Vórtice de Taylor-Green

Diagrama de contorno 2D del vórtice de Taylor Green

En dinámica de fluidos, el vórtice de Taylor-Green es un flujo inestable de un vórtice en descomposición , que tiene una solución exacta en forma cerrada de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas . Recibe su nombre en honor al físico y matemático británico Geoffrey Ingram Taylor y su colaborador AE Green . ^[1]

Trazado vectorial del vórtice de Taylor-Green

Obra original

En el trabajo original de Taylor y Green, ^[1] se analiza un flujo particular en tres dimensiones espaciales, con los tres componentes de velocidad en el tiempo especificados por ${\displaystyle \mathbf {v} =(u,v,w)}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle u=A\cos ax\sin by\sin cz,}$

${\displaystyle v=B\sin ax\cos by\sin cz,}$

${\displaystyle w=C\sin ax\sin by\cos cz.}$

La ecuación de continuidad determina que . El comportamiento temporal pequeño del flujo se determina a través de la simplificación de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes utilizando el flujo inicial para dar una solución paso a paso a medida que avanza el tiempo. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$ ${\displaystyle Aa+Bb+Cc=0}$

Se conoce una solución exacta en dos dimensiones espaciales, y se presenta a continuación.

Animación de un vórtice de Taylor-Green utilizando trazadores lagrangianos codificados por colores

Ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes en ausencia de fuerza corporal , y en dos dimensiones espaciales, están dadas por

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right).}$

La primera de las ecuaciones anteriores representa la ecuación de continuidad y las otras dos representan las ecuaciones de momento.

Solución de vórtice de Taylor-Green

En el dominio , la solución viene dada por ${\displaystyle 0\leq x,y\leq 2\pi }$

${\displaystyle u=\sin x\cos y\,F(t),\qquad \qquad v=-\cos x\sin y\,F(t),}$

donde , siendo la viscosidad cinemática del fluido. Siguiendo el análisis de Taylor y Green ^[1] para la situación bidimensional, y para , se llega a una concordancia con esta solución exacta, si la exponencial se desarrolla como una serie de Taylor , es decir . ${\displaystyle F(t)=e^{-2\nu t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle A=a=b=1}$ ${\displaystyle F(t)=1-2\nu t+O(t^{2})}$

El campo de presión se puede obtener sustituyendo la solución de velocidad en las ecuaciones de momento y se da por ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\frac {\rho }{4}}\left(\cos 2x+\cos 2y\right)F^{2}(t).}$

La función de corriente de la solución del vórtice de Taylor-Green, es decir, que satisface para la velocidad de flujo , es ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\sin x\sin yF(t)\,{\hat {\mathbf {z} }}.}$

De manera similar, la vorticidad , que satisface , viene dada por ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=\nabla \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=2\sin x\sin y\,F(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$

La solución de vórtice de Taylor-Green se puede utilizar para probar y validar la precisión temporal de los algoritmos de Navier-Stokes. ^{[2] [3]}

^{En [4]} se describe una generalización de la solución del vórtice de Taylor-Green en tres dimensiones.

Referencias

1. Taylor, GI y Green, AE , Mecanismo de producción de pequeños remolinos a partir de los grandes , Proc. R. Soc. Lond. A, 158, 499–521 (1937).
2. Chorin, AJ , Solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes , Math. Comp., 22, 745–762 (1968).
3. Kim, J . y Moin, P. , Aplicación de un método de paso fraccionario a ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles , J. Comput. Phys., 59, 308–323 (1985).
4. Antuono, M. (2020), "Soluciones analíticas triperiódicas completamente tridimensionales para las ecuaciones de Navier-Stokes", Journal of Fluid Mechanics , 890 , Bibcode :2020JFM...890A..23A, doi :10.1017/jfm.2020.126, S2CID  216463266