Campo vectorial solenoidal

Campo vectorial con divergencia cero

Un ejemplo de un campo vectorial solenoidal, ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y)=(y,-x)}$

En el cálculo vectorial, un campo vectorial solenoidal (también conocido como campo vectorial incompresible , campo vectorial libre de divergencia o campo vectorial transversal ) es un campo vectorial v con divergencia cero en todos los puntos del campo: Una forma común de expresar esta propiedad es decir que el campo no tiene fuentes ni sumideros. ^{[nota 1]} $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$$

Propiedades

El teorema de divergencia proporciona una definición integral equivalente de un campo solenoidal; es decir, que para cualquier superficie cerrada, el flujo total neto a través de la superficie debe ser cero:

${\displaystyle \;\;\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {S} =0,}$

donde es la normal externa a cada elemento de la superficie. ${\displaystyle d\mathbf {S} }$

El teorema fundamental del cálculo vectorial establece que cualquier campo vectorial puede expresarse como la suma de un campo irrotacional y un campo solenoidal. La condición de divergencia cero se cumple siempre que un campo vectorial v tenga solo un componente de potencial vectorial , porque la definición del potencial vectorial A como: da como resultado automáticamente la identidad (como se puede demostrar, por ejemplo, utilizando coordenadas cartesianas): La inversa también es válida: para cualquier solenoidal v existe un potencial vectorial A tal que (Estrictamente hablando, esto es válido sujeto a ciertas condiciones técnicas sobre v , véase descomposición de Helmholtz .) $${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0.}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Etimología

Solenoidal tiene su origen en la palabra griega para solenoide , que es σωληνοειδές (sōlēnoeidēs), que significa en forma de tubo, de σωλην (sōlēn) o tubo.

Ejemplos

• El campo magnético B (ver la ley de Gauss para el magnetismo )
• El campo de velocidad de un flujo de fluido incompresible
• El campo de vorticidad
• El campo eléctrico E en regiones neutras ( ); ${\displaystyle \rho _{e}=0}$
• La densidad de corriente J donde la densidad de carga es invariable, . ${\textstyle {\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}=0}$
• El potencial vectorial magnético A en el calibre de Coulomb

Véase también

• Campos vectoriales longitudinales y transversales
• Función de transmisión
• Campo vectorial conservativo

Notas

1. Esta afirmación no significa que las líneas de campo de un campo solenoidal deban estar cerradas, ni que no puedan comenzar o terminar. Para una discusión detallada del tema, véase J. Slepian: "Lines of Force in Electric and Magnetic Fields", American Journal of Physics, vol. 19, pp. 87-90, 1951, y L. Zilberti: "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines", IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017.

Referencias

• Aris, Rutherford (1989), Vectores, tensores y ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos, Dover, ISBN 0-486-66110-5