Potencial vectorial

Concepto matemático en el cálculo vectorial

En cálculo vectorial , un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial dado. Esto es análogo a un potencial escalar , que es un campo escalar cuyo gradiente es un campo vectorial dado.

Formalmente, dado un campo vectorial , un potencial vectorial es un campo vectorial tal que ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Consecuencia

Si un campo vectorial admite un potencial vectorial , entonces de la igualdad ( la divergencia del rotacional es cero) se obtiene lo que implica que debe ser un campo vectorial solenoidal . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Teorema

Sea un campo vectorial solenoidal que es dos veces continuamente diferenciable . Suponga que decrece al menos tan rápido como para . Defina donde denota rotacional con respecto a la variable . Entonces es un potencial vectorial para . Es decir, $${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} }$$ ${\displaystyle \nabla _{y}\times }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$$

El dominio integral puede restringirse a cualquier región simplemente conexa . Es decir, también es un potencial vectorial de , donde ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle \mathbf {A'} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$$

Una generalización de este teorema es el teorema de descomposición de Helmholtz , que establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de un campo vectorial solenoidal y un campo vectorial irrotacional .

Por analogía con la ley de Biot-Savart , también califica como potencial vectorial para , donde ${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )\times (\mathbf {x} -\mathbf {y} )}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{3}}}d^{3}\mathbf {y} }$.

Sustituyendo ( densidad de corriente ) por y ( campo H ) por , se obtiene la ley de Biot-Savart. ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Sea un dominio estelar centrado en el punto , donde . Aplicando el lema de Poincaré para formas diferenciales a campos vectoriales, entonces también es un potencial vectorial para , donde ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {x} -\mathbf {p} )\times (\mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1-s)\mathbf {p} ))\ ds}$

No unicidad

El potencial vectorial admitido por un campo solenoidal no es único. Si es un potencial vectorial para , entonces también lo es donde es cualquier función escalar continuamente diferenciable. Esto se deduce del hecho de que el rotacional del gradiente es cero. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}$$ ${\displaystyle f}$

Esta no unicidad conduce a un grado de libertad en la formulación de la electrodinámica, o libertad de calibre, y requiere elegir un calibre .

Véase también

• Teorema fundamental del cálculo vectorial
• Potencial vectorial magnético
• Campo vectorial solenoidal
• Formas diferenciales cerradas y exactas

Referencias

• Fundamentos de ingeniería electromagnética por David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.