En matemáticas , un teorema de existencia es un teorema que afirma la existencia de un determinado objeto. [1] Podría ser una afirmación que comience con la frase " existen(s) ", o podría ser una afirmación universal cuyo último cuantificador sea existencial (por ejemplo, "para todo x , y ,... existen )..."). En los términos formales de la lógica simbólica , un teorema de existencia es un teorema con una forma normal prenexa que involucra el cuantificador existencial , aunque en la práctica, tales teoremas generalmente se expresan en lenguaje matemático estándar. Por ejemplo, la afirmación de que la función seno es continua en todas partes, o cualquier teorema escrito en notación O grande , pueden considerarse teoremas existenciales por naturaleza, ya que la cuantificación se puede encontrar en las definiciones de los conceptos utilizados.
Una controversia que se remonta a principios del siglo XX se refiere a la cuestión de los teoremas de existencia puramente teóricos, es decir, teoremas que dependen de material fundamental no constructivo como el axioma del infinito , el axioma de elección o la ley del tercero excluido . Tales teoremas no proporcionan ninguna indicación sobre cómo construir (o exhibir) el objeto cuya existencia se afirma. Desde un punto de vista constructivista , tales enfoques no son viables ya que hacen que las matemáticas pierdan su aplicabilidad concreta, [2] mientras que el punto de vista opuesto es que los métodos abstractos son de gran alcance, [ se necesitan más explicaciones ] de una manera que el análisis numérico no puede serlo.
En matemáticas, un teorema de existencia es puramente teórico si la prueba dada no indica una construcción del objeto cuya existencia se afirma. Tal prueba no es constructiva, [3] ya que todo el enfoque puede no prestarse a la construcción. [4] En términos de algoritmos , los teoremas de existencia puramente teóricos pasan por alto todos los algoritmos para encontrar lo que se afirma que existe. Estos deben contrastarse con los llamados teoremas de existencia "constructivos", [5] que muchos matemáticos constructivistas que trabajan en lógicas extendidas (como la lógica intuicionista ) creen que son intrínsecamente más fuertes que sus contrapartes no constructivas.
A pesar de ello, los resultados de existencia puramente teóricos son omnipresentes en las matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, la prueba original de John Nash de la existencia de un equilibrio de Nash en 1951 fue tal teorema de existencia. Más tarde, en 1962, también se encontró un enfoque constructivo. [6]
Por otro lado, se ha aclarado considerablemente qué son las matemáticas constructivas , sin que haya surgido una "teoría maestra". Por ejemplo, según las definiciones de Errett Bishop , la continuidad de una función como sin( x ) debe demostrarse como una cota constructiva del módulo de continuidad , lo que significa que el contenido existencial de la afirmación de continuidad es una promesa que puede mantenerse siempre. En consecuencia, Bishop rechaza la idea estándar de continuidad puntual y propuso que la continuidad debería definirse en términos de "continuidad uniforme local". [7] Se podría obtener otra explicación del teorema de existencia a partir de la teoría de tipos , en la que una prueba de un enunciado existencial sólo puede provenir de un término (que se puede ver como el contenido computacional).