Teorema de factorización polar

Teorema del transporte óptimo

En el transporte óptimo , una rama de las matemáticas, la factorización polar de campos vectoriales es un resultado básico debido a Brenier (1987), ^[1] con antecedentes de Knott-Smith (1984) ^[2] y Rachev (1985), ^[3] que generaliza muchos resultados existentes entre los que se encuentran la descomposición polar de matrices reales y el reordenamiento de funciones de valores reales.

El teorema

Notación. Denotela medida dea través del mapa . ${\displaystyle \xi _{\#}\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \xi }$

Definición: Mapa que preserva la medida. Seanyalgunos espacios de probabilidad yun mapa medible. Entonces,se dice que es que preserva la medida si y solo si, dondees la medida de avance . Expresado así: para cadasubconjunto -mediblede,es-medible, y. Esto último es equivalente a: ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle (Y,\nu )}$ ${\displaystyle \sigma :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{\#}\mu =\nu }$ ${\displaystyle \#}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (\sigma ^{-1}(\Omega ))=\nu (\Omega )}$

${\displaystyle \int _{X}(f\circ \sigma )(x)\mu (dx)=\int _{X}(\sigma ^{*}f)(x)\mu (dx)=\int _{Y}f(y)(\sigma _{\#}\mu )(dy)=\int _{Y}f(y)\nu (dy)}$

donde es -integrable y es -integrable. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f\circ \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$

Teorema. Consideremos una funcióndondees un subconjunto convexo de, yuna medida enla que es absolutamente continua. Supongamos quees absolutamente continua. Entonces existe una función convexa y una funciónque conservatal que ${\displaystyle \xi :\Omega \rightarrow R^{d}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle R^{d}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \xi _{\#}\mu }$ ${\displaystyle \varphi :\Omega \rightarrow R}$ ${\displaystyle \sigma :\Omega \rightarrow \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \xi =\left(\nabla \varphi \right)\circ \sigma }$

Además, y se definen de forma única en casi todas partes. ^{[1] [4]} ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \sigma }$

Aplicaciones y conexiones

Dimensión 1

En dimensión 1, y cuando es la medida de Lebesgue sobre el intervalo unitario, el resultado se especializa según el teorema de Ryff. ^[5] Cuando y es la distribución uniforme sobre , la descomposición polar se reduce a ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$

${\displaystyle \xi \left(t\right)=F_{X}^{-1}\left(\sigma \left(t\right)\right)}$

donde es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria y tiene una distribución uniforme sobre . se supone que es continua y preserva la medida de Lebesgue en . ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle \xi \left(U\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle \sigma \left(t\right)=F_{X}\left(\xi \left(t\right)\right)}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$

Descomposición polar de matrices

Cuando es una función lineal y es la distribución normal gaussiana , el resultado coincide con la descomposición polar de matrices . Suponiendo que es una matriz invertible y considerando la medida de probabilidad, la descomposición polar se reduce a ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \xi \left(x\right)=Mx}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0,I_{d}\right)}$

${\displaystyle M=SO}$

donde es una matriz definida positiva simétrica y una matriz ortogonal . La conexión con la factorización polar es que es convexa y que conserva la medida. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \varphi \left(x\right)=x^{\top }Sx/2}$ ${\displaystyle \sigma \left(x\right)=Ox}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0,I_{d}\right)}$

Descomposición de Helmholtz

Los resultados también permiten recuperar la descomposición de Helmholtz . Si se deja que sea un campo vectorial suave , se puede escribir de forma única como ${\displaystyle x\rightarrow V\left(x\right)}$

${\displaystyle V=w+\nabla p}$

donde es una función real suave definida en , única hasta una constante aditiva, y es un campo vectorial libre de divergencia suave, paralelo al límite de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Omega }$

La conexión se puede ver asumiendo que es la medida de Lebesgue en un conjunto compacto y escribiendo como una perturbación del mapa identidad. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi _{\epsilon }(x)=x+\epsilon V(x)}$

donde es pequeño. La descomposición polar de está dada por . Entonces, para cualquier función de prueba se cumple lo siguiente: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \xi _{\epsilon }}$ ${\displaystyle \xi _{\epsilon }=(\nabla \varphi _{\epsilon })\circ \sigma _{\epsilon }}$ ${\displaystyle f:R^{n}\rightarrow R}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x+\epsilon V(x))dx=\int _{\Omega }f((\nabla \varphi _{\epsilon })\circ \sigma _{\epsilon }\left(x\right))dx=\int _{\Omega }f(\nabla \varphi _{\epsilon }\left(x\right))dx}$

donde el hecho de preservar la medida de Lebesgue se utilizó en la segunda igualdad. ${\displaystyle \sigma _{\epsilon }}$

De hecho, como , se puede expandir , y por lo tanto . Como resultado, para cualquier función suave , lo que implica que está libre de divergencia. ^{[1] [6]} ${\displaystyle \textstyle \varphi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\Vert x\Vert ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \varphi _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2}}\Vert x\Vert ^{2}+\epsilon p(x)+O(\epsilon ^{2})}$ ${\displaystyle \textstyle \nabla \varphi _{\epsilon }\left(x\right)=x+\epsilon \nabla p(x)+O(\epsilon ^{2})}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{\Omega }\left(V(x)-\nabla p(x)\right)\nabla f(x))dx}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w\left(x\right)=V(x)-\nabla p(x)}$

Véase también

• Descomposición polar  – Representación de matrices invertibles como operador unitario multiplicando un operador hermítico

Referencias

1. Brenier, Yann (1991). «Factorización polar y reordenamiento monótono de funciones con valores vectoriales» (PDF) . Communications on Pure and Applied Mathematics . 44 (4): 375–417. doi :10.1002/cpa.3160440402 . Consultado el 16 de abril de 2021 .
2. Knott, M.; Smith, CS (1984). "Sobre el mapeo óptimo de distribuciones". Journal of Optimization Theory and Applications . 43 : 39–49. doi :10.1007/BF00934745. S2CID  120208956 . Consultado el 16 de abril de 2021 .
3. Rachev, Svetlozar T. (1985). "El problema de transferencia de masa de Monge-Kantorovich y sus aplicaciones estocásticas" (PDF) . Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 29 (4): 647–676. doi :10.1137/1129093 . Consultado el 16 de abril de 2021 .
4. Santambrogio, Filippo (2015). Transporte óptimo para matemáticos aplicados . Nueva York: Birkäuser. CiteSeerX 10.1.1.726.35 . 
5. Ryff, John V. (1965). "Órbitas de funciones L1 bajo transformación doblemente estocástica". Transacciones de la American Mathematical Society . 117 : 92–100. doi :10.2307/1994198. JSTOR  1994198 . Consultado el 16 de abril de 2021 .
6. Villani, Cédric (2003). Temas de transporte óptimo . American Mathematical Society.