Cuantificador (lógica)

Uso matemático de "para todos" y "existe"

En lógica , un cuantificador es un operador que especifica cuántos individuos en el dominio del discurso satisfacen una fórmula abierta . Por ejemplo, el cuantificador universal en la fórmula de primer orden expresa que todo en el dominio satisface la propiedad denotada por . Por otro lado, el cuantificador existencial en la fórmula expresa que existe algo en el dominio que satisface esa propiedad. Una fórmula en la que un cuantificador tiene un alcance más amplio se denomina fórmula cuantificada. Una fórmula cuantificada debe contener una variable ligada y una subfórmula que especifique una propiedad del referente de esa variable. ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \forall xP(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \exists xP(x)}$

Tabla de verdad para cuantificadores Existenciales y Universales. ^[1]

Los cuantificadores más utilizados son y . Estos cuantificadores se definen estándar como duales ; en lógica clásica , son interdefinibles mediante negación . También se pueden utilizar para definir cuantificadores más complejos, como en la fórmula que expresa que nada tiene la propiedad . Otros cuantificadores sólo se pueden definir dentro de la lógica de segundo orden o de la lógica de orden superior . Los cuantificadores se han generalizado a partir del trabajo de Mostowski y Lindström . ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \neg \exists xP(x)}$ ${\displaystyle P}$

En un enunciado lógico de primer orden, las cuantificaciones del mismo tipo (ya sean cuantificaciones universales o existenciales) se pueden intercambiar sin cambiar el significado del enunciado, mientras que el intercambio de cuantificaciones de diferentes tipos cambia el significado. Por ejemplo, la única diferencia en la definición de continuidad uniforme y continuidad (ordinaria) es el orden de las cuantificaciones.

Los cuantificadores de primer orden se aproximan a los significados de algunos cuantificadores del lenguaje natural , como "algunos" y "todos". Sin embargo, muchos cuantificadores del lenguaje natural sólo pueden analizarse en términos de cuantificadores generalizados .

Relaciones con la conjunción y disyunción lógica

Para un dominio finito del discurso , la fórmula universalmente cuantificada es equivalente a la conjunción lógica . Dualmente, la fórmula cuantificada existencialmente equivale a la disyunción lógica . Por ejemplo, si es el conjunto de dígitos binarios , la fórmula abrevia , lo que se evalúa como verdadero . ${\displaystyle D=\{a_{1},...a_{n}\}}$ ${\displaystyle \forall x\in D\;P(x)}$ ${\displaystyle P(a_{1})\land ...\land P(a_{n})}$ ${\displaystyle \exists x\in D\;P(x)}$ ${\displaystyle P(a_{1})\lor ...\lor P(a_{n})}$ ${\displaystyle B=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \forall x\in B\;x=x^{2}}$ ${\displaystyle 0=0^{2}\land 1=1^{2}}$

Dominio infinito del discurso

Considere la siguiente afirmación ( usando la notación de puntos para la multiplicación ):

1 · 2 = 1 + 1, y 2 · 2 = 2 + 2, y 3 · 2 = 3 + 3, ..., y 100 · 2 = 100 + 100, y ..., etc.

Esto tiene la apariencia de una conjunción infinita de proposiciones. Desde el punto de vista de los lenguajes formales , esto es inmediatamente un problema, ya que se espera que las reglas sintácticas generen palabras finitas .

El ejemplo anterior tiene la suerte de que existe un procedimiento para generar todas las conjunciones. Sin embargo, si se hiciera una afirmación sobre cada número irracional , no habría manera de enumerar todos los conjuntos, ya que los irracionales no se pueden enumerar. Una formulación sucinta y equivalente que evita estos problemas utiliza la cuantificación universal :

Para cada número natural n , n · 2 = n + n .

Un análisis similar se aplica a la disyunción ,

1 es igual a 5 + 5, o 2 es igual a 5 + 5, o 3 es igual a 5 + 5,..., o 100 es igual a 5 + 5, o..., etc.

que se puede reformular utilizando la cuantificación existencial :

Para algún número natural n , n es igual a 5+5.

Enfoques algebraicos para la cuantificación.

Es posible idear álgebras abstractas cuyos modelos incluyan lenguajes formales con cuantificación, pero el progreso ha sido lento ^{[ se necesita aclaración ]} y el interés en dicha álgebra ha sido limitado. Hasta la fecha se han ideado tres enfoques:

• Álgebra de relaciones , inventada por Augustus De Morgan y desarrollada por Charles Sanders Peirce , Ernst Schröder , Alfred Tarski y los estudiantes de Tarski. El álgebra de relaciones no puede representar ninguna fórmula con cuantificadores anidados a más de tres de profundidad. Sorprendentemente, los modelos de álgebra de relaciones incluyen la teoría de conjuntos axiomáticos ZFC y la aritmética de Peano ;
• Álgebra cilíndrica , ideada por Alfred Tarski , Leon Henkin y otros;
• El álgebra poliádica de Paul Halmos .

Notación

Los dos cuantificadores más comunes son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El símbolo tradicional del cuantificador universal es " ∀ ", una letra " A " rotada, que significa "para todos" o "todos". El símbolo correspondiente al cuantificador existencial es " ∃ ", una letra " E " rotada , que significa "existe" o "existe". ^{[2] [3]}

Un ejemplo de traducción de una declaración cuantificada en un idioma natural como el inglés sería el siguiente. Dada la afirmación: "A cada uno de los amigos de Peter le gusta bailar o ir a la playa (o ambas cosas)", los aspectos clave pueden identificarse y reescribirse utilizando símbolos que incluyan cuantificadores. Entonces, sea X el conjunto de todos los amigos de Peter, P ( x ) el predicado " x le gusta bailar" y Q ( x ) el predicado " x le gusta ir a la playa". Entonces, la oración anterior se puede escribir en notación formal como , que se lee, "para cada x que es miembro de X , P se aplica a x o Q se aplica a x ". ${\displaystyle \forall {x}{\in }X,(P(x)\lor Q(x))}$

Algunas otras expresiones cuantificadas se construyen de la siguiente manera,

${\displaystyle \exists {x}\,P}$^[4]     ${\displaystyle \forall {x}\,P}$

para una fórmula P . Estas dos expresiones (usando las definiciones anteriores) se leen como "existe un amigo de Peter al que le gusta bailar" y "a todos los amigos de Peter les gusta bailar", respectivamente. Las notaciones variantes incluyen, para el conjunto X y los miembros del conjunto x :

${\displaystyle \bigvee _{x}P}$     ${\displaystyle (\exists {x})P}$^{[5]     [6]} ${\displaystyle (\exists x\ .\ P)}$     ${\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}$     ${\displaystyle (\exists x:P)}$     ${\displaystyle \exists {x}(P)}$     ${\displaystyle \exists _{x}\,P}$     ${\displaystyle \exists {x}{,}\,P}$     ${\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}$     ${\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}$

Todas estas variaciones también se aplican a la cuantificación universal. Otras variaciones del cuantificador universal son

${\displaystyle \bigwedge _{x}P}$^{[ cita necesaria ]     [7] [8]} ${\displaystyle \bigwedge xP}$     ${\displaystyle (x)\,P}$

Algunas versiones de la notación mencionan explícitamente el rango de cuantificación. Siempre se debe especificar el rango de cuantificación; Para una teoría matemática determinada, esto se puede hacer de varias maneras:

• Suponga un dominio de discurso fijo para cada cuantificación, como se hace en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ,
• Fijar varios dominios del discurso de antemano y exigir que cada variable tenga un dominio declarado, que es el tipo de esa variable. Esto es análogo a la situación en los lenguajes de programación de computadoras de tipo estático , donde las variables tienen tipos declarados.
• Mencione explícitamente el rango de cuantificación, quizás usando un símbolo para el conjunto de todos los objetos en ese dominio (o el tipo de objetos en ese dominio).

Se puede utilizar cualquier variable como variable cuantificada en lugar de cualquier otra, bajo ciertas restricciones en las que no se produce la captura de variables . Incluso si la notación usa variables escritas, se pueden usar variables de ese tipo.

De manera informal o en lenguaje natural, "∀ x " o "∃ x " pueden aparecer después o en medio de P ( x ). Sin embargo, formalmente la frase que introduce la variable ficticia se coloca delante.

Las fórmulas matemáticas mezclan expresiones simbólicas para cuantificadores con cuantificadores en lenguaje natural como,

Para todo número natural x ,...

Existe una x tal que...

Por al menos una x, ....

Las palabras clave para la cuantificación de la unicidad incluyen:

Para exactamente un número natural x ,...

Hay una y sólo una x tal que...

Además, x puede sustituirse por un pronombre . Por ejemplo,

Para todo número natural, su producto con 2 es igual a su suma consigo mismo.

Algún número natural es primo.

Orden de cuantificadores (anidamiento)

El orden de los cuantificadores es fundamental para el significado, como lo ilustran las dos proposiciones siguientes:

Para cada número natural n , existe un número natural s tal que s = n ² .

Esto es claramente cierto; simplemente afirma que todo número natural tiene un cuadrado. El significado de la afirmación en la que se invierte el orden de los cuantificadores es diferente:

Existe un número natural s tal que para cada número natural n , s = n ² .

Esto es claramente falso; afirma que existe un único número natural s que es el cuadrado de todo número natural. Esto se debe a que la sintaxis indica que cualquier variable no puede ser función de variables introducidas posteriormente.

Un ejemplo menos trivial del análisis matemático se refiere a los conceptos de continuidad uniforme y puntual , cuyas definiciones difieren sólo por un intercambio en las posiciones de dos cuantificadores. Una función f de R a R se llama

• Puntualmente continuo si
  $${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$
• Uniformemente continuo si
  $${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$

En el primer caso, el valor particular elegido para δ puede ser función tanto de ε como de x , las variables que lo preceden. En el último caso, δ puede ser función sólo de ε (es decir, debe elegirse independientemente de x ). Por ejemplo, f ( x ) = x ² satisface una continuidad puntual, pero no uniforme (su pendiente no está limitada). Por el contrario, intercambiar los dos cuantificadores universales iniciales en la definición de continuidad puntual no cambia el significado.

Como regla general, intercambiar dos cuantificadores universales adyacentes con el mismo alcance (o intercambiar dos cuantificadores existenciales adyacentes con el mismo alcance) no cambia el significado de la fórmula (ver ejemplo aquí ), pero intercambiar un cuantificador existencial y un universal adyacente El cuantificador puede cambiar su significado.

La profundidad máxima de anidamiento de cuantificadores en una fórmula se denomina " rango de cuantificador ".

Expresiones equivalentes

Si D es un dominio de x y P ( x ) es un predicado dependiente de la variable objeto x , entonces la proposición universal se puede expresar como

${\displaystyle \forall x\!\in \!D\;P(x).}$

Esta notación se conoce como cuantificación restringida o relativizada o acotada . De manera equivalente se puede escribir,

${\displaystyle \forall x\;(x\!\in \!D\to P(x)).}$

La proposición existencial se puede expresar con cuantificación acotada como

${\displaystyle \exists x\!\in \!D\;P(x),}$

o equivalente

${\displaystyle \exists x\;(x\!\in \!\!D\land P(x)).}$

Junto con la negación, sólo se necesita uno de los cuantificadores universal o existencial para realizar ambas tareas:

${\displaystyle \neg (\forall x\!\in \!D\;P(x))\equiv \exists x\!\in \!D\;\neg P(x),}$

lo que muestra que para refutar una proposición "para todo x ", no se necesita más que encontrar una x cuyo predicado sea falso. Similarmente,

${\displaystyle \neg (\exists x\!\in \!D\;P(x))\equiv \forall x\!\in \!D\;\neg P(x),}$

Para refutar una proposición de "existe una x ", es necesario demostrar que el predicado es falso para todo x .

En lógica clásica , cada fórmula es lógicamente equivalente a una fórmula en forma normal prenexa , es decir, una cadena de cuantificadores y variables ligadas seguidas de una fórmula sin cuantificadores.

Eliminación de cuantificadores

La eliminación de cuantificadores es un concepto de simplificación utilizado en lógica matemática , teoría de modelos e informática teórica . Informalmente, una afirmación cuantificada " tal que " puede verse como una pregunta "¿Cuándo existe tal que ?", y la afirmación sin cuantificadores puede verse como la respuesta a esa pregunta. ^[9] ${\displaystyle \exists x}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ldots }$

Una forma de clasificar fórmulas es por la cantidad de cuantificación. Las fórmulas con menos profundidad de alternancia de cuantificadores se consideran más simples, siendo las fórmulas sin cuantificadores las más simples.

Una teoría tiene eliminación de cuantificadores si para cada fórmula existe otra fórmula sin cuantificadores que es equivalente a ella ( módulo esta teoría). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{QF}}$

Rango de cuantificación

Cada cuantificación involucra una variable específica y un dominio de discurso o rango de cuantificación de esa variable. El rango de cuantificación especifica el conjunto de valores que toma la variable. En los ejemplos anteriores, el rango de cuantificación es el conjunto de números naturales. La especificación del rango de cuantificación nos permite expresar la diferencia entre, digamos, afirmar que un predicado es válido para algún número natural o para algún número real . Las convenciones expositivas a menudo reservan algunos nombres de variables como " n " para números naturales y " x " para números reales, aunque confiar exclusivamente en convenciones de nomenclatura no puede funcionar en general, ya que los rangos de variables pueden cambiar en el curso de un argumento matemático.

Una fórmula universalmente cuantificada en un rango vacío (como ) siempre es vagamente cierta . Por el contrario, una fórmula cuantificada existencialmente en un rango vacío (como ) siempre es falsa. ${\displaystyle \forall x\!\in \!\varnothing \;x\neq x}$ ${\displaystyle \exists x\!\in \!\varnothing \;x=x}$

Una forma más natural de restringir el dominio del discurso utiliza una cuantificación cautelosa . Por ejemplo, la cuantificación cautelosa

Para algún número natural n , n es par y n es primo

medio

Para algún número par n , n es primo.

En algunas teorías matemáticas se supone un único dominio del discurso fijado de antemano. Por ejemplo, en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , las variables abarcan todos los conjuntos. En este caso, se pueden utilizar cuantificadores cautelosos para imitar un rango más pequeño de cuantificación. Así, en el ejemplo anterior, para expresar

Para todo número natural n , n ·2 = n + n

en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, se escribiría

Para cada n , si n pertenece a N , entonces n ·2 = n + n ,

donde N es el conjunto de todos los números naturales.

Semántica formal

La semántica matemática es la aplicación de las matemáticas para estudiar el significado de expresiones en un lenguaje formal. Tiene tres elementos: una especificación matemática de una clase de objetos vía sintaxis , una especificación matemática de varios dominios semánticos y la relación entre ambos, que generalmente se expresa como una función de objetos sintácticos a semánticos. Este artículo sólo aborda la cuestión de cómo se interpretan los elementos cuantificadores. La sintaxis de una fórmula puede venir dada por un árbol de sintaxis. Un cuantificador tiene un alcance y la aparición de una variable x es libre si no está dentro del alcance de una cuantificación para esa variable. Así en

${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$

la aparición de x e y en C ( y , x ) es libre, mientras que la aparición de x e y en B ( y , x ) está ligada (es decir, no libre).

Árbol de sintaxis de la fórmula , que ilustra el alcance y la captura de variables. Las apariciones de variables ligadas y libres están coloreadas en rojo y verde, respectivamente. ${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$

Una interpretación del cálculo de predicados de primer orden supone como dado un dominio de individuos X . Una fórmula A cuyas variables libres son x ₁ , ..., x _n se interpreta como una función booleana F ( v ₁ , ..., v _n ) de n argumentos, donde cada argumento abarca el dominio X . Con valor booleano significa que la función asume uno de los valores T (interpretado como verdad) o F (interpretado como falsedad). La interpretación de la fórmula.

${\displaystyle \forall x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

es la función G de n -1 argumentos tal que G ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T si y sólo si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T para cada w en X . Si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = F para al menos un valor de w , entonces G ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F . De manera similar, la interpretación de la fórmula.

${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

es la función H de n -1 argumentos tal que H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T si y sólo si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T para al menos una w y H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F en caso contrario.

La semántica para la cuantificación de la unicidad requiere cálculo de predicados de primer orden con igualdad. Esto significa que se da un predicado distinguido de dos posiciones "="; la semántica también se modifica en consecuencia para que "=" siempre se interprete como la relación de igualdad de dos lugares en X . La interpretación de

${\displaystyle \exists !x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

entonces es la función de n -1 argumentos, que es la lógica y de las interpretaciones de

${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \forall y,z{\big (}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},y)\wedge A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},z)\implies y=z{\big )}.}$

Cada tipo de cuantificación define un operador de cierre correspondiente en el conjunto de fórmulas, agregando, para cada variable libre x , un cuantificador para vincular x . ^[10] Por ejemplo, el cierre existencial de la fórmula abierta n >2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ es la fórmula cerrada ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n >2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ ); Se sabe que la última fórmula, cuando se interpreta sobre los números enteros positivos, es falsa según el último teorema de Fermat . Como otro ejemplo, los axiomas ecuacionales, como x + y = y + x , generalmente pretenden denotar su cierre universal , como ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ) para expresar conmutatividad .

Paucal, multal y otros cuantificadores de grados.

Ninguno de los cuantificadores discutidos anteriormente se aplica a una cuantificación como

Hay muchos números enteros n < 100, tales que n es divisible por 2, 3 o 5.

Un posible mecanismo de interpretación se puede obtener de la siguiente manera: supongamos que además de un dominio semántico X , hemos dado una medida de probabilidad P definida en X y números de corte 0 < a ≤ b ≤ 1. Si A es una fórmula con variables libres x ₁ ,..., x _n cuya interpretación es la función F de las variables v ₁ ,..., v _n entonces la interpretación de

${\displaystyle \exists ^{\mathrm {many} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$

es la función de v ₁ ,..., v _{n -1} que es T si y sólo si

${\displaystyle \operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b}$

y F en caso contrario. De manera similar, la interpretación de

${\displaystyle \exists ^{\mathrm {few} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$

es la función de v ₁ ,..., v _{n -1} que es F si y sólo si

${\displaystyle 0<\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a}$

y T en caso contrario.

Otros cuantificadores

Con el tiempo se han propuesto algunos otros cuantificadores. En particular, el cuantificador de solución, ^{[11] : 28} anotó § ( signo de sección ) y leyó "aquellos". Por ejemplo,

${\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}}$

se lee "aquellos n en N tales que n ² ≤ 4 están en {0,1,2}." La misma construcción se puede expresar en notación de constructor de conjuntos como

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.}$

Al contrario de los otros cuantificadores, § produce un conjunto en lugar de una fórmula. ^[12]

Algunos otros cuantificadores que a veces se utilizan en matemáticas incluyen:

• Hay infinitos elementos tales que...
• Para todos menos un número finito de elementos... (a veces expresado como "para casi todos los elementos...").
• Hay innumerables elementos tales que...
• Para todos, excepto para muchos elementos...
• Para todos los elementos en un conjunto de medida positiva...
• Para todos los elementos excepto aquellos en un conjunto de medida cero...

Historia

La lógica de términos , también llamada lógica aristotélica, trata la cuantificación de una manera más cercana al lenguaje natural y también menos adecuada para el análisis formal. La lógica del término trató Todo , Algunos y No en el siglo IV a.C., en un relato que también toca las modalidades aléticas .

En 1827, George Bentham publicó su Esquema de un nuevo sistema de lógica: con un examen crítico de los elementos de lógica del Dr. Whately , describiendo el principio del cuantificador, pero el libro no tuvo una amplia circulación. ^[13]

Augustus De Morgan (1806-1871) fue el primero en utilizar "cuantificador" en el sentido moderno.

William Hamilton afirmó haber acuñado los términos "cuantificar" y "cuantificación", probablemente en sus conferencias de Edimburgo c. 1840. Augustus De Morgan confirmó esto en 1847, pero el uso moderno comenzó con De Morgan en 1862, donde hace declaraciones como "Debemos tomar en cuenta tanto a todos como a algunos no todos como cuantificadores". ^[14]

Gottlob Frege , en su Begriffsschrift de 1879 , fue el primero en emplear un cuantificador para vincular una variable que abarca un dominio del discurso y aparece en predicados . Cuantificaba universalmente una variable (o relación) escribiendo la variable sobre un hoyuelo en una línea recta que aparece en sus fórmulas esquemáticas. Frege no ideó una notación explícita para la cuantificación existencial, sino que empleó su equivalente de ~∀ x ~, o contraposición . El tratamiento de la cuantificación por parte de Frege pasó prácticamente desapercibido hasta los Principios de Matemáticas de Bertrand Russell de 1903 .

En un trabajo que culminó en Peirce (1885), Charles Sanders Peirce y su alumno Oscar Howard Mitchell inventaron de forma independiente cuantificadores universales y existenciales, y variables ligadas . Peirce y Mitchell escribieron Π _x y Σ _x donde ahora escribimos ∀ x y ∃ x . La notación de Peirce se puede encontrar en los escritos de Ernst Schröder , Leopold Loewenheim , Thoralf Skolem y lógicos polacos de la década de 1950. En particular, es la notación del histórico artículo de Kurt Gödel de 1930 sobre la completitud de la lógica de primer orden , y del artículo de 1931 sobre la incompletitud de la aritmética de Peano .

El enfoque de Peirce hacia la cuantificación también influyó en William Ernest Johnson y Giuseppe Peano , quienes inventaron otra notación más, a saber ( x ) para la cuantificación universal de x y (en 1897) ∃ x para la cuantificación existencial de x . Por lo tanto, durante décadas, la notación canónica en filosofía y lógica matemática fue ( x ) P para expresar "todos los individuos en el dominio del discurso tienen la propiedad P " y "(∃ x ) P " para "existe al menos un individuo en el dominio del discurso que tiene la propiedad P. " Peano, que era mucho más conocido que Peirce, difundió de hecho el pensamiento de este último por toda Europa. La notación de Peano fue adoptada por los Principia Mathematica de Whitehead y Russell , Quine y Alonzo Church . En 1935, Gentzen introdujo el símbolo ∀, por analogía con el símbolo ∃ de Peano. ∀ no se volvió canónico hasta la década de 1960.

Hacia 1895, Peirce comenzó a desarrollar sus gráficos existenciales , cuyas variables pueden considerarse tácitamente cuantificadas. Si la instancia más superficial de una variable es par o impar determina si la cuantificación de esa variable es universal o existencial. (La superficialidad es lo contrario de la profundidad, que está determinada por el anidamiento de negaciones). La lógica gráfica de Peirce ha atraído cierta atención en los últimos años por parte de quienes investigan el razonamiento heterogéneo y la inferencia esquemática .

Ver también

• Portal de filosofía

• Generalidad absoluta
• Casi todos
• Cuantificador de ramificación
• Cuantificador condicional
• Cuantificación del conteo
• Eventualmente (matemáticas)
• Cuantificador generalizado : una propiedad de orden superior utilizada como semántica estándar de frases nominales cuantificadas.
• Cuantificador de Lindström : un cuantificador poliádico generalizado
• Cambio de cuantificador

Referencias

1. Kashef, Arman. (2023), En busca de la lógica universal: una breve descripción de la evolución de la lógica formal, doi :10.13140/RG.2.2.24043.82724/1
2. "Predicados y Cuantificadores". www.csm.ornl.gov . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
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9. Marrón 2002.
10. en general, para un cuantificador Q , el cierre tiene sentido sólo si el orden de cuantificación de Q no importa, es decir, si Q x Q y p ( x , y ) es equivalente a Q y Q x p ( x , y ). Esto se cumple para Q ∈ {∀,∃}, cf. #Orden de los cuantificadores (anidamiento) arriba.
11. Hehner, Eric CR , 2004, Teoría práctica de la programación, 2.ª edición, p. 28
12. Hehner (2004) utiliza el término "cuantificador" en un sentido muy general, incluyendo también, por ejemplo, la suma .
13. George Bentham, Esquema de un nuevo sistema de lógica: con un examen crítico de los Elementos de lógica del Dr. Whately (1827); Toemes; Edición facsímil (1990) ISBN 1-85506-029-9 
14. Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (27 de abril de 2006). Cuantificadores en lenguaje y lógica. Prensa de Clarendon. págs.34–. ISBN 978-0-19-929125-0.

Bibliografía

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enlaces externos

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  • Shapiro, Stewart (2000). "Lógica clásica" (cubre sintaxis, teoría de modelos y metateoría para la lógica de primer orden en el estilo de deducción natural).
  • Westerståhl, Dag (2005). "Cuantificadores generalizados"
• Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Cuantificadores"