Divergencia

Operador vectorial en cálculo vectorial

La divergencia de diferentes campos vectoriales. La divergencia de los vectores desde el punto ( x , y ) es igual a la suma de la derivada parcial con respecto a x del componente x y la derivada parcial con respecto a y del componente y en ese punto: ${\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}}$

En cálculo vectorial , la divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial y produce un campo escalar que proporciona la cantidad de la fuente del campo vectorial en cada punto. En términos más técnicos, la divergencia representa la densidad de volumen del flujo saliente de un campo vectorial desde un volumen infinitesimal alrededor de un punto determinado.

Como ejemplo, considere el aire cuando se calienta o se enfría. La velocidad del aire en cada punto define un campo vectorial. Mientras el aire se calienta en una región, se expande en todas las direcciones y, por lo tanto, el campo de velocidad apunta hacia afuera de esa región. La divergencia del campo de velocidad en esa región tendría, por lo tanto, un valor positivo. Mientras el aire se enfría y, por lo tanto, se contrae, la divergencia de la velocidad tiene un valor negativo.

Interpretación física de la divergencia

En términos físicos, la divergencia de un campo vectorial es el grado en el que el flujo del campo vectorial se comporta como una fuente en un punto dado. Es una medida local de su "expansión": el grado en el que hay más vectores de campo que salen de una región infinitesimal del espacio que los que entran en ella. Un punto en el que el flujo es saliente tiene divergencia positiva y a menudo se lo denomina "fuente" del campo. Un punto en el que el flujo se dirige hacia el interior tiene divergencia negativa y a menudo se lo denomina "sumidero" del campo. Cuanto mayor sea el flujo del campo a través de una superficie pequeña que encierra un punto dado, mayor será el valor de la divergencia en ese punto. Un punto en el que hay flujo cero a través de una superficie envolvente tiene divergencia cero.

La divergencia de un campo vectorial se ilustra a menudo utilizando el ejemplo simple del campo de velocidad de un fluido, un líquido o un gas. Un gas en movimiento tiene una velocidad , una rapidez y una dirección en cada punto, que se pueden representar mediante un vector , por lo que la velocidad del gas forma un campo vectorial . Si se calienta un gas, se expandirá. Esto provocará un movimiento neto de partículas de gas hacia afuera en todas las direcciones. Cualquier superficie cerrada en el gas encerrará gas que se está expandiendo, por lo que habrá un flujo de gas hacia afuera a través de la superficie. Por lo tanto, el campo de velocidad tendrá divergencia positiva en todas partes. De manera similar, si el gas se enfría, se contraerá. Habrá más espacio para partículas de gas en cualquier volumen, por lo que la presión externa del fluido provocará un flujo neto de volumen de gas hacia adentro a través de cualquier superficie cerrada. Por lo tanto, el campo de velocidad tiene divergencia negativa en todas partes. En contraste, en un gas a temperatura y presión constantes, el flujo neto de gas que sale de cualquier superficie cerrada es cero. El gas puede estar en movimiento, pero la velocidad volumétrica del gas que fluye hacia cualquier superficie cerrada debe ser igual a la velocidad volumétrica que fluye hacia afuera, por lo que el flujo neto es cero. Por lo tanto, la velocidad del gas tiene divergencia cero en todas partes. Un campo que tiene divergencia cero en todas partes se llama solenoidal .

Si el gas se calienta sólo en un punto o una región pequeña, o se introduce un tubo pequeño que suministra una fuente de gas adicional en un punto, el gas allí se expandirá, empujando las partículas de fluido a su alrededor hacia afuera en todas las direcciones. Esto provocará un campo de velocidad hacia afuera en todo el gas, centrado en el punto calentado. Cualquier superficie cerrada que encierre el punto calentado tendrá un flujo de partículas de gas que salen de ella, por lo que hay divergencia positiva en ese punto. Sin embargo, cualquier superficie cerrada que no encierre el punto tendrá una densidad constante de gas en su interior, por lo que entran tantas partículas de fluido como salen del volumen, por lo que el flujo neto que sale del volumen es cero. Por lo tanto, la divergencia en cualquier otro punto es cero.

Definición

La divergencia en un punto x es el límite de la relación entre el flujo a través de la superficie S _i (flechas rojas) y el volumen para cualquier secuencia de regiones cerradas V ₁ , V ₂ , V ₃ , … que encierran x y que se aproximan al volumen cero: ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle |V_{i}|}$
${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}}$

La divergencia de un campo vectorial F ( x ) en un punto x ₀ se define como el límite de la relación entre la integral de superficie de F de la superficie cerrada de un volumen V que encierra x ₀ y el volumen de V , cuando V se contrae a cero.

${\displaystyle \left.\operatorname {div} \mathbf {F} \right|_{\mathbf {x_{0}} }=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS}$

donde | V | es el volumen de V , S ( V ) es el límite de V , y es la normal unitaria exterior a esa superficie. Se puede demostrar que el límite anterior siempre converge al mismo valor para cualquier secuencia de volúmenes que contengan x ₀ y se acerquen al volumen cero. El resultado, div F , es una función escalar de x . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Dado que esta definición no tiene coordenadas, demuestra que la divergencia es la misma en cualquier sistema de coordenadas . Sin embargo, no suele utilizarse en la práctica para calcular la divergencia; cuando el campo vectorial se da en un sistema de coordenadas, las definiciones de coordenadas que se indican a continuación son mucho más sencillas de utilizar.

Un campo vectorial con divergencia cero en todas partes se denomina solenoidal , en cuyo caso ninguna superficie cerrada tiene flujo neto a través de ella.

Definición en coordenadas

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas tridimensionales, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable se define como la función escalar : ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

Aunque se expresa en términos de coordenadas, el resultado es invariante bajo rotaciones , como sugiere la interpretación física. Esto se debe a que la traza de la matriz jacobiana de un campo vectorial N -dimensional F en un espacio N -dimensional es invariante bajo cualquier transformación lineal invertible ^{[ aclaración necesaria ]} .

La notación común para la divergencia ∇ · F es una mnemotecnia conveniente, donde el punto denota una operación que recuerda al producto escalar : tomar los componentes del operador ∇ (ver del ), aplicarlos a los componentes correspondientes de F y sumar los resultados. Debido a que aplicar un operador es diferente a multiplicar los componentes, esto se considera un abuso de la notación .

Coordenadas cilíndricas

Para un vector expresado en coordenadas cilíndricas unitarias locales como

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},}$

donde e _a es el vector unitario en dirección a , la divergencia es ^[1]

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

El uso de coordenadas locales es vital para la validez de la expresión. Si consideramos x como vector de posición y las funciones r ( x ) , θ ( x ) y z ( x ) , que asignan la coordenada cilíndrica global correspondiente a un vector, en general , , y . En particular, si consideramos la función identidad F ( x ) = x , encontramos que: ${\displaystyle r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0}$.

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas , con θ el ángulo con el eje z y φ la rotación alrededor del eje z , y F nuevamente escrito en coordenadas de unidad local, la divergencia es ^[2]

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}$

Campo tensorial

Sea A un campo tensorial de segundo orden continuamente diferenciable definido de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}}$

La divergencia en el sistema de coordenadas cartesianas es un campo tensorial de primer orden ^[3] y puede definirse de dos maneras: ^[4]

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )={\cfrac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}}$

y ^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\cfrac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

Tenemos

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A^{T}} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$

Si el tensor es simétrico A _ij = A _ji entonces . Por este motivo, en la literatura, a menudo se utilizan las dos definiciones (y los símbolos div y ) de manera intercambiable (especialmente en ecuaciones mecánicas donde se supone la simetría del tensor). ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$

Las expresiones de en coordenadas cilíndricas y esféricas se dan en el artículo del en coordenadas cilíndricas y esféricas . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$

Coordenadas generales

Usando la notación de Einstein podemos considerar la divergencia en coordenadas generales , que escribimos como x ¹ , …, x ⁱ , …, x ⁿ , donde n es el número de dimensiones del dominio. Aquí, el índice superior se refiere al número de la coordenada o componente, por lo que x ² se refiere al segundo componente, y no a la cantidad x al cuadrado. La variable índice i se usa para referirse a un componente arbitrario, como x ⁱ . La divergencia puede entonces escribirse mediante la fórmula de Voss- Weyl , ^[8] como:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left(\rho \,F^{i}\right)}{\partial x^{i}}},}$

donde es el coeficiente local del elemento de volumen y F ⁱ son los componentes de con respecto a la base covariante no normalizada local (a veces escrita como ) . La notación de Einstein implica suma sobre i , ya que aparece como un índice superior e inferior. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$

El coeficiente de volumen ρ es una función de la posición que depende del sistema de coordenadas. En coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, utilizando las mismas convenciones que antes, tenemos ρ = 1 , ρ = r y ρ = r ² sen θ , respectivamente. El volumen también se puede expresar como , donde g _ab es el tensor métrico . El determinante aparece porque proporciona la definición invariante adecuada del volumen, dado un conjunto de vectores. Dado que el determinante es una cantidad escalar que no depende de los índices, estos se pueden suprimir, escribiendo . El valor absoluto se toma para manejar el caso general donde el determinante puede ser negativo, como en los espacios pseudo-riemannianos. La razón para la raíz cuadrada es un poco sutil: evita efectivamente el doble conteo cuando uno pasa de coordenadas curvas a cartesianas y viceversa. El volumen (el determinante) también puede entenderse como el jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas a curvilíneas, que para n = 3 da . ${\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g_{ab}\right|}}}$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g\right|}}}$ ${\textstyle \rho =\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}\right|}$

Algunas convenciones esperan que todos los elementos de la base local estén normalizados a la longitud unitaria, como se hizo en las secciones anteriores. Si escribimos para la base normalizada, y para los componentes de F con respecto a ella, tenemos que ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {F}}^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}=F^{i}\|{\mathbf {e} _{i}}\|{\frac {\mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {e} _{i}\|}}=F^{i}{\sqrt {g_{ii}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {F}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},}$

Utilizando una de las propiedades del tensor métrico, si punteamos ambos lados de la última igualdad con el elemento contravariante , podemos concluir que . Después de sustituir, la fórmula se convierte en: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$ ${\textstyle F^{i}={\hat {F}}^{i}/{\sqrt {g_{ii}}}}$

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\frac {\rho }{\sqrt {g_{ii}}}}{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {\frac {\det g}{g_{ii}}}}\,{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$

Véase § En coordenadas curvilíneas para mayor discusión.

Propiedades

Las siguientes propiedades se pueden derivar de las reglas de diferenciación ordinarias del cálculo . La más importante es que la divergencia es un operador lineal , es decir,

${\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} }$

para todos los campos vectoriales F y G y todos los números reales a y b .

Existe una regla del producto del siguiente tipo: si φ es una función escalar y F es un campo vectorial, entonces

${\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,}$

o en una notación más sugerente

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).}$

Otra regla de producto para el producto vectorial de dos campos vectoriales F y G en tres dimensiones involucra el rotacional y se lee de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,}$

o

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}$

El laplaciano de un campo escalar es la divergencia del gradiente del campo :

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .}$

La divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial (en tres dimensiones) es igual a cero:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

Si se define un campo vectorial F con divergencia cero en una bola en R ³ , entonces existe algún campo vectorial G en la bola con F = rotacional G . Para regiones en R ³ más complicadas topológicamente que ésta, la última afirmación podría ser falsa (véase el lema de Poincaré ). El grado de falla de la verdad de la afirmación, medido por la homología del complejo de cadena

${\displaystyle \{{\text{scalar fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {grad} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {curl} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {div} }{\rightarrow }}~\{{\text{scalar fields on }}U\}}$

sirve como una buena cuantificación de la complejidad de la región subyacente U. Estos son los inicios y las principales motivaciones de la cohomología de De Rham .

Teorema de descomposición

Se puede demostrar que cualquier flujo estacionario v ( r ) que sea dos veces continuamente diferenciable en R ³ y se anule lo suficientemente rápido para | r | → ∞ se puede descomponer de forma única en una parte irrotacional E ( r ) y una parte libre de fuente B ( r ) . Además, estas partes están determinadas explícitamente por las respectivas densidades de fuente (ver arriba) y densidades de circulación (ver el artículo Curl ):

Para la parte irrotacional se tiene

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),}$

con

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$

La parte libre de fuente, B , se puede escribir de manera similar: solo hay que reemplazar el potencial escalar Φ( r ) por un potencial vectorial A ( r ) y los términos −∇Φ por +∇ × A , y la densidad de fuente div v por la densidad de circulación ∇ × v .

Este "teorema de descomposición" es un subproducto del caso estacionario de la electrodinámica . Es un caso especial de la descomposición de Helmholtz más general , que funciona también en dimensiones mayores que tres.

En dimensiones finitas arbitrarias

La divergencia de un campo vectorial se puede definir en cualquier número finito de dimensiones. Si ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots F_{n}),}$

en un sistema de coordenadas euclidianas con coordenadas x ₁ , x ₂ , ..., x _n , definir

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.}$

En el caso 1D, F se reduce a una función regular y la divergencia se reduce a la derivada.

Para cualquier n , la divergencia es un operador lineal y satisface la "regla del producto".

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} )}$

para cualquier función escalar φ .

Relación con la derivada exterior

Se puede expresar la divergencia como un caso particular de la derivada exterior , que toma una forma 2 a una forma 3 en R ³ . Defina la forma 2 actual como

${\displaystyle j=F_{1}\,dy\wedge dz+F_{2}\,dz\wedge dx+F_{3}\,dx\wedge dy.}$

Mide la cantidad de "sustancia" que fluye a través de una superficie por unidad de tiempo en un "fluido de sustancia" de densidad ρ = 1 dx ∧ dy ∧ dz que se mueve con velocidad local F . Su derivada exterior dj está dada entonces por

${\displaystyle dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot {\mathbf {F} })\rho }$

¿Dónde está el producto cuña ? ${\displaystyle \wedge }$

Por tanto, la divergencia del campo vectorial F se puede expresar como:

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {F} }={\star }d{\star }{\big (}{\mathbf {F} }^{\flat }{\big )}.}$

Aquí el superíndice ♭ es uno de los dos isomorfismos musicales y ⋆ es el operador de estrella de Hodge . Cuando la divergencia se escribe de esta manera, el operador se denomina codiferencial . Trabajar con la forma binaria actual y la derivada exterior suele ser más fácil que trabajar con el campo vectorial y la divergencia, porque a diferencia de la divergencia, la derivada exterior conmuta con un cambio de sistema de coordenadas (curvilíneo). ${\displaystyle {\star }d{\star }}$

En coordenadas curvilíneas

La expresión apropiada es más complicada en coordenadas curvilíneas . La divergencia de un campo vectorial se extiende naturalmente a cualquier variedad diferenciable de dimensión n que tenga una forma de volumen (o densidad ) μ , por ejemplo, una variedad de Riemann o Lorentz . Generalizando la construcción de una forma bidimensional para un campo vectorial en R ³ , en dicha variedad un campo vectorial X define una ( n − 1) -forma j = i _X μ obtenida contrayendo X con μ . La divergencia es entonces la función definida por 

${\displaystyle dj=(\operatorname {div} X)\mu .}$

La divergencia se puede definir en términos de la derivada de Lie como

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu =(\operatorname {div} X)\mu .}$

Esto significa que la divergencia mide la tasa de expansión de una unidad de volumen (un elemento de volumen ) a medida que fluye con el campo vectorial.

En una variedad pseudo-riemanniana , la divergencia con respecto al volumen se puede expresar en términos de la conexión de Levi-Civita ∇ :

${\displaystyle \operatorname {div} X=\nabla \cdot X={X^{a}}_{;a},}$

donde la segunda expresión es la contracción del campo vectorial de valor 1-forma ∇ X consigo mismo y la última expresión es la expresión de coordenadas tradicional del cálculo de Ricci .

Una expresión equivalente sin utilizar una conexión es

${\displaystyle \operatorname {div} (X)={\frac {1}{\sqrt {\left|\det g\right|}}}\,\partial _{a}\left({\sqrt {\left|\det g\right|}}\,X^{a}\right),}$

donde g es la métrica y denota la derivada parcial respecto de la coordenada x ^a . La raíz cuadrada del (valor absoluto del determinante de la) métrica aparece porque la divergencia debe escribirse con la concepción correcta del volumen . En coordenadas curvilíneas, los vectores base ya no son ortonormales; el determinante codifica la idea correcta de volumen en este caso. Aparece dos veces, aquí, una, para que se pueda transformar en "espacio plano" (donde las coordenadas son realmente ortonormales), y una vez más para que también se transforme en "espacio plano", de modo que finalmente, la divergencia "ordinaria" se puede escribir con el concepto "ordinario" de volumen en el espacio plano ( es decir, volumen unitario, es decir , uno, es decir, no escrito). La raíz cuadrada aparece en el denominador, porque la derivada se transforma de manera opuesta ( contravariantemente ) al vector (que es covariante ). Esta idea de llegar a un "sistema de coordenadas plano" donde los cálculos locales se pueden realizar de manera convencional se llama vielbein . Una forma diferente de verlo es notar que la divergencia es la codiferencial disfrazada. Es decir, la divergencia corresponde a la expresión con la diferencial y la estrella de Hodge . La estrella de Hodge, por su construcción, hace que la forma de volumen aparezca en todos los lugares correctos. ${\displaystyle \partial _{a}}$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$ ${\displaystyle \star d\star }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \star }$

La divergencia de los tensores

La divergencia también se puede generalizar a los tensores . En la notación de Einstein , la divergencia de un vector contravariante F ^μ se da por

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu },}$

donde ∇ _μ denota la derivada covariante . En este contexto general, la formulación correcta de la divergencia es reconocer que es una codiferencial ; las propiedades apropiadas se deducen de allí.

De manera equivalente, algunos autores definen la divergencia de un tensor mixto utilizando el isomorfismo musical ♯ : si T es un ( p , q ) - tensor ( p para el vector contravariante y q para el covariante), entonces definimos la divergencia de T como el ( p , q − 1) -tensor

${\displaystyle (\operatorname {div} T)(Y_{1},\ldots ,Y_{q-1})={\operatorname {trace} }{\Big (}X\mapsto \sharp (\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\ldots ,Y_{q-1}){\Big )};}$

es decir, tomamos la traza sobre los dos primeros índices covariantes de la derivada covariante. ^[a] El símbolo se refiere al isomorfismo musical . ${\displaystyle \sharp }$

Véase también

• Rizo
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Teorema de divergencia
• Gradiente

Notas

1. La elección del "primer" índice covariante de un tensor es intrínseca y depende del ordenamiento de los términos del producto cartesiano de espacios vectoriales en los que el tensor está dado como una función multilineal V × V × ... × V → R . Pero se podrían hacer elecciones igualmente bien definidas para la divergencia utilizando otros índices. En consecuencia, es más natural especificar la divergencia de T con respecto a un índice especificado. Sin embargo, hay dos casos especiales importantes en los que esta elección es esencialmente irrelevante: con un tensor contravariante totalmente simétrico, cuando cada elección es equivalente, y con un tensor contravariante totalmente antisimétrico ( también conocido como un k -vector), cuando la elección afecta solo al signo.

Citas

1. Coordenadas cilíndricas en Wolfram Mathworld
2. Coordenadas esféricas en Wolfram Mathworld
3. Gurtin 1981, pág. 30.
4. "1.14 Cálculo tensorial I: campos tensoriales" (PDF) . Fundamentos de mecánica del medio continuo . Archivado (PDF) desde el original el 8 de enero de 2013.
5. William M. Deen (2016). Introducción a la mecánica de fluidos en ingeniería química. Cambridge University Press. pág. 133. ISBN 978-1-107-12377-9.
6. Tasos C. Papanastasiou; Georgios C. Georgiou; Andreas N. Alexandrou (2000). Flujo de fluido viscoso (PDF) . Prensa CRC. pag. 66,68. ISBN 0-8493-1606-5. Archivado (PDF) del original el 20 de febrero de 2020.
7. Adam Powell (12 de abril de 2010). "Las ecuaciones de Navier-Stokes" (PDF) .
8. Grinfeld, Pavel. «La fórmula de Voss-Weyl (enlace de Youtube)». YouTube . Archivado desde el original el 2021-12-11 . Consultado el 9 de enero de 2018 .

Referencias

• Brewer, Jess H. (1999). "DIVERGENCIA de un campo vectorial". musr.phas.ubc.ca . Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2007 . Consultado el 9 de agosto de 2016 .
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Edwards, CH (1994). Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, NY: Dover. ISBN 0-486-68336-2.
• Gurtin, Morton (1981). Introducción a la mecánica del medio continuo . Academic Press. ISBN 0-12-309750-9.
• Korn, Theresa M. ; Korn, Granino Arthur (enero de 2000). Manual matemático para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para referencia y revisión . Nueva York: Dover Publications. págs. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.

Enlaces externos

• "Divergencia", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La idea de divergencia de un campo vectorial
• Khan Academy: videolección sobre la divergencia
• Sanderson, Grant (21 de junio de 2018). "Divergencia y rizo: el lenguaje de las ecuaciones de Maxwell, el flujo de fluidos y más". 3Blue1Brown . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021 – vía YouTube .