^[8]

La divergencia de la tensión desviadora en caso de viscosidad uniforme viene dada por: porque para un fluido incompresible. $${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$ ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

La incompresibilidad descarta las ondas de densidad y presión como las ondas sonoras o de choque , por lo que esta simplificación no es útil si estos fenómenos son de interés. La suposición de flujo incompresible generalmente se cumple bien con todos los fluidos a números de Mach bajos (digamos hasta aproximadamente Mach 0,3), como para modelar vientos de aire a temperaturas normales. ^[16] Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles se visualizan mejor dividiendo por la densidad: ^[17]

Ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con viscosidad uniforme ( forma convectiva )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {f} .}$

donde se denomina viscosidad cinemática . Aislando la velocidad del fluido, también se puede afirmar: ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

Ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con viscosidad constante ( forma convectiva alternativa )

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {f} .}$

Si la densidad es constante en todo el dominio del fluido, o, en otras palabras, si todos los elementos del fluido tienen la misma densidad, entonces tenemos ${\textstyle \rho }$

Ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con densidad y viscosidad constantes ( forma convectiva )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -\nabla {\frac {p}{\rho }}+\mathbf {f} ,}$

donde se llama carga de presión unitaria . ${\textstyle p/\rho }$

En flujos incompresibles, el campo de presión satisface la ecuación de Poisson , ^[9]

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

que se obtiene tomando la divergencia de las ecuaciones de momento.

Un ejemplo de flujo laminar

Perfil de velocidad (flujo laminar): para la dirección x , simplifique la ecuación de Navier-Stokes: $${\displaystyle u_{x}=u(y),\quad u_{y}=0,\quad u_{z}=0}$$ $${\displaystyle 0=-{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}+\mu \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}\right)}$$

Integre dos veces para encontrar el perfil de velocidad con condiciones de contorno y = h , u = 0 , y = − h , u = 0 : $${\displaystyle u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}y^{2}+Ay+B}$$

A partir de esta ecuación, sustituya las dos condiciones de contorno para obtener dos ecuaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}+Ah+B\\0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}-Ah+B\end{aligned}}}$$

Sumar y resolver para B : $${\displaystyle B=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}}$$

Sustituye y resuelve para A : $${\displaystyle A=0}$$

Finalmente esto da el perfil de velocidad: $${\displaystyle u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\left(y^{2}-h^{2}\right)}$$

Vale la pena observar el significado de cada término (compárelo con la ecuación de momento de Cauchy ):

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variation}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convective}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$$

El término de orden superior, es decir, la divergencia de la tensión de corte , simplemente se ha reducido al término laplaciano vectorial . ^[18] Este término laplaciano puede interpretarse como la diferencia entre la velocidad en un punto y la velocidad media en un pequeño volumen circundante. Esto implica que, para un fluido newtoniano, la viscosidad opera como una difusión del momento , de la misma manera que la conducción de calor . De hecho, descuidando el término de convección, las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles conducen a una ecuación de difusión vectorial (es decir, ecuaciones de Stokes ), pero en general el término de convección está presente, por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles pertenecen a la clase de ecuaciones de convección-difusión . ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

En el caso habitual de que un campo externo sea un campo conservativo : al definir la carga hidráulica : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$ $${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$$

Finalmente se puede condensar toda la fuente en un solo término, llegando a la ecuación incompresible de Navier-Stokes con campo externo conservativo: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes con densidad y viscosidad uniformes y campo externo conservativo son la ecuación fundamental de la hidráulica . El dominio para estas ecuaciones es comúnmente un espacio euclidiano tridimensional o menos , para el cual se suele establecer un marco de referencia de coordenadas ortogonales para explicitar el sistema de ecuaciones diferenciales parciales escalares que se va a resolver. En los sistemas de coordenadas ortogonales tridimensionales hay 3: cartesiano , cilíndrico y esférico . Expresar la ecuación vectorial de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas es bastante sencillo y no se ve muy influenciado por el número de dimensiones del espacio euclidiano empleado, y este es el caso también de los términos de primer orden (como los de variación y convección) también en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianos. Pero para los términos de orden superior (los dos que surgen de la divergencia de la tensión desviatoria que distingue las ecuaciones de Navier-Stokes de las ecuaciones de Euler) se requiere algún cálculo tensorial para deducir una expresión en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianos. Un caso especial de la ecuación fundamental de la hidráulica es la ecuación de Bernoulli .

La ecuación incompresible de Navier-Stokes es compuesta, la suma de dos ecuaciones ortogonales, donde y son operadores de proyección solenoidales e irrotacionales que satisfacen , y y son las partes no conservativas y conservativas de la fuerza del cuerpo. Este resultado se desprende del teorema de Helmholtz (también conocido como el teorema fundamental del cálculo vectorial). La primera ecuación es una ecuación que rige sin presión la velocidad, mientras que la segunda ecuación para la presión es una función de la velocidad y está relacionada con la ecuación de Poisson de la presión. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \Pi ^{S}}$ ${\textstyle \Pi ^{I}}$ ${\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$ ${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$ ${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$

La forma funcional explícita del operador de proyección en 3D se encuentra en el Teorema de Helmholtz: con una estructura similar en 2D. Por lo tanto, la ecuación gobernante es una ecuación integrodiferencial similar a la ley de Coulomb y Biot-Savart , no conveniente para el cálculo numérico. $${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$

Una forma débil o variacional equivalente de la ecuación, que se ha demostrado que produce la misma solución de velocidad que la ecuación de Navier-Stokes, ^[19] se da por, $${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}$$

para funciones de prueba sin divergencia que satisfacen condiciones de contorno apropiadas. Aquí, las proyecciones se logran mediante la ortogonalidad de los espacios de funciones solenoidales e irrotacionales. La forma discreta de esto es eminentemente adecuada para el cálculo de elementos finitos de flujo sin divergencia, como veremos en la siguiente sección. Allí se podrá abordar la pregunta "¿Cómo se especifican problemas impulsados ​​por presión (Poiseuille) con una ecuación gobernante sin presión?". ${\textstyle \mathbf {w} }$

La ausencia de fuerzas de presión en la ecuación de velocidad que rige la velocidad demuestra que no se trata de una ecuación dinámica, sino más bien cinemática, en la que la condición de ausencia de divergencia cumple la función de ecuación de conservación. Todo esto parecería refutar las frecuentes afirmaciones de que la presión incompresible impone la condición de ausencia de divergencia.

Forma débil de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

Forma fuerte

Considérense las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes para un fluido newtoniano de densidad constante en un dominio con un límite que es y porciones del límite donde se aplica respectivamente una condición de límite de Dirichlet y una de Neumann ( ): ^[20] es la velocidad del fluido, la presión del fluido, un término de forzamiento dado, el vector normal unitario dirigido hacia afuera a , y el tensor de tensión viscosa definido como: ^[20] Sea la viscosidad dinámica del fluido, el tensor de identidad de segundo orden y el tensor de velocidad de deformación definidos como: ^[20] Las funciones y son datos de límite de Dirichlet y Neumann dados, mientras que es la condición inicial . La primera ecuación es la ecuación de equilibrio de momento, mientras que la segunda representa la conservación de masa , es decir, la ecuación de continuidad . Suponiendo una viscosidad dinámica constante, utilizando la identidad vectorial y explotando la conservación de masa, la divergencia del tensor de tensión total en la ecuación de momento también se puede expresar como: ^[20] Además, tenga en cuenta que las condiciones de límite de Neumann se pueden reorganizar como: ^[20] ${\textstyle \rho }$ $${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)}$$ $${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},}$$ ${\textstyle \Gamma _{D}}$ ${\textstyle \Gamma _{N}}$ ${\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$ $${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$$ ${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\textstyle \Gamma _{N}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).}$$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right).}$$ ${\textstyle \mathbf {g} }$ ${\textstyle \mathbf {h} }$ ${\textstyle \mathbf {u} _{0}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right){\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}$$

Forma débil

Para encontrar la forma débil de las ecuaciones de Navier-Stokes, en primer lugar, considere la ecuación de momento ^[20] multiplíquela por una función de prueba , definida en un espacio adecuado , e integre ambos miembros con respecto al dominio : ^[20] Contraintegrando por partes los términos difusivos y de presión y utilizando el teorema de Gauss: ^[20] $${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mu \Delta \mathbf {u} +\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$$ ${\textstyle \mathbf {v} }$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\int _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} -\int \limits _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\cdot \mathbf {v} \\\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} &=-\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }p\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}}$$

Usando estas relaciones, se obtiene: ^[20] De la misma manera, la ecuación de continuidad se multiplica por una función de prueba q perteneciente a un espacio e integrada en el dominio : ^[20] Las funciones espaciales se eligen de la siguiente manera: Considerando que la función de prueba v se desvanece en el límite de Dirichlet y considerando la condición de Neumann, la integral en el límite se puede reorganizar como: ^[20] Teniendo esto en mente, la formulación débil de las ecuaciones de Navier-Stokes se expresa como: ^[20] $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V.}$$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\quad \forall q\in Q.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} =\underbrace {\int \limits _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} } _{\mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int \limits _{\Gamma _{N}}\underbrace {{\vphantom {\int \limits _{\Gamma _{N}}}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)} _{=\mathbf {h} {\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\\\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Velocidad discreta

Con la partición del dominio del problema y la definición de funciones base en el dominio particionado, la forma discreta de la ecuación gobernante es $${\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}$$

Es conveniente elegir funciones de base que reflejen la característica esencial del flujo incompresible: los elementos deben estar libres de divergencia. Si bien la velocidad es la variable de interés, la existencia de la función de corriente o potencial vectorial es necesaria según el teorema de Helmholtz. Además, para determinar el flujo de fluido en ausencia de un gradiente de presión, se puede especificar la diferencia de los valores de la función de corriente a lo largo de un canal 2D, o la integral de línea del componente tangencial del potencial vectorial alrededor del canal en 3D, y el flujo se da según el teorema de Stokes . A continuación, la discusión se limitará al 2D.

Restringimos aún más la discusión a los elementos finitos continuos de Hermite que tienen al menos grados de libertad de primera derivada. Con esto, se puede extraer una gran cantidad de elementos triangulares y rectangulares candidatos de la literatura sobre flexión de placas . Estos elementos tienen derivadas como componentes del gradiente. En 2D, el gradiente y el rotacional de un escalar son claramente ortogonales, dados por las expresiones, $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

Adoptando elementos de flexión de placas continuas, intercambiando los grados de libertad derivados y cambiando el signo del apropiado se obtienen muchas familias de elementos de función de flujo.

Al tomar el rizo de los elementos de la función de flujo escalar se obtienen elementos de velocidad libres de divergencia. ^{[21] [22]} El requisito de que los elementos de la función de flujo sean continuos asegura que el componente normal de la velocidad sea continuo en las interfaces de los elementos, todo lo cual es necesario para que desaparezca la divergencia en estas interfaces.

Las condiciones de contorno son sencillas de aplicar. La función de corriente es constante en superficies sin flujo, con condiciones de velocidad sin deslizamiento en superficies. Las diferencias en la función de corriente a través de canales abiertos determinan el flujo. No se necesitan condiciones de contorno en límites abiertos, aunque se pueden utilizar valores consistentes en algunos problemas. Todas estas son condiciones de Dirichlet.

Las ecuaciones algebraicas a resolver son sencillas de plantear, pero, por supuesto, no son lineales y requieren la iteración de las ecuaciones linealizadas.

Consideraciones similares se aplican a tres dimensiones, pero la extensión desde 2D no es inmediata debido a la naturaleza vectorial del potencial y no existe una relación simple entre el gradiente y el rizo como era el caso en 2D.

Recuperación de presión

Recuperar la presión del campo de velocidad es fácil. La ecuación débil discreta para el gradiente de presión es: $${\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}$$

donde las funciones de prueba/peso son irrotacionales. Se puede utilizar cualquier elemento finito escalar conforme. Sin embargo, el campo de gradiente de presión también puede ser de interés. En este caso, se pueden utilizar elementos escalares de Hermite para la presión. Para las funciones de prueba/peso se elegirían los elementos vectoriales irrotacionales obtenidos a partir del gradiente del elemento de presión. ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$

Marco de referencia no inercial

El marco de referencia giratorio introduce algunas pseudofuerzas interesantes en las ecuaciones a través del término derivado material . Consideremos un marco de referencia inercial estacionario  y un marco de referencia no inercial , que se traslada con velocidad y gira con velocidad angular con respecto al marco estacionario. La ecuación de Navier-Stokes observada desde el marco no inercial se convierte entonces en ${\textstyle K}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle \mathbf {U} (t)}$ ${\textstyle \Omega (t)}$

Ecuación de momento de Navier-Stokes en un sistema no inercial

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {f} -\rho \left[2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {x} \right].}$

Aquí y se miden en el marco no inercial. El primer término entre paréntesis representa la aceleración de Coriolis , el segundo término se debe a la aceleración centrífuga , el tercero se debe a la aceleración lineal de con respecto a y el cuarto término se debe a la aceleración angular de con respecto a . ${\textstyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$

Otras ecuaciones

Las ecuaciones de Navier-Stokes son estrictamente una declaración del equilibrio de momento. Para describir completamente el flujo de fluidos, se necesita más información, en qué medida, dependiendo de las suposiciones realizadas. Esta información adicional puede incluir datos de contorno ( antideslizamiento , superficie capilar , etc.), conservación de masa, equilibrio de energía y/o una ecuación de estado .

Ecuación de continuidad para fluido incompresible

Independientemente de las suposiciones de flujo, generalmente es necesaria una declaración de la conservación de la masa . Esto se logra a través de la ecuación de continuidad de masa , como se discutió anteriormente en las "Ecuaciones generales del continuo" dentro de este artículo, de la siguiente manera: Un medio fluido para el cual la densidad ( ) es constante se llama incompresible . Por lo tanto, la tasa de cambio de la densidad ( ) con respecto al tiempo y el gradiente de densidad son iguales a cero . En este caso, la ecuación general de continuidad, , se reduce a: . Además, suponer que la densidad ( ) es una constante distinta de cero significa que el lado derecho de la ecuación es divisible por la densidad ( ). Por lo tanto, la ecuación de continuidad para un fluido incompresible se reduce aún más a: Esta relación, , identifica que la divergencia del vector de velocidad de flujo ( ) es igual a cero , lo que significa que para un fluido incompresible el campo de velocidad de flujo es un campo vectorial solenoidal o un campo vectorial sin divergencia . Nótese que esta relación se puede ampliar debido a su singularidad con el operador vectorial de Laplace y la vorticidad que ahora se expresa así, para un fluido incompresible : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ({\frac {\partial \rho }{\partial t}})}$ ${\displaystyle (\nabla \rho )}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0}$ ${\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (\rho \neq 0)}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$$ ${\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))}$ ${\displaystyle ({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))=-(\nabla \times {\vec {\omega }})}$$

Función de flujo para fluido 2D incompresible

Tomando el rizo de la ecuación incompresible de Navier-Stokes se obtiene la eliminación de la presión. Esto es especialmente fácil de ver si se supone un flujo cartesiano en 2D (como en el caso 3D degenerado con y sin dependencia de nada en ), donde las ecuaciones se reducen a: ${\textstyle u_{z}=0}$ ${\textstyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

La diferenciación de la primera con respecto a , la segunda con respecto a y la resta de las ecuaciones resultantes eliminarán la presión y cualquier fuerza conservativa . Para el flujo incompresible, definir la función de corriente mediante da como resultado que la continuidad de masa se satisface incondicionalmente (dado que la función de corriente es continua), y luego la conservación de masa y momento newtoniano 2D incompresible se condensa en una ecuación: ${\textstyle y}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \psi }$ $${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

donde es el operador biarmónico 2D y es la viscosidad cinemática , . También podemos expresar esto de forma compacta utilizando el determinante jacobiano : ${\textstyle \nabla ^{4}}$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

Esta única ecuación, junto con las condiciones de contorno adecuadas, describe el flujo de fluidos en 2D, tomando solo la viscosidad cinemática como parámetro. Nótese que la ecuación para el flujo progresivo resulta cuando se supone que el lado izquierdo es cero.

En el flujo axisimétrico , se puede utilizar otra formulación de función de corriente, llamada función de corriente de Stokes , para describir los componentes de velocidad de un flujo incompresible con una función escalar .

La ecuación incompresible de Navier-Stokes es una ecuación algebraica diferencial que tiene la característica inconveniente de que no existe un mecanismo explícito para hacer avanzar la presión en el tiempo. En consecuencia, se ha invertido mucho esfuerzo en eliminar la presión de todo o parte del proceso computacional. La formulación de la función de corriente elimina la presión, pero solo en dos dimensiones y a expensas de introducir derivadas más altas y eliminar la velocidad, que es la variable principal de interés.

Propiedades

No linealidad

Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales en el caso general y, por lo tanto, se mantienen en casi todas las situaciones reales. ^{[23] [24]} En algunos casos, como el flujo unidimensional y el flujo de Stokes (o flujo progresivo), las ecuaciones se pueden simplificar a ecuaciones lineales. La no linealidad hace que la mayoría de los problemas sean difíciles o imposibles de resolver y es el principal contribuyente a la turbulencia que las ecuaciones modelan.

La no linealidad se debe a la aceleración convectiva , que es una aceleración asociada con el cambio de velocidad en función de la posición. Por lo tanto, cualquier flujo convectivo, ya sea turbulento o no, implicará no linealidad. Un ejemplo de flujo convectivo pero laminar (no turbulento) sería el paso de un fluido viscoso (por ejemplo, aceite) a través de una pequeña boquilla convergente . Dichos flujos, ya sean exactamente solucionables o no, a menudo se pueden estudiar y comprender a fondo. ^[25]

Turbulencia

La turbulencia es el comportamiento caótico dependiente del tiempo que se observa en muchos flujos de fluidos. En general, se cree que se debe a la inercia del fluido en su conjunto: la culminación de la aceleración convectiva y dependiente del tiempo; por lo tanto, los flujos donde los efectos de la inercia son pequeños tienden a ser laminares (el número de Reynolds cuantifica en qué medida el flujo se ve afectado por la inercia). Se cree, aunque no se sabe con certeza, que las ecuaciones de Navier-Stokes describen la turbulencia correctamente. ^[26]

La solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo turbulento es extremadamente difícil y, debido a las escalas de longitud de mezcla significativamente diferentes que intervienen en el flujo turbulento, la solución estable de esto requiere una resolución de malla tan fina que el tiempo computacional se vuelve significativamente inviable para el cálculo o la simulación numérica directa . Los intentos de resolver el flujo turbulento utilizando un solucionador laminar generalmente dan como resultado una solución inestable en el tiempo, que no converge adecuadamente. Para contrarrestar esto, las ecuaciones promediadas en el tiempo, como las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS), complementadas con modelos de turbulencia, se utilizan en aplicaciones prácticas de dinámica de fluidos computacional (CFD) cuando se modelan flujos turbulentos. Algunos modelos incluyen los modelos Spalart-Allmaras , k – ω , k – ε y SST , que agregan una variedad de ecuaciones adicionales para cerrar las ecuaciones RANS. La simulación de grandes remolinos (LES, por sus siglas en inglés) también se puede utilizar para resolver estas ecuaciones numéricamente. Este enfoque es computacionalmente más costoso (en términos de tiempo y memoria de computadora) que el RANS, pero produce mejores resultados porque resuelve explícitamente las escalas turbulentas más grandes.

Aplicabilidad

Junto con ecuaciones complementarias (por ejemplo, conservación de masa) y condiciones de contorno bien formuladas, las ecuaciones de Navier-Stokes parecen modelar el movimiento de fluidos con precisión; incluso los flujos turbulentos parecen (en promedio) concordar con las observaciones del mundo real.

Las ecuaciones de Navier-Stokes suponen que el fluido estudiado es un continuo (es infinitamente divisible y no está compuesto de partículas como átomos o moléculas) y no se mueve a velocidades relativistas . A escalas muy pequeñas o en condiciones extremas, los fluidos reales compuestos de moléculas discretas producirán resultados diferentes de los fluidos continuos modelados por las ecuaciones de Navier-Stokes. Por ejemplo, la capilaridad de las capas internas en los fluidos aparece para el flujo con gradientes altos. ^[27] Para números de Knudsen grandes del problema, la ecuación de Boltzmann puede ser un reemplazo adecuado. ^[28] En su defecto, uno puede tener que recurrir a la dinámica molecular o varios métodos híbridos. ^[29]

Otra limitación es simplemente la naturaleza complicada de las ecuaciones. Existen formulaciones probadas a lo largo del tiempo para familias de fluidos comunes, pero la aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes a familias menos comunes tiende a dar como resultado formulaciones muy complicadas y, a menudo, plantea problemas de investigación. Por esta razón, estas ecuaciones suelen escribirse para fluidos newtonianos en los que el modelo de viscosidad es lineal ; no existen modelos verdaderamente generales para el flujo de otros tipos de fluidos (como la sangre). ^[30]

Aplicación a problemas específicos

Las ecuaciones de Navier-Stokes, incluso cuando están escritas explícitamente para fluidos específicos, son de naturaleza bastante genérica y su aplicación adecuada a problemas específicos puede ser muy diversa. Esto se debe en parte a que existe una enorme variedad de problemas que se pueden modelar, desde problemas tan simples como la distribución de la presión estática hasta problemas tan complicados como el flujo multifásico impulsado por la tensión superficial .

Generalmente, la aplicación a problemas específicos comienza con algunas suposiciones de flujo y la formulación de condiciones iniciales/de límite; esto puede ser seguido por un análisis de escala para simplificar aún más el problema.

Visualización de (a) flujo paralelo y (b) flujo radial

Flujo paralelo

Supongamos un flujo constante, paralelo, unidimensional y no convectivo impulsado por presión entre placas paralelas; el problema de valor límite escalado (adimensional) resultante es: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}$$

La condición de contorno es la condición de no deslizamiento . Este problema se resuelve fácilmente para el campo de flujo: $${\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}$$

A partir de este punto, se pueden obtener fácilmente más cantidades de interés, como la fuerza de arrastre viscosa o el caudal neto.

Flujo radial

Pueden surgir dificultades cuando el problema se vuelve un poco más complicado. Una variación aparentemente modesta del flujo paralelo anterior sería el flujo radial entre placas paralelas; esto implica convección y, por lo tanto, no linealidad. El campo de velocidad puede representarse mediante una función f ( z ) que debe satisfacer: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}$$

Esta ecuación diferencial ordinaria es la que se obtiene cuando se escriben las ecuaciones de Navier-Stokes y se aplican los supuestos de flujo (además, se resuelve el gradiente de presión). El término no lineal hace que este sea un problema muy difícil de resolver analíticamente ( se puede encontrar una solución implícita extensa que involucra integrales elípticas y raíces de polinomios cúbicos ). Surgen problemas con la existencia real de soluciones para (aproximadamente; esto no es √ 2 ), siendo el parámetro el número de Reynolds con escalas elegidas apropiadamente. ^[31] Este es un ejemplo de suposiciones de flujo que pierden su aplicabilidad, y un ejemplo de la dificultad en flujos con números de Reynolds "altos". ^[31] ${\textstyle R>1.41}$ ${\textstyle R}$

Convección

Un tipo de convección natural que se puede describir mediante la ecuación de Navier-Stokes es la convección de Rayleigh-Bénard . Es uno de los fenómenos de convección más estudiados debido a su accesibilidad analítica y experimental.

Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes

Existen algunas soluciones exactas a las ecuaciones de Navier-Stokes. Ejemplos de casos degenerados (con los términos no lineales en las ecuaciones de Navier-Stokes iguales a cero) son el flujo de Poiseuille , el flujo de Couette y la capa límite oscilatoria de Stokes . Pero también existen ejemplos más interesantes, soluciones a las ecuaciones no lineales completas, como el flujo de Jeffery-Hamel , el flujo arremolinado de Von Kármán , el flujo de punto de estancamiento , el chorro de Landau-Squire y el vórtice de Taylor-Green . ^{[32] [33] [34]} Nótese que la existencia de estas soluciones exactas no implica que sean estables: la turbulencia puede desarrollarse a números de Reynolds más altos.

Bajo supuestos adicionales, los componentes pueden separarse. ^[35]

Un ejemplo bidimensional

Por ejemplo, en el caso de un dominio plano ilimitado con flujo bidimensional —incompresible y estacionario— en coordenadas polares ( r , φ ) , los componentes de velocidad ( u _r , u _φ ) y presión p son: ^[36] $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&={\frac {A}{r}},\\u_{\varphi }&=B\left({\frac {1}{r}}-r^{{\frac {A}{\nu }}+1}\right),\\p&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {2B^{2}\nu r^{\frac {A}{\nu }}}{A}}+{\frac {B^{2}r^{\left({\frac {2A}{\nu }}+2\right)}}{{\frac {2A}{\nu }}+2}}\end{aligned}}}$$

donde A y B son constantes arbitrarias. Esta solución es válida en el dominio r ≥ 1 y para A < −2 ν .

En coordenadas cartesianas, cuando la viscosidad es cero ( ν = 0 ), esto es: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}Ax+By\\Ay-Bx\end{pmatrix}},\\p(x,y)&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\end{aligned}}}$$

Un ejemplo tridimensional

Por ejemplo, en el caso de un dominio euclidiano ilimitado con flujo radial tridimensional —incompresible, estacionario y con viscosidad cero ( ν = 0 )— en coordenadas cartesianas ( x , y , z ) , el vector de velocidad v y la presión p son: ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y,z)&={\frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\\p(x,y,z)&=-{\frac {A^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$$

Hay una singularidad en x = y = z = 0 .

Una solución de vórtice en estado estable tridimensional

Modelo de alambre de líneas de flujo a lo largo de una fibración de Hopf

Un ejemplo de estado estable sin singularidades se obtiene al considerar el flujo a lo largo de las líneas de una fibración de Hopf . Sea un radio constante de la bobina interna. Un conjunto de soluciones viene dado por: ^[37] ${\textstyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}$$

para constantes arbitrarias y . Esta es una solución en un gas no viscoso (fluido compresible) cuya densidad, velocidad y presión tienden a cero lejos del origen. (Tenga en cuenta que esta no es una solución al problema de Clay Millennium porque se refiere a fluidos incompresibles donde es una constante, y tampoco se ocupa de la unicidad de las ecuaciones de Navier-Stokes con respecto a ninguna propiedad de turbulencia ). También vale la pena señalar que los componentes del vector de velocidad son exactamente los de la parametrización cuádruple pitagórica . Otras opciones de densidad y presión son posibles con el mismo campo de velocidad: ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle \rho }$

Otras opciones de densidad y presión

Otra opción de presión y densidad con el mismo vector de velocidad anterior es aquella en la que la presión y la densidad caen a cero en el origen y son más altas en el bucle central en z = 0 , x ² + y ² = r ² : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{aligned}}}$$

De hecho, en general existen soluciones simples para cualquier función polinómica f donde la densidad es: $${\displaystyle \rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).}$$

Soluciones periódicas tridimensionales viscosas

Two examples of periodic fully-three-dimensional viscous solutions are described in.^[38]These solutions are defined on a three-dimensional torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}}$ and are characterized by positive and negative helicity respectively. The solution with positive helicity is given by: $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kx-\pi /3)\cos(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)-\cos(kz-\pi /3)\sin(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(ky-\pi /3)\cos(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)-\cos(kx-\pi /3)\sin(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kz-\pi /3)\cos(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)-\cos(ky-\pi /3)\sin(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\end{aligned}}}$$where ${\displaystyle k=2\pi /L}$ is the wave number and the velocity components are normalized so that the average kinetic energy per unit of mass is ${\displaystyle U_{0}^{2}/2}$ at ${\displaystyle t=0}$. The pressure field is obtained from the velocity field as ${\displaystyle p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2}$ (where ${\displaystyle p_{0}}$ and ${\displaystyle \rho _{0}}$ are reference values for the pressure and density fields respectively). Since both the solutions belong to the class of Beltrami flow, the vorticity field is parallel to the velocity and, for the case with positive helicity, is given by ${\displaystyle \omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}}$. These solutions can be regarded as a generalization in three dimensions of the classic two-dimensional Taylor-Green Taylor–Green vortex.

Wyld diagrams

Wyld diagrams are bookkeeping graphs that correspond to the Navier–Stokes equations via a perturbation expansion of the fundamental continuum mechanics. Similar to the Feynman diagrams in quantum field theory, these diagrams are an extension of Keldysh's technique for nonequilibrium processes in fluid dynamics. In other words, these diagrams assign graphs to the (often) turbulent phenomena in turbulent fluids by allowing correlated and interacting fluid particles to obey stochastic processes associated to pseudo-random functions in probability distributions.^[39]

Representations in 3D

Note that the formulas in this section make use of the single-line notation for partial derivatives, where, e.g. ${\textstyle \partial _{x}u}$ means the partial derivative of ${\textstyle u}$ with respect to ${\textstyle x}$, and ${\textstyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$ means the second-order partial derivative of ${\textstyle f_{\theta }}$ with respect to ${\textstyle y}$.

A 2022 paper provides a less costly, dynamical and recurrent solution of the Navier-Stokes equation for 3D turbulent fluid flows. On suitably short time scales, the dynamics of turbulence is deterministic.^[40]

Cartesian coordinates

From the general form of the Navier–Stokes, with the velocity vector expanded as ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$, sometimes respectively named ${\textstyle u}$, ${\textstyle v}$, ${\textstyle w}$, we may write the vector equation explicitly, $${\displaystyle {\begin{aligned}x:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{x}}+{\partial _{y}^{2}u_{x}}+{\partial _{z}^{2}u_{x}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{x}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{x}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}}\right)\\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{y}}+{\partial _{y}^{2}u_{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{y}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{y}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{z}}+{\partial _{y}^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{z}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

Note that gravity has been accounted for as a body force, and the values of ${\textstyle g_{x}}$, ${\textstyle g_{y}}$, ${\textstyle g_{z}}$ will depend on the orientation of gravity with respect to the chosen set of coordinates.

The continuity equation reads: $${\displaystyle \partial _{t}\rho +\partial _{x}(\rho u_{x})+\partial _{y}(\rho u_{y})+\partial _{z}(\rho u_{z})=0.}$$

When the flow is incompressible, ${\textstyle \rho }$ does not change for any fluid particle, and its material derivative vanishes: ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0}$. The continuity equation is reduced to: $${\displaystyle \partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.}$$

Thus, for the incompressible version of the Navier–Stokes equation the second part of the viscous terms fall away (see Incompressible flow).

This system of four equations comprises the most commonly used and studied form. Though comparatively more compact than other representations, this is still a nonlinear system of partial differential equations for which solutions are difficult to obtain.

Cylindrical coordinates

A change of variables on the Cartesian equations will yield^[16] the following momentum equations for ${\textstyle r}$, ${\textstyle \phi }$, and ${\textstyle z}$^[41] $${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

The gravity components will generally not be constants, however for most applications either the coordinates are chosen so that the gravity components are constant or else it is assumed that gravity is counteracted by a pressure field (for example, flow in horizontal pipe is treated normally without gravity and without a vertical pressure gradient). The continuity equation is: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }\left(\rho u_{\varphi }\right)}+{\partial _{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.}$$

This cylindrical representation of the incompressible Navier–Stokes equations is the second most commonly seen (the first being Cartesian above). Cylindrical coordinates are chosen to take advantage of symmetry, so that a velocity component can disappear. A very common case is axisymmetric flow with the assumption of no tangential velocity ( ${\textstyle u_{\phi }=0}$), and the remaining quantities are independent of ${\textstyle \phi }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right)+\rho g_{r}\\\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)&=-{\partial _{z}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+\rho g_{z}\\{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}}&=0.\end{aligned}}}$$

Spherical coordinates

In spherical coordinates, the ${\textstyle r}$, ${\textstyle \phi }$, and ${\textstyle \theta }$ momentum equations are^[16] (note the convention used: ${\textstyle \theta }$ is polar angle, or colatitude,^[42] ${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }$): $${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}}$$

Mass continuity will read: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.}$$

These equations could be (slightly) compacted by, for example, factoring ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$ from the viscous terms. However, doing so would undesirably alter the structure of the Laplacian and other quantities.

Navier–Stokes equations use in games

The Navier–Stokes equations are used extensively in video games in order to model a wide variety of natural phenomena. Simulations of small-scale gaseous fluids, such as fire and smoke, are often based on the seminal paper "Real-Time Fluid Dynamics for Games"^[43] by Jos Stam, which elaborates one of the methods proposed in Stam's earlier, more famous paper "Stable Fluids"^[44] from 1999. Stam proposes stable fluid simulation using a Navier–Stokes solution method from 1968, coupled with an unconditionally stable semi-Lagrangian advection scheme, as first proposed in 1992.

More recent implementations based upon this work run on the game systems graphics processing unit (GPU) as opposed to the central processing unit (CPU) and achieve a much higher degree of performance.^[45][46]Many improvements have been proposed to Stam's original work, which suffers inherently from high numerical dissipation in both velocity and mass.

An introduction to interactive fluid simulation can be found in the 2007 ACM SIGGRAPH course, Fluid Simulation for Computer Animation.^[47]

See also

• Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
• Boltzmann equation
• Cauchy momentum equation
• Cauchy stress tensor
• Chapman–Enskog theory
• Churchill–Bernstein equation
• Coandă effect
• Computational fluid dynamics
• Continuum mechanics
• Convection–diffusion equation
• Derivation of the Navier–Stokes equations
• Einstein–Stokes equation
• Euler equations
• Hagen–Poiseuille flow from the Navier–Stokes equations
• Millennium Prize Problems
• Newtonian fluid
• Non-dimensionalization and scaling of the Navier–Stokes equations
• Pressure-correction method
• Primitive equations
• Rayleigh–Bénard convection
• Reynolds transport theorem
• Stokes equations
• Supersonic flow over a flat plate
• Vlasov equation

Citations

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External links

• Simplified derivation of the Navier–Stokes equations
• Three-dimensional unsteady form of the Navier–Stokes equations Glenn Research Center, NASA