Descomposición de Helmholtz

Ciertos campos vectoriales son la suma de un campo vectorial irrotacional y solenoidal.

En física y matemáticas , el teorema de descomposición de Helmholtz o el teorema fundamental del cálculo vectorial ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]} establece que cualquier campo vectorial suficientemente suave y de rápida descomposición en tres dimensiones se puede resolver en la suma de un campo vectorial irrotacional ( libre de rizos ) y un campo vectorial solenoidal ( libre de divergencia ). Lleva el nombre de Hermann von Helmholtz .

Definición

Para un campo vectorial definido en un dominio , una descomposición de Helmholtz es un par de campos vectoriales tal que: Aquí, es un potencial escalar , es su gradiente y es la divergencia del campo vectorial . El campo vectorial irrotacional se denomina campo gradiente y se denomina campo solenoidal o campo de rotación . Esta descomposición no existe para todos los campos vectoriales y no es única . ^[8] ${\displaystyle \mathbf {F} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {r} ),\\\mathbf {G} (\mathbf {r} )&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),\\\nabla \cdot \mathbf {R} (\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Phi \in C^{2}(V,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \nabla \Phi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Historia

La descomposición de Helmholtz en tres dimensiones fue descrita por primera vez en 1849 ^[9] por George Gabriel Stokes para una teoría de la difracción . Hermann von Helmholtz publicó su artículo sobre algunas ecuaciones básicas hidrodinámicas en 1858, ^{[10] [11]} que fue parte de su investigación sobre los teoremas de Helmholtz que describen el movimiento de fluidos en las proximidades de líneas de vórtice. ^[11] Su derivación requirió que los campos vectoriales decayeran lo suficientemente rápido en el infinito. Posteriormente, esta condición podría relajarse y la descomposición de Helmholtz podría extenderse a dimensiones superiores. ^{[8] [12] [13]} Para las variedades de Riemann , se derivó la descomposición de Helmholtz-Hodge utilizando geometría diferencial y cálculo tensorial . ^{[8] [11] [14] [15]}

La descomposición se ha convertido en una herramienta importante para muchos problemas de física teórica , ^{[11] [14]} pero también ha encontrado aplicaciones en animación , visión por computadora y robótica . ^[15]

Espacio tridimensional

Muchos libros de texto de física restringen la descomposición de Helmholtz al espacio tridimensional y limitan su aplicación a campos vectoriales que decaen lo suficientemente rápido en el infinito o a funciones de choque que están definidas en un dominio acotado . Entonces, se puede definir un potencial vectorial , tal que el campo de rotación esté dado por , utilizando la curvatura de un campo vectorial. ^[dieciséis] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Sea un campo vectorial en un dominio acotado , que es dos veces continuamente diferenciable en su interior , y sea la superficie que encierra el dominio . Luego se puede descomponer en un componente sin rizos y un componente sin divergencia de la siguiente manera: ^[17] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,}$$dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}$$

y es el operador nabla con respecto a , no . ${\displaystyle \nabla '}$ ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Por lo tanto, si y es ilimitado y desaparece más rápido que as , entonces se tiene ^[18] ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}$$Esto es válido en particular si es dos veces continuamente diferenciable en y de soporte acotado. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Derivación

Prueba

Supongamos que tenemos una función vectorial de la cual conocemos el rizo, y la divergencia, en el dominio y los campos en la frontera. Escribiendo la función usando la función delta en la forma donde está el operador de Laplace, tenemos ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ $${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,,}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}$$

donde hemos utilizado la definición del vector laplaciano : $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,}$$

diferenciación/integración con respecto a por y en la última línea, linealidad de los argumentos de la función: ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} V',}$ $${\displaystyle \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .}$$

Luego usando las identidades vectoriales

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}$$

obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}$$

Gracias al teorema de la divergencia la ecuación se puede reescribir como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}$$

con superficie exterior normal . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}$

Definiendo

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$$

finalmente obtenemos $${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Espacio de solución

Si es una descomposición de Helmholtz de , entonces es otra descomposición si, y sólo si, ${\displaystyle (\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})}$

${\displaystyle \Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad }$y ${\displaystyle \quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,}$

dónde

• ${\displaystyle \lambda }$es un campo escalar armónico ,
• ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$es un campo vectorial que cumple ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,}$
• ${\displaystyle \varphi }$es un campo escalar.

Prueba: Conjunto y . Según la definición de la descomposición de Helmholtz, la condición es equivalente a ${\displaystyle \lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}}$

${\displaystyle -\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0}$.

Tomando la divergencia de cada miembro de esta ecuación se obtiene , por lo tanto, es armónica. ${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle \lambda }$

Por el contrario, dada cualquier función armónica , es solenoidal ya que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \lambda }$

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.}$

Por tanto, según la sección anterior, existe un campo vectorial tal que . ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }}$

Si es otro campo vectorial de este tipo, entonces se cumple , por lo tanto, para algún campo escalar . ${\displaystyle {\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {C} }=0}$ ${\displaystyle C=\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Campos con divergencia y curvatura prescritas

El término "teorema de Helmholtz" también puede referirse a lo siguiente. Sea C un campo vectorial solenoidal y d un campo escalar en R ³ que son suficientemente suaves y que desaparecen más rápido que 1/ r ² en el infinito. Entonces existe un campo vectorial F tal que

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}$$

si además el campo vectorial F desaparece cuando r → ∞ , entonces F es único. ^[18]

En otras palabras, un campo vectorial se puede construir con una divergencia y una curvatura específicas, y si también desaparece en el infinito, se especifica únicamente por su divergencia y curvatura. Este teorema es de gran importancia en electrostática , ya que las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctrico y magnético en el caso estático son exactamente de este tipo. ^[18] La prueba es mediante una construcción que generaliza la dada anteriormente: establecemos

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla ({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$$

donde representa el operador potencial newtoniano . (Cuando se actúa sobre un campo vectorial, como ∇ × F , se define para actuar sobre cada componente). ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

formulación débil

La descomposición de Helmholtz se puede generalizar reduciendo los supuestos de regularidad (la necesidad de la existencia de derivados fuertes). Supongamos que Ω es un dominio de Lipschitz acotado y simplemente conexo . Todo campo vectorial integrable al cuadrado u ∈ ( L ² (Ω)) ³ tiene una descomposición ortogonal : ^{[19] [20] [21]}

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$$

donde φ está en el espacio de Sobolev H ¹ (Ω) de funciones integrables al cuadrado en Ω cuyas derivadas parciales definidas en el sentido de distribución son integrables al cuadrado, y A ∈ H (curl, Ω) , el espacio de Sobolev de campos vectoriales que consisten en cuadrados campos vectoriales integrables con rizo cuadrado integrable.

Para un campo vectorial ligeramente más suave u ∈ H (curl, Ω) , se cumple una descomposición similar:

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$$

donde φ ∈ H ¹ (Ω), v ∈ ( H ¹ (Ω)) ^d .

Derivación de la transformada de Fourier

Tenga en cuenta que en el teorema establecido aquí, hemos impuesto la condición de que si no está definido en un dominio acotado, decaerá más rápido que . Por lo tanto, se garantiza que existe la transformada de Fourier de , denotada como . Aplicamos la convención ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$$

La transformada de Fourier de un campo escalar es un campo escalar y la transformada de Fourier de un campo vectorial es un campo vectorial de la misma dimensión.

Ahora considere los siguientes campos escalares y vectoriales: $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$$

Por eso

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

Campos longitudinales y transversales.

Una terminología de uso frecuente en física se refiere a la componente libre de curvatura de un campo vectorial como componente longitudinal y a la componente libre de divergencia como componente transversal . ^{[22] Esta terminología proviene de la siguiente construcción: Calcular la} transformada de Fourier tridimensional del campo vectorial . Luego, descomponga este campo, en cada punto k , en dos componentes, uno de los cuales apunta longitudinalmente, es decir, paralelo a k , y el otro apunta en la dirección transversal, es decir, perpendicular a k . Hasta ahora, tenemos ${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$$

Ahora aplicamos una transformada de Fourier inversa a cada uno de estos componentes. Usando las propiedades de las transformadas de Fourier, derivamos:

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$$

Desde y , ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

nosotros podemos obtener

$${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$

entonces esta es de hecho la descomposición de Helmholtz. ^[23]

Generalización a dimensiones superiores.

Enfoque matricial

La generalización a dimensiones no se puede hacer con un potencial vectorial, ya que el operador de rotación y el producto vectorial se definen (como vectores) sólo en tres dimensiones. ${\displaystyle d}$

Sea un campo vectorial en un dominio acotado que decae más rápido que for y . ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }$ ${\displaystyle \delta >2}$

El potencial escalar se define de manera similar al caso tridimensional como: donde el núcleo de integración es nuevamente la solución fundamental de la ecuación de Laplace , pero en un espacio d-dimensional: con el volumen de las bolas unitarias d-dimensionales y la función gamma . $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',}$$ ${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ $${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ ${\displaystyle V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )}$

Porque , es justo igual a , lo que produce el mismo prefactor que el anterior. El potencial de rotación es una matriz antisimétrica con los elementos: encima de la diagonal se encuentran entradas que se reflejan nuevamente en la diagonal, pero con signo negativo. En el caso tridimensional, los elementos de la matriz corresponden simplemente a los componentes del potencial vectorial . Sin embargo, tal potencial matricial puede escribirse como un vector sólo en el caso tridimensional, porque sólo es válido para . ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$ $${\displaystyle A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.}$$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}=d}$ ${\displaystyle d=3}$

Como en el caso tridimensional, el campo gradiente se define como. El campo rotacional, por otro lado, se define en el caso general como la divergencia de filas de la matriz: en el espacio tridimensional, esto equivale a la rotación de el potencial vectorial. ^{[8] [24]} $${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].}$$

Enfoque tensorial

En un espacio vectorial de dimensión con , se puede reemplazar por la función de Green apropiada para el laplaciano , definida por dónde se usa la convención de suma de Einstein para el índice . Por ejemplo, en 2D. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d\neq 3}$ ${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$

Siguiendo los mismos pasos anteriores, podemos escribir dónde está el delta de Kronecker (y nuevamente se usa la convención de suma). En lugar de la definición del vector laplaciano utilizada anteriormente, ahora utilizamos una identidad para el símbolo de Levi-Civita , que es válida en dimensiones, donde es un índice múltiple de componentes . Esto da $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$ ${\displaystyle \delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })}$$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (d-2)}$ $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$

Por lo tanto, podemos escribir donde. Tenga en cuenta que el potencial vectorial se reemplaza por un tensor de rango en dimensiones. $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (d-2)}$ ${\displaystyle d}$

Debido a que es una función de solo , se puede reemplazar , dando Integración por partes y luego se puede usar para indicar dónde está el límite de . Estas expresiones son análogas a las dadas anteriormente para el espacio tridimensional. ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\rightarrow -{\frac {\partial }{\partial r'_{\mu }}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&=-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\nu }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\sigma }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle S=\partial V}$ ${\displaystyle V}$

Para una mayor generalización de variedades, consulte la discusión sobre la descomposición de Hodge a continuación.

Formas diferenciales

La descomposición de Hodge está estrechamente relacionada con la descomposición de Helmholtz, ^[25] generalizando desde campos vectoriales en R ³ hasta formas diferenciales en una variedad de Riemann M. La mayoría de las formulaciones de la descomposición de Hodge requieren que M sea compacto . ^[26] Dado que esto no es cierto para R ³ , el teorema de descomposición de Hodge no es estrictamente una generalización del teorema de Helmholtz. Sin embargo, la restricción de compacidad en la formulación habitual de la descomposición de Hodge puede reemplazarse por suposiciones de desintegración adecuadas en el infinito en las formas diferenciales involucradas, dando una generalización adecuada del teorema de Helmholtz.

Extensiones a campos que no decaen en el infinito.

La mayoría de los libros de texto sólo tratan de campos vectoriales que decaen más rápido que en el infinito. ^{[16] [13] [27]} Sin embargo, Otto Blumenthal demostró en 1905 que se puede utilizar un núcleo de integración adaptado para integrar campos que se desintegran más rápido que con , que es sustancialmente menos estricto. Para lograr esto, el núcleo en las integrales de convolución debe reemplazarse por . ^[28] Con núcleos de integración aún más complejos, se pueden encontrar soluciones incluso para funciones divergentes que no necesitan crecer más rápido que el polinomio. ^{[12] [13] [24] [29]} ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >1}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle K'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')-K(0,\mathbf {r} ')}$

Para todos los campos vectoriales analíticos que no necesitan llegar a cero incluso en el infinito, se pueden usar métodos basados ​​en la integración parcial y la fórmula de Cauchy para la integración repetida ^[30] para calcular soluciones de forma cerrada de los potenciales escalares y de rotación, como en el caso de funciones polinómicas multivariadas , seno , coseno y exponenciales . ^[8]

Unicidad de la solución.

En general, la descomposición de Helmholtz no está definida de forma única. Una función armónica es una función que satisface . Sumando al potencial escalar se puede obtener una descomposición de Helmholtz diferente: ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Delta H(\mathbf {r} )=0}$ ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} '(\mathbf {r} )&=\nabla (\Phi (\mathbf {r} )+H(\mathbf {r} ))=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\nabla H(\mathbf {r} ),\\\mathbf {R} '(\mathbf {r} )&=\mathbf {R} (\mathbf {r} )-\nabla H(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Para campos vectoriales , que decaen en el infinito, es una elección plausible que los potenciales escalares y de rotación también decaigan en el infinito. Al ser la única función armónica con esta propiedad, que se deriva del teorema de Liouville , se garantiza la unicidad de los campos de gradiente y rotación. ^[31] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle H(\mathbf {r} )=0}$

Esta unicidad no se aplica a los potenciales: en el caso tridimensional, el potencial escalar y el vector tienen conjuntamente cuatro componentes, mientras que el campo vectorial tiene sólo tres. El campo vectorial es invariante para las transformaciones de calibre y la elección de los potenciales apropiados conocida como fijación de calibre es el tema de la teoría de calibre . Ejemplos importantes de la física son la condición del calibre de Lorenz y el calibre de Coulomb . Una alternativa es utilizar la descomposición poloidal-toroidal .

Aplicaciones

Electrodinámica

El teorema de Helmholtz es de particular interés en electrodinámica , ya que puede usarse para escribir las ecuaciones de Maxwell en la imagen del potencial y resolverlas más fácilmente. La descomposición de Helmholtz se puede utilizar para demostrar que, dadas la densidad de corriente eléctrica y la densidad de carga , se pueden determinar el campo eléctrico y la densidad de flujo magnético . Son únicos si las densidades desaparecen en el infinito y se supone lo mismo para los potenciales. ^[dieciséis]

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , la proyección de Helmholtz juega un papel importante, especialmente para la teoría de la solubilidad de las ecuaciones de Navier-Stokes . Si se aplica la proyección de Helmholtz a las ecuaciones de Navier-Stokes linealizadas e incompresibles, se obtiene la ecuación de Stokes . Esto depende sólo de la velocidad de las partículas en el flujo, pero ya no de la presión estática, lo que permite reducir la ecuación a una incógnita. Sin embargo, ambas ecuaciones, la de Stokes y la linealizada, son equivalentes. El operador se llama operador de Stokes . ^[32] ${\displaystyle P\Delta }$

Teoría de sistemas dinámicos

En la teoría de sistemas dinámicos , la descomposición de Helmholtz se puede utilizar para determinar "cuasipotenciales", así como para calcular funciones de Lyapunov en algunos casos. ^{[33] [34] [35]}

Para algunos sistemas dinámicos como el sistema de Lorenz ( Edward N. Lorenz , 1963 ^[36] ), un modelo simplificado para la convección atmosférica , se puede obtener una expresión cerrada de la descomposición de Helmholtz: La descomposición de Helmholtz de , con el potencial escalar se da como: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.}$$

El potencial escalar cuadrático proporciona movimiento en la dirección del origen de las coordenadas, que es responsable del punto fijo estable para algún rango de parámetros. Para otros parámetros, el campo de rotación garantiza que se cree un atractor extraño , lo que hace que el modelo muestre un efecto mariposa . ^{[8] [37]}

Imagenes medicas

En la elastografía por resonancia magnética , una variante de la resonancia magnética en la que se utilizan ondas mecánicas para sondear la viscoelasticidad de los órganos, la descomposición de Helmholtz se utiliza a veces para separar los campos de desplazamiento medidos en su componente de corte (libre de divergencia) y su componente de compresión (curvado). gratis). ^[38] De esta manera, el módulo de corte complejo se puede calcular sin contribuciones de las ondas de compresión.

Animación por ordenador y robótica.

La descomposición de Helmholtz también se utiliza en el campo de la ingeniería informática. Esto incluye la robótica, la reconstrucción de imágenes pero también la animación por ordenador, donde la descomposición se utiliza para una visualización realista de fluidos o campos vectoriales. ^{[15] [39]}

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Representación de Clebsch para una descomposición relacionada de campos vectoriales
• Darwin Lagrangiano para una aplicación
• "Descomposición poloidal-toroidal para una mayor descomposición del componente libre de divergencia" . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$
• Descomposición escalar-vectorial-tensor
• Teoría de Hodge que generaliza la descomposición de Helmholtz
• Teorema de factorización polar
• Descomposición de Helmholtz-Leray utilizada para definir la proyección de Leray

Notas

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5. William Woolsey Johnson : Tratado elemental sobre el cálculo integral: basado en el método de tasas o fluxiones . John Wiley & Sons, 1881.
   Véase también: Método de fluxiones .
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   Véase también: Teorema de Green .
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Referencias

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• George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos - Edición internacional , sexta edición, Academic Press: San Diego (2005) págs. 95-101
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