Operador de Stokes

El operador de Stokes , llamado así en honor a George Gabriel Stokes , es un operador lineal ilimitado utilizado en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , específicamente en los campos de la dinámica de fluidos y el electromagnetismo .

Definición

Si definimos como la proyección de Leray sobre campos vectoriales libres de divergencia , entonces el operador de Stokes se define por ${\displaystyle P_{\sigma }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A:=-P_{\sigma }\Delta ,}$

donde es el laplaciano . Como no tiene límites, también debemos dar su dominio de definición, que se define como , donde . Aquí, es un conjunto abierto acotado en (normalmente n  = 2 o 3), y son los espacios de Sobolev estándar , y la divergencia de se toma en el sentido de distribución . ${\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=H^{2}\cap V}$ ${\displaystyle V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0\}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Propiedades

Para un dominio dado que es abierto, acotado y tiene frontera, el operador de Stokes es un operador autoadjunto positivo definido con respecto al producto interno. Tiene una base ortonormal de funciones propias que corresponden a valores propios que satisfacen ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \{\lambda _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$

${\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots }$

y como . Nótese que el valor propio más pequeño es único y distinto de cero. Estas propiedades permiten definir potencias del operador de Stokes. Sea un número real. Definimos por su acción sobre : ${\displaystyle \lambda _{k}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle A^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)}$

${\displaystyle A^{\alpha }{\vec {u}}=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}}$

donde y es el producto interno. ${\displaystyle u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

El inverso del operador de Stokes es un operador acotado, compacto y autoadjunto en el espacio , donde es el operador de traza . Además, es inyectivo. ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ and }}\gamma ({\vec {u}})=0\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A^{-1}:H\rightarrow V}$

Referencias

• Temam, Roger (2001), Ecuaciones de Navier-Stokes: teoría y análisis numérico , AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-2737-5
• Constantin, Peter y Foias, Ciprian. Ecuaciones de Navier-Stokes , University of Chicago Press, (1988)